Расчет линейных электрических цепей в стационарном и переходном режимах работы. Учебно-методическое пособие





 







4444433422411

1144133122111

I

y

GGGG



4411

,GG

...,

1312

GG

41

I,I

yy



 



 







 





 









 





 









 





 







 





 







 





 





J

RRRR

J

R

E

RRRR

354

4

321

1

4

2

3

1

2

21

1

111

00

0

1111





 



 





 



 







 



 







 



 





 



 





 



 





12

610

1

8

1

8

1

80000

12

2

100

0

4

1

80

2

1

0

4

1

2

1

41



ВВ 667,10;333,109

41





;333,7

4

80333,109

I

;12I

;666,4

2

100333,1090

I

2

31

3

2

1

112

1

мА

R

мАJ

мА

R

E

























 

;333,11

8

667,1080

I

4

43

5

мА

R













где

– собственные проводимости узлов 1 и 4, мСм

 Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей всех вет-

вей, подсоединенных к узлу

– взаимные проводимости узлов 1 и 2, 1 и 3 и т.д., мСм

 Взаимная проводимость между двумя узлами равна сумме проводимо-

стей всех ветвей, включенных между данной парой узлов

 Проводимость ветви с идеальным источником тока равна нулю

– узловые токи, мА

 Узловой ток равен алгебраической сумме токов всех источников, под-

ключенных к узлу. Задающий ток источника берется со знаком «плюс», если он направлен к узлу и со знаком «минус» если от узла

Подставляем в эти уравнения известные числовые значения и получаем

Откуда Определим токи в ветвях схемы, используя закон Ома:

11

мА

RR

667,0

106

0667,10

I

53

24

6

















2

Е

 

мА4667,0666,4III

614



;664,908333,11I

;002,46667,0I

;332,294333,7I

;332,92666,4I

454

363

232

111

ВRU

R









ВRU

R

67,610667,0I

565



ВUВU

LL

0;0

21



0II

2345

 RRU

г

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

1

Е

2

Е

J

1

I

2

I

3I4I5

I

6

I

J

U

С

U

Ток в ветви с идеальным источником

найдем по первому закону

Кирхгофа после вычисления токов во всех других ветвях схемы:

Полученные результаты полностью совпадают с токами, полученными ме-

тодом наложения, что говорит о правильности расчетов.

Определение напряжений на элементах цепи

Определим напряжения на резистивных элементах, используя закон Ома:

Так как индуктивные элементы представлены в виде короткозамкнутых

участков цепи, то напряжения на них равны нулю, т. е.:

.

Напряжения на емкостном элементе и на источнике тока определим с по-

мощью второго закона Кирхгофа:

Рисунок 7 – Схема для определения напряжений

Напряжение на источнике тока с помощью второго закона Кирхгофа:

12

2345

II RRU

г



ВU

г

996,119332,29664,90 

362

236

I

RЕU

ЕRU

с





 

ВU

с

002,84002,480 

.. рассист

РP 

   

мВтJUEEP

гист

129312996,119480667,4100II

4211.



мВт

RRRRRP

расс

1293449,4495,1027669,2092,215543,43

IIIII

5

2

64

2

53

2

62

2

31

2

1.





параметры

элементы

Ток,

мА

Напряжение,

В

Мощность,

мВт

1

R

- 4,667

- 9,332

43,543

2

R

7,333

29,332

215,092

3

R

- 0,667

- 4,002

2,669

4

R

11,333

90,664

1027,495

5

R

- 0,667

- 6,67

4,449

1

L

12 0 0

Напряжение на емкостном элементе:

Баланс мощности

Сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками энергии равна

сумме мощностей, потребляемых остальными элементами электрической цепи.

 Источник напряжения отдает энергию в цепь, когда направление ЭДС

совпадает с направлением тока в нем.

 Источник тока отдает энергию в цепь, когда падение напряжения на

зажимах источника противоположно направлению тока.

Мощность, отдаваемая источниками:

Мощность, рассеиваемая в резисторах схемы:

Равенство мощностей источников и потребителей также свидетельствует о

правильности расчетов электрической цепи.

Полученные результаты сведем в таблицу.

