Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная математическая статистика. Учебное пособие
.pdf
31
2
γ
χ
2
χ
1
v n
= −
v n
=
2
+ α
′
γ = α
2
− α
′′
γ = − α
3
2 2
v v
u
γ
0,9; 0,95; 0,99
α =
u
γ
α
′
γ ′′
γ
u
′
γ
u
′′
γ
′
γ ′′
γ
u
′
γ
u
′′
γ
σ
1 1
s s s s
= ⋅ = ⋅
2
( )
s x x
2
1
′
γ
−
χ
( 1)
n
−
0,9; 0,95; 0,99
α =
0,95
α =
1 2 1, 74
1,96 2 2
+ −
11,54( 3,61) 1,98; 2 4;
− + ≤ ≤
2
χ
λ
∈Π
λ
Π
( ) , [0, )
= λ ∈ ∞
где
известен,
γ =
Для аппроксимации можно использовать следующую формулу
Для практического применения для уровней достоверности
приведены в табл. 1
0,90
0,95
0,99
– γ-квантиль распределения
1
′
γ =
);
1
′′
– γ-квантиль стандартного нормального распределения.
для двусторонней оценки и
Односторонние границы Двусторонние границы
0,90
0,95
0,99
0,10
0,050
,01
для двусторонней оценки и
2
χ = − +
γ γ
1,283
1,645
2,326
с
1
( ) 1
v v u
9 9
-1,283
-1,645
-2,326
0,950
0,975
0,995
степенями свободы (если параметр µ
для односторонней оценки.
0,050
0,025
0,005
,
для односторонней оценки;
значения
1.645
1,960
2.576
-1.645
-1,960
- 2.576
Интервальная оценка
n
= −
где
В работе [1] приведена таблица значений
значений
– для нижней границы
1
∑
−
1
n
1
=
i
может быть рассчитана также по формулам
n n
н в
i
.
. Для
χ
− −
2 2
χ χ
γ γ
=
2
0,975
1
– для верхней границы
χ
2
0,025
=
,
′ ′′
,
n
для различных
получена следующая эмпирическая формула:
n
−
;
от 2 до 100 и трех
n
n n
2
2 0,8 1,96
−
2 0,47
n
− −
n
≥
; 5.
n
Критические точки распределения
3.2. Оценка параметров показательного распределения
Пусть
распределения
X
, где
– показательный закон распределения с параметром λ с плотностью
f x e x
−λ
приведены в работе [2] на стр. 312.
x
.
32
i i
x x
′ ′′
∑ ∑
2
γ
χ
2
v n
=
2 2
+ α − α
′ ′′
γ = α γ = − α
2 2
− α α
− = − =
н
p
в
p
2 2
1 1
2 4
x u u n x u
γ γ γ
2 2
1 1
2 4
x u u n x u
γ γ γ
u
γ
2
+ α
γ = α
4
x
≥
4
n x
− ≥
14,5
4
+ + +
(18 14,4) (12 14, 4) (13 14,4) (15 14,4) 7, 0
3
7 2,65; 1 3
= = = − =
0,95
α =
γ = α
(1 ) 0,05
q
= − α =
2 0,1
=
2,35
=
14,5 2,35 17, 61
4
Интервальная оценка параметра λ при доверительной вероятности α рассчитывается по
формулам
2 2
χ χ
н в
λ = λ =
γ γ
,
n n
,
2 2
= =
i i
1 1
где
γ = γ =
оценки.
– γ-квантиль распределения хи-квадрат с
1 1
′ ′′
,
для двусторонней оценки и
степенями свободы;
, 1
для односторонней
3.3. Оценка параметров биномиального распределения
Интервальные оценки параметра p с доверительной вероятностью α являются решениями
уравнений Клоппера-Пирсона
n m
x x n x x x n x
C p p C p p
∑ ∑
x m x
= =
На практике широко используется аппроксимация нормальным распределением [1]. В этом
случае нижняя
и верхняя
(1 ) , (1 )
n н н n в в
( ) ( )
границы равны
x
n
+
n u
( )
2
γ
+ − − +
=
p
н
1
− −
0
x
n
+
n u
( )
2
γ
+ + − +
=
,
p
в
.
,
где
оценки,
Эта аппроксимация рекомендуется при
– γ-квантиль стандартного нормального распределения;
для односторонней оценки.
