Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет линейных электрических цепей в стационарном и переходном режимах работы. Учебно-методическое пособие
.pdf
По первому закону Кирхгофа:
0III
86
кз
6
I
мАj
e
R
E
j
428,9428,9
6
80
I
45
3
2
6
8
I
0II
4
2
.254
1
M
к
MэквL
к
jXRjXjXRR
мАj
jj
jj
jXjXRR
jXR
MэквL
M
к
к
217,4009,2
5,05,9108
5,0812
I
I
.254
4
2
1
8
I
мАj
к
217,4009,2II
18
мАjjj
ГЭ
645,13437,11217,4009,2428,9428,9III
86
мАj
jj
j
j
jXZ
Z
C
Э
Э
ГЭ
276,11159,3
6532,0722,4
532,0722,4
645,13437,11II
7
7
I
ВjjRU
ВjjRU
ВjjRU
ВjjRU
ВjjRU
R
R
R
R
R
09,501,1310009,531,1I
;928,5548,108991,631,1I
;614,37094,116269,6849,1I
;712,21952,284428,5238,7I
;856,34476,142428,17238,7I
5
8
5
4
5
4
3
6
3
2
3
2
1
1
1
ВjjjjXU
Вj
jjjjjXjXU
Вj
jjjjjXjXU
C
C
ML
L
ML
L
954,18668,676278,11159,3I
;098,13086,44
5,01210923,4052,1II
;655,0496,57
5,0009,531,1512II
7
2
2
8
2
8
1
2
1
Ток
Определим ток
Тогда ток
по закону Ома:
по методу контурных токов:
равен:
Ток эквивалентного генератора:
Найдем ток в конденсаторе по формуле разброса:
Сравнивая полученные результаты тока
между собой, видно, что резуль-
таты вычислений идентичны, что говорит о правильности проведенных расчетов.
Определение напряжений на элементах цепи
Определим напряжения на пассивных элементах цепи, используя закон Ома:
Определим напряжения на реактивных элементах схемы. Так как индуктивно связанные катушки включены согласно, то напряжения на них:
21
Напряжение на источнике тока определим по второму закону Кирхгофа для
4
I
k
0
421
RRLJ
UUUU
ВjjjjU
J
871,34064,18655,0496,57712,21952,28928,5548,10
1
уI
nN
у
n
JувII
nnnN 1
в
n
J
n
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
2
L
1
L
С
1
Е
2
Е
J
1I2
I
3
I
I
4
I
5I6I8
I
7
I
III
II
1
2
3
4
5
контура, по которому протекает контурный ток
(рисунок 8):
Подставляя числовые значения, получим:
Проверить правильность расчетов токов и напряжений можно с помощью
законов Кирхгофа.
Метод законов Кирхгофа
Используется как для расчета цепи любой сложности, так и для проверки
правильности расчетов. Базируется на 2 законах Кирхгофа – закон токов
Кирхгофа (первый закон Кирхгофа) и закон напряжений Кирхгофа (второй закон Кирхгофа) [1]. Независимые уравнения, составленные для цепи по законам
Кирхгофа, объединяют в систему, решение которой дает токи ветвей.
Количество уравнений по первому закону Кирхгофа
где
– число узлов в схеме;
Количество уравнений по второму закону Кирхгофа
где
– число ветвей в схеме,
– число ветвей с источниками токов
Составим систему уравнений по законам Кирхгофа (рисунок 15):
,
,
Рисунок 15 – Схема для составления законов Кирхгофа
Так как в схеме пять узлов, восемь ветвей и одна ветвь с источником тока,
то нужно составить всего семь уравнений: четыре – по первому закону Кирхгофа и три – по второму закону Кирхгофа. Составим уравнения для узлов 1, 2, 4 и
5, а также для трех контуров, показанных на рисунке 15:
22
0
0III
0III
0III
0III
254
2
3
21
21
687
825
164
321
CLRR
CR
RR
UUUU
EUU
EEUU
.. потрист
SS
jQPS
Q
мВАj
jjjj
jJUEES
гист
05,105604,1968
12871,34064,18697,23087,957,5657,56
428,17238,7100II
4211
.
мВтjj
jjjj
jjjj
UUUUUP
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
649,1968009,531,109.501.13
991,631,1928,5548,10269,6849,1614,37094,11
428,5238,7712,21952,28428,17238,7856,34476,14
IIIII
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
мВАрj
jjjj
jjUUUQ
CLL
97,104
278,11159,3954,18668,67009,531,1098,13086,44
12655,0496,57III
78
2
2
1
Подставляя в полученную систему уравнений рассчитанные значения токов
и напряжений, получаем выполнение равенств всех уравнений, что свидетельствует о правильности выполненных расчетов.
