Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет линейных электрических цепей в стационарном и переходном режимах работы. Учебно-методическое пособие
.pdf
Необходимо найти все системные характеристики цепи и определить сигнал
tu
2
tg
tg
18E
t
еtg
1500
333,0333,0
мсt,
0
0,5
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,335
0,67
1,005
1,34
1,675
2,01
2,345
2,68
tg
0
0,131
0,21
0,259
0,288
0,306
0,316
0,323
0,327
R
R
2
U
L
R
В1
на выходе цепи
временным либо частотным способом.
Определим переходную характеристику цепи
.
Переходная характеристика цепи – это характеристика, численно рав-
ная реакции цепи на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Следовательно, для того, чтобы рассчитать переходную харак-
теристику цепи, необходимо рассчитать переходный процесс в цепи при нуле-
вых начальных условиях при включении на единичный источник
Рисунок 26 – Схема для определения
Нетрудно заметить, что такая схема уже была рассчитана в предыдущем
разделе (при воздействии на цепь источника постоянного напряжения c
В). Тогда по аналогии
Построим график переходной характеристики цепи:
Таблица 4 – Переходная характеристика цепи
31
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
t, мс
g(t)
tgtgth
)0(
/
tg
/
)0(g
0t
t
etg
1500/
500
0333,0333,0)0(
01500
еg
t
etgtgth
1500/
500)0(
мсt,
0
0,5
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
0,335
0,67
1,005
1,34
1,675
2,01
2,345
2,68
th
500
303,3
183,9
111,56
67,7
41,04
24,89
15,1
9,16
Рисунок 27 – Переходная характеристика цепи
Определим импульсную характеристику цепи.
Импульсная характеристика цепи – это характеристика, численно рав-
ная реакции цепи на воздействие в виде δ - импульса при нулевых начальных
условиях
Зная связь между импульсной и переходной характеристиками цепи
где
– производная переходной характеристики цепи
– значение переходной характеристики в момент времени
Тогда
Построим импульсную характеристику цепи.
Таблица 5 – Импульсная характеристика цепи
32
0
100
200
300
400
500
600
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
t, мс
h(t)
jH
jU
jU
jH
1
2
jRLjR
R
jU
jU
jH
1500
500
5,0
5,0
1
2
j
dteedtethjH
tjttj
1500
500
500
0
1500
0
eHjH
H
Рисунок 28 – Импульсная характеристика цепи
Определим комплексную передаточную функцию цепи
.
Комплексная передаточная функция цепи определяется как отношение
комплексной реакции цепи к комплексному воздействию. В качестве реакции и
воздействия цепи могут быть использованы напряжения и (или) токи
Определим передаточную функцию по напряжению цепи, как:
Согласно рисунку 16
Зная, что временные и частотные характеристики цепи связаны между собой
формулами преобразования Фурье, определим передаточную характеристику
цепи:
Очевидно, что результат вычислений полностью совпадает с предыдущим
расчетом.
Как и любое комплексное число, комплексная передаточная функция (КПФ)
цепи может быть представлена в показательной форме:
где
– модуль передаточной функции (амплитудно-частотная характери-
стика (АЧХ) цепи)
33
– аргумент передаточной функции (фазо-частотная характеристика
22
1500
500
H
1500
0
arctg
кГцf ,
0
0,2
0,4
0,6
0,8 1 1,2
1,4
H
0,33
0,256
0,171
0,123
0,095
0,077
0,065
0,056
0
-39,9
-59,18
-68,32
-73,41
-76,59
-78,78
-80,35
кГцf ,
1,6
1,8 2 2,2
2,4
2,6
2,8
3
H
0,049
0,044
0,039
0,036
0,033
0,031
0,028
0,026
-81,54
-82,47
-83,22
-83,84
-84,35
-84,79
-85,16
-85,48
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
f, кГц
H
(ФЧХ) цепи) [2].
Определим АЧХ и ФЧХ цепи:
Построим частотные характеристики цепи:
Таблица 6 – Частотные характеристики цепи
Рисунок 29 – Амплитудно-частотная характеристика цепи
34
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
f, кГц
φ
t
dtgutgutu
0
/
1
12
0
t0
tмсмсtмсмсt 4,42,20
tu
1
tмс
мсtмсt
мсt
tu
40
42002,010002
204
1
Рисунок 30 – Фазо-частотная характеристика цепи
Определим реакцию цепи на воздействие импульсного сигнала.
Интеграл Дюамеля
Зная переходную характеристику цепи, можно вычислить реакцию цепи на
воздействие любой формы, используя интеграл Дюамеля.
При расчете цепей с помощью интеграла Дюамеля необходимо учиты-
вать все скачки входного воздействия, а также выполнять интегрирование
отдельно на каждом интервале времени, где функция воздействия непрерывна.
Для расчета реакции цепи на воздействие, заданное кусочно-непрерывной
функцией, определяют число участков интегрирования, на которых функция
непрерывна и дифференцируема, а затем для каждого из выделенных участков
записывают выражения с учетом реакции предыдущих участков.
Реакцию цепи рассчитывают также на интервале времени, на котором
воздействие уже прекратилось.