и
.
γ =
для двусторонней
3.4. Примеры интервальных оценок
1
Пример 3.1
иметь продавец, чтобы удовлетворить по возможности всех покупателей, если за четыре дня
по этой теме было продано: 18, 12, 13, 15 книг.
Решение. На основании этих данных находим среднее и дисперсию
. Требуется определить, какое количество книг N по некоторой теме должен
18 12 13 15
x
= =
1
2 2 2 2 2
s = − + − + − + − =
( )
s v n
Примем доверительную вероятность
области имеем
,
;
;
.
. Тогда для односторонней критической
,
q
и по таблице распределения Стьюдента
получим
в
µ = + =
t
0,1
2,65
. Верхняя граница математического ожидания равна
.
33
18
N
=
16,33; 0,72
0,9
α =
0,95; 0,05
2 2
+ α − α
2
v
=
2
χ
5,99; 0,103
2
σ
( ) ( ) 0,24
( ) ( ) 14,1
0,24 14,1
0,49 3,61
≤ σ ≤
2
1
k
σ σ
− α − α
α
x
i
x x
∑
(1 ) (1 )
σ σ
− α − α
µ
3 (1 ) 3 (1 )
σ σ
− α − α
3 (1 ) 3 (1 )
σ σ
− α − α
Следовательно, максимальное возможное количество книг, которое необходимо иметь
продавцу,
Пример 3.2.
документа каждым секретарем в среднем составляет 16,3; 15,5 и 17,2 мин. Требуется оценить
ориентировочное время и возможное отклонение во времени оформления документа,
сданного в канцелярию.
Решение. Рассчитываем выборочное среднее значение и выборочную дисперсию
x s
= =
В канцелярии офиса работают три секретаря. Время подготовки одного
.►
2
.
Приняв доверительную вероятность
1 1
′ ′′
γ = = γ = =
2 2
χ = χ =
0,95 0,05
равна:
n
1 2 0,72
н
2 2
= − = =
s x x
В результате получим
∑
2
χ
′
γ
i
i
1
=
.►
. Тогда двусторонняя доверительная оценка дисперсии
⋅
5,99
2
≤ σ ≤
. При
, получим
по таблицам
n
1 2 0,72
в
2 2
;
. После извлечения квадратного корня
= − = =
s x x
∑
2
χ
′′
γ
i
i
1
=
-распределения, находим:
⋅
0,103
.
3.5. Интервальные оценки параметров при неизвестном
законе распределения
3.5.1. Оценки для центра распределения
В качестве первичных (достаточно грубых) оценок центра группирования значений
случайных величин при неизвестном законе распределения вероятностей могут быть
использованы различные предельные неравенства. Рассмотрим неравенства Чебышева.
Неравенство Чебышева имеет вид
P x k
− µ ≥ σ <
( )
где µ и σ – соответственно среднее значение и стандартное отклонение.
Из неравенства Чебышева следует, что
x x
− ≤ µ ≤ +
,
,
1 1
где
Если вместо значения случайной величины
– доверительная вероятность. Здесь предполагается, что σ известно.
используется выборочное среднее
n
1
=
n
, то имеет место неравенство
1
i
=
x x
− ≤ µ ≤ +
.
n n
Если известно, что распределение симметрично относительно центра
интервал равен
x x
2 2
− ≤ µ ≤ +
или
x x
− ≤ µ ≤ +
2 2
, то доверительный
n n
.
34
75
σ =
9; 23,7; 24,5; 28,4.
0,95
α =
12(1 0,95) 12(1 0,95)
3,336 25,696
≤ µ ≤
3 12(1 0,95) 3 12(1 0,95)
7,062 21,96
≤ µ ≤
25,696 3,336 22,36
− =
21,96 7,062 14,898
− =
r
s
( , 1) ( , 1) (1 ) ( )
p p n r p s
I r n r I s n s C p p P x x x
( , )
I a b
1
s n r
= − +
(1 )
i i n i
C p p
−
0,75
x
0,25
x
3
r
=
1 10
s n r
= − + =
3 10
[ ]
x x
−
0,25
p
=
0,25 (1 0,25) 0,552
Отсюда следует, что только знание того факта, что распределение случайной величины
симметрично, уже позволяет построить более узкий доверительный интервал для центра
распределения.