Баланс мощности
Сумма комплексных мощностей, отдаваемых независимыми источниками
энергии равна сумме комплексных мощностей, потребляемых остальными элементами электрической цепи.
– полная комплексная мощность, мВА;
Р – активная мощность, мВт;
– реактивная мощность, мВАр
Определим полную комплексную мощность, отдаваемую источниками в
цепь:
Определим активную мощность, рассеиваемую в резисторах схемы:
Определим реактивную мощность:
23
Полная комплексная мощность, потребляемая пассивными элементами це-
мВАjS
потр
97,104649,1968
.
параметры
элементы
Ток, мА
Напряжение,
В
Мощность,
мВА
1
R
18,871е
-j67,45
37,742
-j67,45
712,23
2
R
9,047e
-j36,87
36,188
-j36,87
327,39
3
R
6,536e
j106,44
39,216e
j106,43
256,316
4
R
7,113e
j79,39
56,9e
j79,39
404,729
5
R
5,177e
-j75,345
51,77e
-j75,345
268,01
1
L
12e
j90
57,49e
j180
689,88e
j90
2
L
5,177e
-j75,345
45,99e
j15
238,09e
j90
C
11,712e
j105,65
70,272e
j15,65
823,002e
-j90
1
E
18,871е
-j67,45
100
1887,1e
j67,45
2
E
25,379e
-j69,02
80e
j45
2030,32e
j114,02
J
12e
j90
39,272e
j117,38
471,264e
j27,38
Е
0t
*
R
3t
ВЕмкФСГнLкОмR 18,1,1,1
1
U
R
R
2
U
L
R
пи:
что практически полностью соответствует комплексной мощности, отдаваемой
источниками энергии.
Полученные результаты сведем в таблицу.
Таблица 2 – Результаты анализа электрической цепи при воздействии синусоидальных источников энергии
3.3. Проведем анализ второй цепи при возникновении в ней переходно-
го процесса:
1случай: замыкание на цепь источника постоянного напряжения
мент времени
2 случай: отключение резистора
мс;
в момент времени
мс
Исходные данные:
Рисунок 16 – Исходная схема
24
в мо-
Расчет любого параметра цепи (напряжения или тока) при возникновении в
00
LL
ii
00
CC
UU
pt
пр
АеUtu
22
пр
U
2
t
пр
uuА
22
0
0
2
u
pZ
L
R
p
экв.
CR
p
экв.
1
.экв
R
tu
2
ней переходного процесса базируется на законах коммутации:
В первый момент времени непосредственно после коммутации ток в ин-
дуктивности остается таким же, каким он был в момент времени непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется
В первый момент времени непосредственно после коммутации напряже-
ние на емкости остается таким же, каким оно было в момент времени непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется
Закон изменения любого параметра в цепи (в нашем случае выходного
напряжения) первого порядка в общем виде можно записать следующим образом:
где
при
– принужденная составляющая выходного напряжения (определяется
), В
А – постоянная интегрирования, В
– выходное напряжение в первый момент после коммутации ключа,
В
p – корень характеристического уравнения [c-1]
Корень характеристического уравнения можно найти, не составляя
дифференциального уравнения. Достаточно найти сопротивление Z цепи,
разорвав её в любом месте, где протекает ток, и, заменив jω на р. Приравняв
к нулю и решив полученное уравнение относительно p, находят корень
характеристического уравнения.
для RL – цепи:
для RС – цепи:
где
– внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, образован-
ного цепью относительно реактивного элемента, Ом
1 случай (классический метод расчета):
Определим выходное напряжение
.
25
0t
00
2
U
00
LL
ii
002
U
E
R
R
2
U
L
R
R
R
2
U
LRE
E
R
R
2
U
L
R
Рисунок 17 – Исходная схема
Итак, в момент времени
исходная схема принимает вид:
Рисунок 18 – Схема непосредственно перед коммутацией ключа
Так как в схеме нет источника энергии (источник постоянного напряжения
еще не подключен к цепи), токи в схеме отсутствуют, а, следовательно, выходное напряжение равно нулю
начальное условие в цепи:
В момент коммутации, согласно закону коммутации, индуктивность ведет
себя как холостой ход [1], тогда
Рисунок 19 – Схема непосредственно после коммутации ключа
В этой схеме по-прежнему отсутствуют токи, следовательно, выходное
напряжение снова равно нулю
26
В установившемся режиме после коммутации ключа (
t
кОм
RR
RR
RR
экв
1500
10001000
10001000
1000
.