Таблица 1 – Результаты анализа электрической цепи при воздействии посто-

янных источников энергии

13

параметры

элементы

Ток,

мА

Напряжение,

В

Мощность,

мВт

2

L

- 0,667

0

C

0

84,002

0

1

E

-4,667

100

-466,6

2

E

4

80

320

J

12

119,996

1439,952

кГцfмАJВЕВЕ

JЕЕ

5;90,12;45,80;0,100

00

2

0

1

21





1

L

2

L

1

L

2

L

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

2

L

1

L

С

1

Е

2

Е

J

1

I

2

I

3

I

4I5

I

6I8

I

7

I



3.2. Проведем полный анализ реакции линейной цепи на гармонические воздействия (рисунок 8):

Рисунок 8 – Схема цепи при гармоническом воздействии

Расчет индуктивно связанных цепей существенно упрощается, если использовать эквивалентные схемы, не содержащие в явном виде индуктивные связи. Составление подобных эквивалентных схем и составляет сущность метода «развязки» индуктивных связей. При этом эквивалентные связи учитываются в эквивалентных индуктивностях развязанных схем.

В общем случае развязку любых индуктивно связанных элементов

и

,

соединенных в одном узле, можно осуществить с помощью правила развязки для согласного и встречного включения катушек [2] в разных ветвях.

Выполнив развязку согласного включения индуктивно связанных катушек

и

, получим следующую эквивалентную схему.

14

     

 

;5,4109,1515910522

33

11.1

кОмМLfМLX

эквL







     

 

;5,9109,1531810522

33

22.2

кОмМLfМLX

эквL







;5,0109,1510522

33

кОмMfMX

M







.6

1031,51052

1

2

11

93

кОм

СfС

X

С

















мАjeJ

ВjеЕ

j

12012

;57,5657,5680

;0100100

90

45

2

0

1



мАj12Ik4

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

МL 

2

МL 

1

С

1

Е

2

Е

J

1

I

2

I

3

I

к1

I

4I5

I

6

I

8I7

I

к4

I

к3

I

к2

I

М

Рисунок 9 – Схема цепи после «развязки» индуктивных связей

Определим сопротивления полученных реактивных элементов:

Источники энергии в символической форме записи:

Метод контурных токов

Данный метод предназначен для расчета сложных цепей. В его основе лежит введение в каждый контур условного контурного тока, направление которого обычно выбирают совпадающим с направлением обхода контура (рисунок

9).

 Контурный ток, протекающий по ветви с источником тока, полно- стью определяется током источника тока.

Т.е.

Остальные контурные токи определим с помощью системы уравнений:

15

 

 









3

344333232131

2

244233222121

1

144133122111

IIII

k

kkkk

k

kkkk

k

kkkk

UZZZZ

332211

,, ZZZ

2312

, ZZ

321

;;

kkk

UUU

 

   

 

 

 









0III0I

II0I

I0II

4

.254

321

23

3

21

2

42

21

1

M

k

CMэквL

k

C

kk

C

k

C

kk

kkk

jXRjXjXjXRRjX

EjXjXR

EERRR

   

     

 

 









05,081265,05,9108I6I

57,5657,566I66I

57,5657,5610041242I

32

1

jjjjjj

jjj

jj

kk

k

 

428,17238,7

6

4857,5657,56100

I

1

j

jj

k















3

2

I;I

kk

где

– собственные сопротивления контуров, кОм.

 Собственное сопротивление контура равно сумме сопротивлений всех ветвей, образующих каждый контур

– взаимные сопротивления между контурами 1 и 2, 2 и 3, кОм

 Взаимные сопротивления – общие сопротивления между рассматрива- емым и соседними контурами

– задающие напряжения контуров, В

 Контурное задающее напряжение равно алгебраической сумме напряжений источников, входящих в контур

При составлении системы уравнений пользуются правилами знаков:

 Собственное сопротивление всегда берется со знаком «плюс».

 Взаимное сопротивление берется со знаком «плюс», если контурные

токи протекают через него в одном направлении, и со знаком «минус» - если в разных направлениях.

 Напряжение источника берется со знаком «плюс», если его направление противоположно направлению контурного тока, и со знаком «минус» – если совпадает с ним.

Подставим числовые значения и решим полученную систему уравнений:

Первый контурный ток находится из первого уравнения независимо от остальных:

Второй и третий контурные токи найдем, используя правило Крамера:

где Δ – главный определитель системы

16

мА

 

     

56,26

2

.2543

.254

3

829,18784168641866

j

CCMэквLC

CMэквLC

CC

ejjjj

jXjXjXjXRRjXR

jXjXjXRRjX

jXjXR















 

M

k

jXR

E



4

2

I

 







CMэквLM

k

C

jXjXjXRRjXR

jXE

.2544

4

2

I

 

   

 



M

k

CCMэквL

jXRjXjXjXjXRRE

4

.254

2

I

       