Пример 3.3.
законом распределения вероятностей (известна только дисперсия
:1,2; 3,4; 6,1; 8,3; 12,1; 13,1; 14,8; 16,7; 21,
x
i
Найти доверительный интервал для центра распределения при
Имеются результаты наблюдений над случайной величиной с неизвестным
2
):
.
Решение. Имеем
x
= − ≤ µ ≤ +
14,516; 14,516 14,516
− −
75 75
или
Если бы располагали информацией о том, что распределение вероятностей случайной
величины x симметрично, то имело бы место
.
2 75 2 75
14,516 14,516
− ≤ µ ≤ +
или
, т.е.
− −
доверительный интервал длины
.►
3.5.2 Оценка рассеяния распределения
Некоторое представление о степени рассеяния непрерывного распределения дают его
выборочные квантили. В общем случае доверительные интервал для p-квантили ограничен
элементами упорядоченной по возрастанию выборки с номерами
доверительная вероятность равна
α = − + − − + = − = ≤ ≤
где
Если
p
– функция бэта-распределения с параметрами a и b.
(случай симметричного интервала) то
Разность между
и
1
s
−
i i n i
∑
=
i r
, называемая интерквартильной широтой, является
уменьшился бы в 1,5 раза до
и
−
n r
−
α = −
∑
n
i r
=
,
.
, так как
характеристикой степени рассеяния распределения относительно его центра.
Пример 3.4.
распределения.
Решение. Предположим, что
того, что в интервале
9
α = − =
∑
i
=
3
В условиях примера 3 найти доверительный интервал для 25%-й квнтили
и
находится 25%-я квантиль (
i i i
C
12
12
−
.►
Вопросы для самопроверки
Интервальные оценки среднего нормального распределения при известной дисперсии.
1.
2. Интервальные оценки среднего нормального распределения при неизвестной
дисперсии.
Интервальные оценки дисперсии нормального распределения.
3.
4. Интервальные оценки параметров экспоненциального распределения.
5. Интервальные оценки и параметров биномиального распределения.
. Тогда доверительная вероятность
), равна
35
6. Оценка центра распределения при неизвестном законе распределения.
7. Оценка рассеяния распределения при неизвестном законе распределения.
36
Тема 4. Методы анализа законов распределения вероятностей
случайных величин
4.1 Общие понятия
Для практического применения методов теории вероятностей и математической
статистики знание закона распределения вероятностей чрезвычайно важно. По существу,
сама изучаемая случайная величина для исследователя представлена только законом
распределения вероятностей реализации ее значений.
Зная закон распределения вероятностей наблюдаемой случайной величины,
исследователь или инженер в состоянии решать многие практические задачи, связанные с
планированием производства, обеспечением качества продукции, оценкой эффективности и
стабильности производства.
Попытка, применить методы анализа результатов наблюдений, разработанные для
конкретных законов распределения вероятностей, в условиях, когда реальное распределение
отличается от гипотетического, является самой распространенной на практике ошибкой,
приводящей к неверным выводам и, в конечном итоге, к существенным материальным
потерям и затратам времени.
Именно поэтому любая обработка результатов наблюдений должна неизменно начинаться
с ответа на главный вопрос: каково распределение вероятностей обрабатываемого ряда
случайных величин? На практике эта проблема обычно формулируется следующим образом.
Выдвигается гипотеза — «наблюдаемое распределение случайных величин описывается
некоторым конкретным законом (нормальным, экспоненциальным, Вейбулла, ...)». Задача
первичного исследования принять или отклонить выдвинутую гипотезу.
Если ни одна из гипотез, связанных с формой закона распределения вероятностей не
принимается, то может быть сформулирована более мягкая гипотеза — например,
«наблюдаемое распределение симметрично относительно какой-то точки». Даже
установление только этого факта дает в руки исследователя более эффективные методы
анализа наблюдений, чем полное незнание закона распределения вероятностей. И. наконец,
если исследователь не получил достаточных оснований для выбора вида распределения, то
возникает задача подбора формы распределения непосредственно по экспериментальным
данным. При этом распределение вероятностей должно быть подобрано так, чтобы оно
удовлетворительно описывало имеющийся экспериментальный материал.