мА
R
E
экв
12
1500
18
I
.
В
RR
RR
U
пр
6I
2
L
R
p
экв.
кОмR
экв
1500
.
1
.
1500
1
1500
c
L
R
p
экв
ВееАеUtu
ttpt
пр
15001500
22
66066
*
R
R
R
2
U
L
R
E
) индуктивность
представляет собой короткозамкнутый провод (цепь постоянного тока), схема
принимает вид:
Рисунок 20 – Схема в установившемся режиме после коммутации ключа
Определим эквивалентное сопротивление цепи:
Тогда ток в ветви с источником:
Выходное напряжение по закону Ома:
Определим корень характеристического уравнения:
Так как источник и катушка индуктивности находятся в одной ветви, то
:
Закон изменения выходного напряжения:
2 случай:
В этом случае закон изменения выходного напряжения определим операторным методом. Переходный процесс в схеме возникает вследствие отключе-
ния резистора
, т.е.:
27
мАii
LL
1200
pLRp
pRiLRE
R
pLRR
iL
p
E
RppU
2
0
0
I
2
R
R
2
U
LRE
E
R
R
2
U
L
R
p
E
R
R
pU
2
pL
R
0
L
iL
Рисунок 21 – Исходная схема
Для того, чтобы изобразить операторную схему замещения, необходимо
определить независимое начальное условие (ток в катушке индуктивности
непосредственно до коммутации ключа).
Рисунок 22 – Схема непосредственно перед коммутацией ключа
Такая цепь уже была рассчитана (см. первый случай), поэтому
Следовательно, операторная схема замещения с учетом ННУ [2]:
Рисунок 23 – Операторная схема замещения
Найдем изображение выходного напряжения, рассчитав полученную одноконтурную схему замещения законом Ома:
28
Найдем оригинал выходного напряжения, используя теорему разложения [2]
01
01
2
1
...
...
bpbpb
apapa
pF
pF
pF
m
m
n
n
0101
,,,,, bbbaaa
mn
pF
1
pF
2
tp
m
k
k
k
k
e
pF
pF
tf
1
/
2
1
k
p
pF
pF
02
2
pLRppF
1
21
2000
2
,0
c
L
R
pp
pF
2
ppLRpF 2200022
/
2
pF
1
pF
2
18000
11
REpF
6000200012180000
221
pRiLREpF
20002
1
/
2
RpF
200020002200022
22
/
2
LpRpF
tt
tptp
eee
pF
pF
e
pF
pF
tU
20002000
2
/
2
21
1
/
2
11
2
39
2000
6000
2000
18000
21
tu
2
te
мсte
tu
t
t
339
3066
3
1032000
1500
2
Если изображение какого-либо параметра цепи (напряжения или тока)
представлено в виде рациональной дроби:
где
– вещественные коэффициенты, причем
не имеют общих корней, то оригинал такого параметра:
где
– полюс функции
.
Приравняем знаменатель изображения выходного напряжения к нулю и
найдем полюсы функции
:
Найдем производную
:
Подставим полученные полюсы в
и
:
и
Тогда оригинал выходного напряжения согласно теореме разложения:
\
Таким образом, выходное напряжение
:
Определим постоянные времени для каждого случая:
29
мс
p
67,0
1500
11
1
мс
p
5,0
2000
11
2
Таблица 3 – График выходного напряжения
мсt,
0
0,5
1
1
1,5
1
2
1
2,5
1
3
1
3,5
1
4
1
3 мс
0
0,335
0,67
1,005
1,34
1,675
2,01
2,345
2,68
3
Вtu ,
2
0
2,361
3,793
4,661
5,188
5,507
5,7
5,819
5,89
5,932
мсt,
3 мс
3+0,5
2
3+
2
3+1,5
2
3+2
2
3+2,5
2
3+3
2
3+3,5
2
3+4
2
∞
3
3,25
3,5
3,75
4
4,25
4,5
4,75
5
∞
Вtu ,
2
12
10,82
10,1
9,67
9,41
9,25
9,15
9,09
9,06
9
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6
t, мс
U2(t), В
tu
1
0
мсt,
2
4
2
4
ВU ,
1
Рисунок 24 – График выходного напряжения
3.4. На вход цепи, изображенной на рисунке 16, подается импульсный сиг-
нал
, приведенный на рисунке 25.
Рисунок 25 – Импульсный входной сигнал
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]