Весь отрезок времени
Запишем значения входного сигнала
интервалов (рисунок 23):
разбиваем на три интервала:
и его производной на каждом из
35
tмс
мсtмс
мсt
tu
40
421000
200
/
1
0t
Вu 4040
1
мсt 2
Вмсu 2422
1
tu
2
мсt 20
Веdее
dtgutgutu
t
t
tt
t
1500
0
15001500
0
/
1
121
333,1333,1333,0333,00333,0333,04
0
мсtмс 42
002,0002,00
1
002,0
0
/
1122
tgudtgutgutu
t
t
еdtgu
1500
002,0
/
1
333,0333,04
Веt
dее
t
t
tt
1500
002,0
1500002,01500
581,7333555,1
333,0333,01000333,0333,02
tмс4
Определим скачки входного сигнала.
В момент времени
следовательно
входной сигнал изменяется скачком от 0 до +4В,
В момент времени
+2В, следовательно
Выходное напряжение
описывается формулами:
1 участок:
2 участок:
входной сигнал изменяется скачком от +4В до
на каждом из рассмотренных выше интервалов
3 участок:
36
Веdе
ее
dtgutgudtgu
tgudtgutgutu
tt
tt
t
1500
004,0
002,0
1500
002,015001500
004,0
/
1
1
004,0
002,0
/
1
1
002,0
0
/
1
123
146,97333,0333,01000
333,0333,02333,0333,04
004,0004,0
002,0002,00
tмсe
мсtмсet
мсtе
tu
t
t
t
4146,97
42581,7333555,1
20333.1333,1
1500
1500
1500
2
мсt,
0
0,2
0,4
0,6
0,8 1 1,2
1,4
1,6
1,8
2
Вtu ,
2
0
0,35
0,6
0,79
0,93
1,04
1,11
1,17
1,21
1,24
1,27
1,26
мсt,
2,2
2,4
2,6
2,8 3 3,2
3,4
3,6
3,8 4 6
Вtu ,
2
1,1
0,96
0,84
0,74
0,64
0,55
0,47
0,39
0,31
0,24
0,24
0,01
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 1 2 3 4 5 6 7
t,мс
U2
tu
2
Аналитическое выражение выходного напряжения:
Построим график выходного напряжения. Рассчитанные значения выходного напряжения сведем в таблицу 7.
Таблица 7 – Значения выходного напряжения
Рисунок 31 - График выходного напряжения
37
pU
1
pН
j
pU
2
tu
2
kttykttyktykty ;;;
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 1 2 3 4 5 6 7
t,мс
U1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 1 2 3 4 5 6 7
t,мс
U11
Спектральный метод расчета
Для расчета реакции цепи спектральным методом воспользуемся операторным методом для упрощения расчетов, т.к. все математические преобразования
в области p производятся в алгебраической форме.
Вначале необходимо определить изображение входного воздействия
, для чего разложить сигнал сложной формы на сумму простейших
функций, записать изображение каждой функции, используя свойства и таблицу преобразований Лапласа.
Определить операторную передаточную функцию
плексную передаточную функцию цепи путем замены переменной
цепи через ком-
на p.
Изображение реакции цепи определить как произведение изображения
воздействия на операторную передаточную функцию
Реакцию цепи на воздействие произвольной формы определить с помо-
щью перехода
к
, используя обратное преобразование Лапласа
(теорему разложения).
Разложим исходный сигнал на сумму простейших (рисунок 32).
К простейшим функциям относят функции типа:
38
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7
t,мс
U14
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7
t,мс
U14
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5 6 7
t,мс
U14
;
2
2
;
4
4
002,0
1212
1111
p
e
p
pUtu
p
pUtu
;
1000
1000
;
1000
1000
004,0
2
1414
002,0
2
1313
p
p
e
p
pUttu
e
p
pUttu
pU
1
ppp
e
p
e
p
e
pp
pUpUpUpUpU
004,0
2
002,0
2
002,0
141312111
1000100024
j
p
Рисунок 32 – Разложение исходного сигнала на сумму простейших
Запишем аналитические выражения для каждого из простейших сигналов и
их изображения согласно таблице соответствий Лапласа.
Тогда изображение входного сигнала
Определим операторную передаточную характеристику цепи, заменив в
КПФ цепи переменную
на
:
:
39
p
pH
1500
500
ppp
e
p
e
p
e
ppp
pUpHpU
004,0
2
002,0
2
002,0
12
1000100024
1500
500
2
1121
1500
20004
1500
500
pр
pp
pUpHpU
1
21
1500,0
сpp
Вe
eе
pF
pF
е
pF
pF
tu
t
t
tptp
1500
1500
2
/
2
21
1
/
2
11
21
333,1333,1
150015002
2000
1500
2000
21
tu
22
pp
e
pр
e
pp
pUpHpU
002,0
2
002,0
1222
1500
10002
1500
500
1
21
1500,0
сpp
Вee
etu
tt
t
1500002,01500
002,01500
22
39,13667,0667,0667,0
150015002
1000
1500
1000
pp
e
pp
e
p
p
pUpHpU
002,0
2
002,0
2
1323
1500
5000001000
1500
500
pU
23
pp
apаpа
2
01
2
2
p
C
p
B
p
A
2
Определим изображение реакции цепи:
Для определения оригинала реакции цепи воспользуемся теоремой разложения:
Найдем
:
Данное выражение содержит кратный корень, потому разложим
сумму простейших дробей, где А, В, С – неизвестные коэффициенты:
Выражение
можно представить, как сумму дробей
на
вида:
Приведя полученное выражение к общему знаменателю
.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]