Мы встречаемся здесь с понятием статистической гипотезы. Статистической гипотезой
называется предположение, выдвигаемое относительно особенностей распределения
вероятностей случайной величины, которое проверяется по результатам наблюдений над
ней.
Проверка любой статистической гипотезы сводится к следующему. По выборочным
значениям случайной величины подсчитывается некоторая величина – статистический
критерий (статистика критерия). При допущении, что распределение вероятностей
используемой статистики критерия в условиях справедливости проверяемой гипотезы
известно, определяется вероятность появления вычисленного значения статистики. На
основе так называемого принципа значимости устанавливается уровень значимости —
наибольшее значение вероятности, несовместимое с признанием случайности
экспериментально вычисленного значения статистики критерия. Событие называется
значимым, (а не случайным), если теоретическая вероятность его случайного появления
меньше, чем принятый уровень значимости. Уровнем значимости определяется критическое
значение статистики критерия. Как правило, если значение статистики критерия,
вычисленное по экспериментальным данным, больше критического, то гипотеза отклоняется
на выбранном уровне значимости. В противном случае она признается не противоречащей
37
β
1
− β
,
α β
0
H
: ( ) ( )
H F x G x
=
( )
F x
( )
G x
: ( ) ( )
H F x F x
=
( )
F x
( )
F x
2
χ
{ , , , }
n
x x x
…
: ( ) ( )
H F x F x
=
: ( ) ( )
H F x F x
≠
результатам наблюдений. Дополнение до единицы уровня значимости называется уровнем
достоверности (достоверностью).
Поскольку статистика критерия для проверки гипотезы вычисляется по выборочным
реализациям случайной величины, то и сама она является случайной величиной. Поэтому
суждения по гипотезе на основе статистики критерия могут носить только вероятностный
характер. При этом различают ошибки, первого рода, заключающиеся в отклонении верной
гипотезы, и ошибки второго рода, заключающиеся в принятии ложной гипотезы.
Вероятность ошибки первого рода совпадает (по крайней мере не выше) с уровнем
значимости и обозначается в литературе через α. Ошибка второго рода обозначается через
. Эффективность статистического критерия проверки гипотезы оценивается его
мощностью
Выбор значений α и β определяется условиями эксперимента и требованиями,
предъявляемыми к достоверности суждения по проверяемой гипотезе. Обычно на практике
используются значения
Проверяемая гипотеза называется нулевой и обозначается символом
запись
распределения
В классификации статистических критериев проверки гипотез о законе распределения
вероятностей принята определенная терминология. Такие критерии подразделяются на два
класса — общие критерии согласия и специальные критерии согласия. Общие критерии
согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, как гипотезы о согласии
наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением
вероятностей. Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые
гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей –
нормальной, экспоненциальной, Вейбулла и т.д. Такие критерии носят соответствующие
названия – критерии нормальности, критерии экспоненциальности и т.п.
Нулевая гипотеза при применении общих критериев согласия записывается в форме
где
функция распределения вероятностей.
4.2.1 Критерии, основанные на сравнении теоретической плотности распределения и
эмпирической гистограммы
0
– эмпирическая функция распределения вероятностей;
n
Все известные общие критерии согласия можно разбить на три основные группы:
• критерии, основанные на изучении разницы между теоретической плотностью
распределения и эмпирической гистограммой:
• критерии, основанные на расстоянии между теоретической и эмпирической
функциями распределения вероятностей;
• корреляционно-регрессионные критерии, основанные на изучении
корреляционных и регрессионных связей между эмпирическими и теоретическими
порядковыми статистиками.
, равной вероятности отклонения ложной гипотезы.
, равные 0,1; 0,05; 0,01.
означает, что проверяется нулевая гипотеза о совпадении функций
и
.
4.2 Общие критерии согласия
0
n
,
. Например,
– гипотетическая
Критерий
Пусть дана выборка
гипотеза
(Пирсона) для простой гипотезы
1 2
0
n
против альтернативы
из генеральной совокупности F. Проверяется
1
n
.