88,79

687,122754,120898,215966641857,5657,56

j

ejjjjj 

 









M

k

C

jXRjX

EjXR

4

2

3

I

   

 

       

905,101

2

4

3

33,97242,95158,20057,5657,56696666

I

j

CM

k

C

ejjjjj

EjXjXRjXR







мАe

e

мАe

e

j

k

j

k

345,75

56,26

905,101

3

44,106

56,26

88,79

2

177,5

829,187

33,972

I

;536,6

829,187

687,1227

I















Δ2, Δ3 – определители, полученные путем замены в главном определителе первого или второго столбцов на столбец свободных членов:

Тогда контурные токи:

Зная контурные токи, находим токи в ветвях цепи, используя принцип наложения.

 Если направление контурного тока совпадает с направлением тока в ветви, то последний берется со знаком «плюс», если противоположно – со знаком «минус»

17

 

мАj

мАjjj

мАj

мАjjj

мАj

009,531,1II

;278,11159,3009,531,1269,6849,1III

;269,6849,1II

;991,631,112009,531,1III

;697,23087,9269,6849,1428,17238,7III

;428,5238,712428,17238,7III

;12II

;428,17238,7II

k38

k3k27

k26

k4k35

k2k14

k4k13

k42

k11

















2

L

ГЭ

U

ГЭ

I

Э

Z

2

8

2

8

II);I)

L

Э

ГЭ

L

Э

ГЭ

jXZ

Z

б

jXZ

U

а









Э

Z

8

I

ГЭ

U

Э

Z

2

L

а

в

8

I

ГЭ

I

Э

Z

2

L

а

в

Метод эквивалентного генератора

Данный метод обычно применяют в том случае, когда необходимо определить ток только в одной ветви цепи. Определим ток в катушке индуктивности

. Метод эквивалентного генератора основан на теореме об активном двухпо-

люснике, которая имеет две модификации: теорема Тевенина и теорема Нортона [1]. Вся цепь, кроме ветви, в которой нужно найти ток, заменяется активным двухполюсником с задающим напряжением

или током

и внутренним

сопротивлением найти ток в искомой ветви:

а) напряжения б) тока

Тогда ток в ветви можно найти либо по закону Ома (а), либо с помощью формулы разброса (б):

. Определив параметры эквивалентного генератора, можно

Рисунок 10 – Эквивалентные генераторы

18

. Оно равно сопротивлению пас-

Определим внутреннее сопротивление сивного двухполюсника относительно зажимов а – в.

 Пассивный двухполюсник – двухполюсник без источников энергии (все источники энергии заменяются их внутренними сопротивлениями)

 

кОмj

jj

jXjXRRR

Z

МэквL

Э

532,0722,4

5,05,91086

.2543

















ГЭ

U

XX

U

2

3

6

I ERU

XX



6

I

1

R

2

R

3

R

4R5

R

МL 

1

в

а

М

МL 

2

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

МL 

2

МL 

1

XX

U

1

Е

2

Е

J

1

I

2I3

I

4

I

5

I

6

I

8

I

М

Рисунок 11 – Схема для определения ZЭ

Определим эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника:

Определим напряжение

, которое равно напряжению активного двух-

полюсника на зажимах а – в режиме холостого хода (рисунок 12):

Рисунок 12 – Схема для определения

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, обозначенного на рисунке 12:

Найдем ток

, воспользовавшись методом контурных токов:

19

Рисунок 13 – Схема для определения тока

6

I

 

2

4

2

.2543

1

II EjXRjXjXRRR

M

k

MэквL

k



 

мАe

j

jXjXRRR

jXRE

j

MэквL

M

k

84,54

.2543

4

22

1

844,2

1024

43,3957,62

I

















мАje

j

k

325,2638,1844,2II

84,54

16





 

ВjjjREU

XX

52,7074,466325,2638,157,5657,56I

3

62



мАj

jj

j

jXZ

U

C

Э

XX

276,11159,3

6532,0722,4

52,7074,46

I

7













ГЭ

I

кз

I

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

МL 

2

МL 

1

XX

U

1

Е

2

Е

J

1

I

2I3

I

4I5

I

6I8

I

к1

I

М

к2

I

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

МL 

2

МL 

1

кз

I

1

Е

2

Е

J

1

I

2

I

3

I

4

I

5

I

6I8

I

М

к1

I

к2

I

Напряжение холостого хода:

Ток в конденсаторе:

Определим ток

а – в (рисунок 14).

, который равен току при коротком замыкании зажимов

Рисунок 14 – Схема для определения

20