38
m
( ) ( )
i i i
p F x F x
= −
i
0
H
(
)
2
n np
i
n
i
np
0
H
∞
→
n
(
)
( ) ( 1)
= ⇒ −
( )
x
ρ
2
2
α
α
ρ χ
ρ χ
(
)
2
n np
2
α
χ
( 1)
χ −
1
m
−
2
χ
( )
x
ρ
( ) 2( 1) 2 2
ρ = − + − − +
n
≪
m n
≪
( ) 2( 1)
D m
ρ = −
2
χ
2
χ
2
χ
5
≥
1 5
≤ ≤
200
n
≥
2 / 5
4( 1)
/ 5
m n
=
200
n
<
1 3,32 lg 1 4 lg
m n n
= + ⋅ ≈ + ⋅
10
m
=
( ) ( )
x v
1
α
−
0
H
( ) ( )
x v
0
H
Представим выборку в виде группированного ряда, разбив предполагаемую область
значений случайной величины на
попавших в i-ый интервал, а
случайной величины в
m
( )
x
ρ
=
∑
=
i
значений
Теорема Пирсона
Таким образом, статистику
согласия для проверки гипотезы о виде закона распределения, который будет иметь вид:
−
i i
np
1
от ожидаемых
i
. Если
( )
F x
n
-й интервал при условии истинности
, которая характеризует сумму квадратов отклонения наблюдаемых
по всем интервалам группирования.
верна, то при фиксированном m и
m
ρ χ
x m
∑
1
=
i
, ( )
H x
0
=
, ( )
H x
1
интервалов. Пусть in - число элементов выборки
1
+
n np
−
i i
np
можно использовать в качестве статистики критерия
2
i
<
,
( )
ρ
≥
- теоретическая вероятность попадания
. Составим статистику
2
α
m
=
x
∑
i
=
. (1)
−
1
i i
np
, (2)
i
где
Данный критерий называется критерием
статистики
На мощность статистического критерия
интервалов разбиения гистограммы m и порядок её разбиения (т.е. выбор длин интервалов
внутри диапазона изменения значений случайной величины). На практике принято считать,
что статистику
допустимо и тогда, когда не более, чем в 20% интервалов имеет место
При
Считается, что оптимальное значение
Правило проверки гипотезы просто: если
достоверностью (
гипотеза
Пример 4.1.
приведены в таблице:
-квантиль распределения
равна
, то
- распределение.
можно использовать при
рекомендуется выбирать m из условия
.
значение m можно выбирать из условия
принимается (не противоречит опытным данным).
Измерены 100 обработанных деталей, отклонения от заданного размера
D m m m
) гипотеза
2
m
, т.е. совпадает с дисперсией случайной величины, имеющей
с (
или критерием согласия Пирсона. Дисперсия
1 1
n p
.
ρ > χ
отвергается. Если выполняется
) степенями свободы.
m
2
∑
=
i
1
i
сильное влияние оказывает число
np
. Показано, что такое приближение
i
m n
= −
2
, то на уровне значимости α, т.е. с
α
. Если
, но не превышающее
m
∑
1
=
i
np
i
ρ ≤ χ
1
p
i
2
α
и
. При
, то
.
39
σ
100
100
7.1
≈
σ
)6,..2,1(
=
i
~ ( , )
X N a
σ
),(
∞
−∞
)1,
(
−
−∞
),3
(
∞
{
}
−<<∞−
=
=
=
=
=
{
}
∞<<
=
=
набл
ρ = χ
[-3,-2) [-2,-1) [-1,0) [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5)
),[
xx
+ii
1
n
i
3 10 15 24 25 13 7 3
Проверить при уровне значимости α = 0,01 гипотезу
проектного размера подчиняются нормальному закону распределения.
Решение.
Число наблюдений в крайних интервалах меньше 5, поэтому объединим их с соседними.
Получим следующий ряд распределения (n = 100):
),[
xx
1
+ii
n
i
Случайную величину - отклонение - обозначим через X. Для вычисления вероятностей
необходимо вычислить параметры, определяющие нормальный закон распределения (a и
). Их оценки вычислим по выборке
[-3,-1) [-1,0) [0,1) [1,2) [2,3) [3,5)
13 15 24 25 13 10
H
о том, что отклонения от
0
p
1
≈=⋅++⋅−+⋅−=
x
1
D
в
Находим
интервалы в ряде распределения заменяем, соответственно на
1
6
Полученные результаты приведем в следующей таблице:
p
i
Xpp
p
3
1667.0
2
Xpp
=
. Так как СВ
−−
9.01
Φ
1
=
,
p
3
( ) ( )
2258.0
Φ−∞Φ
7.1
,
−
7.1
( ) ( )
p
4
2183.0
1
9.03
2
9.0885.0)104...15)5.0(132(
,
2
809.2885.0)1016...1525.0134(
≈−⋅++⋅+⋅=
,
определена на
1
2
,
p
5
000
.
, то крайние
и
=Φ−=∞−Φ−
000
1503.0
1075.024.1
=Φ−=
1314.012.1
,
. Аналогично
. Тогда
i
),[
xx
+ii
1
n
i
npn
'
i
Вычисляем статистику 2( )
2
χ
набл
Находим число степеней свободы; по выборке рассчитаны два параметра, значит, r = 2.
Количество интервалов 6, т. е. m = 6. Следовательно, k = 6 - 2 - 1 = 3. Зная, что α = 0,01 и k =
3, по таблице
оснований отвергнуть проверяемую гипотезу. ►
(-∞,-1) [-1,0) [0,1) [1,2) [2,3) [3, ∞)
13 15 24 25 13 10
13,14 16,67 22,58 21,83 15,03 10,75
6
∑
=
i
x
2
n
i
np
1
i
χ
13
n
14.13
2
-распределения находим
15
:
222
10
75.10
2
=
,k
α
11.3. Итак
..
+++=−=
67.16
χ
045.1100045.101100
=−=−
2
χχ
≤
следовательно, нет
,2kнабл
α
.
40
{ , , , }
n
x x x
…
: ( ) ( )
H F x F x
=
: ( ) ( )
H F x F x
≠
i
n
i
{1, 2, , }
i m
∈
…
i
p
*
θ
* *
( )
θ
i
p
(
)
2
n np
0
H
m
∞
→
n
(
)
( ) ( 1)
= ⇒ − −
2
2
α
α
ρ ≤ χ
ρ > χ
(
)
2
n np
( 1)
− −
2
χ
1
m l
− −
*
θ
( )
x
ρ
*
θ
( )
x
ρ
n
x x x
≤ ≤ ≤
( )
F x
( )
F x
0,5
Критерий
Пусть
гипотеза
параметров), против альтернативы
Пусть выборка по прежнему представлена в виде группированного ряда и
элементов выборки попавших в
в этом случае использовать для построения критерия Пирсона, так как не можем вычислить
теоретические значения вероятностей
Пусть
Составим статистику
2
χ
(Пирсона) для сложной гипотезы
1 2
0
n
- оценка параметра θ, а
ρ
выборка из генеральной совокупности F. Проверяется сложная
, где θ - неизвестный параметр распределения F (или вектор
θ
1
-ый интервал,
p
i
( )
x
m
=
∑
=
i
1
−
i i
np
n
, которые зависят от неизвестного параметра θ.
- соответствующие ей оценки вероятностей
*
.
*
i
.
θ
- число
. Статистику (1) мы не можем
.
Теорема Пирсона
параметров распределения), то при фиксированном
Таким образом, критерий Пирсона для параметрической гипотезы будет иметь вид:
где
Замечание.
должны быть определены из условия минимума статистики
Поэтому желательно уточнить оценки
максимального правдоподобия или методом моментов) путем минимизации
4.2.2 Критерии, основанные на сравнении теоретической и эмпирической функций
распределения вероятностей
функцию распределения вероятностей. а через
2
m l
χ
α
Оценки
Пусть дана выборка
. Если
x m l
ρ χ
F x
n
∑
i
=
( )
- квантиль распределения
верна, и l - число компонент вектора θ (число неизвестных
2
m
n np
i i
1
=
H x
0
*
−
*
np
i
, ( )
α
, ( )
H x
1
, используемые для построения статистики критерия хи-квадрат,
1 2
....
и
2
,
с
, найденные другим способом (методом
. Обозначим через
. (3)
ρ
— теоретическую функцию
m
∑
=
i
i i
1
.
n
=
( )
x
степенями свободы.
*
−
*
np
i
эмпирическую
, (4)
.
1
распределения (
Расстояние между эмпирической и теоретической функциями распределения
вероятностей является весьма эффективной статистикой для проверки гипотез о виде
закона распределения вероятностей случайной величины.
x F
−
=
i
i
−
).
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]