Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интегральному исчислению функции многих переменных. Учебное пособие.pdf
π
2
0
=
2
2
= .
=
(+ )=
2
Пример 10. Найти массу четверти эллипса = cos , = 2sin ,
расположенного в первом квадранте плоскости Oxz, если линейная плотность
= z.
Решение. Из формулы (7.2) следует, что =
. Из уравнения кривой
находим:
Очевидно, что параметр меняется от 0 до
= = 2 + 4
= 2
1 + 3
(cos ) = 23
=
1
+ (cos ) =
; тогда:
3
Положив cos = , получим:
=
23
1
+ = 23
3
1
+ ;
3
3
= 2 +
ln3 + 2
.
3
Пример 11. Найти координаты центра тяжести однородной дуги
циклоиды = (sin ), = (1 cos ), если (0 2
Решение. В силу симметрии кривой относительно прямой =
получаем
= . Найдем теперь , а затем
. Из уравнения циклиды
находим, что
=
2
1 cos
,
)
.
тогда
51
π
2
0
π
2
0
2
0
π
= =
=
=
= 2
=
(1 cos )
1
= 1 +
1 cos
2
=2
= 4
2
8
1
1 +
3
1 cos
= 4+ 4= 8
1 cos
=
1
=
3
4
3
=
=
2
=
2
=
.
Пример 12. Найти моменты инерции относительно координатных осей и
начала координат четверти однородной окружности = 2 cos , = 2 sin ,
лежащей в первом квадранте плоскости yOz.
Решение. В силу одинакового расположения кривой по отношению
=
координатных осей
= = = 4 4+ 4
. По формулам (7.4) получаем:
1 cos 2
= 8
= 4
2
= (+
)
= 4 (
+
sin 2
2
)
4
=
= 2;
+ 4=
52
2
0
π
1
0
= 8 = 8
= 4.
Пример 13. Вычислить работу силы = +(+ ) при перемещении
точки массы m из точки О(0,0) в точку А(1,1) по прямой = , лежащей в
плоскости yOz.
Решение. Из формулы (7.5) следует, что
=+(+ ).
Так как мы интегрируем по прямой = и при перемещении из точки О
в точку А y меняется от 0 до 1, получаем:
=⋅ +(+ )=
(
+ 2)=
=
+
=
+ 1 =
53
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ
1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода
1.1)
, =
2,
2
(0, 2) (4,0)
1.2) ,
(
)
(
)
(
)
(
0,0
;
4,0
;
4,2
;
1.3) ,
1.4)
, : = ln
0,2
)
= 4, = 4
(
)
1,0
(2, ln 2)
1.5)
+
, : 2= 4 (0, 2) (4,0)
1.6)
1.7)
, : =, 0 2
, : =
2
1
1,
(2,2)
2
1.8) 2 , = (sin ), = (1 cos )
1.9. + , = (cos + sin ),
= (sin cos ), 0 2
1.10)
, :
= 4(sin )
0 2
= 4(1 cos )
cos )
1.11) + , :
=
0 2
= sin )
54
1.12)
+ 2
, : =
cos
, = sin, 0
2
1.13) , :
= 3 sin )
= 3 cos )
1.14) 1 + 2 , : =
1.15. () , :
+ =
2
, =
0
2
, 0 1
3
1.16) + , (+
1.17) (+ ) , (
1.18)
, + = (0)
+
)
)
= (+ ) (0)
= (+ ) (0)
1.19)
, + = 4,
1.20)
, : = (1 +
)
, = 2 , 0 1
2. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
2.1) (
2.2) +() , : = ,
2.3) (+ )2,
)
, =
= , =
(
0,1
(
)
0,0
)
(2,5)
(2,4)
2.4)
+(+ ) ,
,
55
= , = 4
3
2.5) +3
, ,
2
= 1
(
+
2
3
)
2.6) (+ )2
= 0, = 0, + = 4 ( )
2.7) 4
+ 2
(3,6)
2.8) (
,
2.9) 2
2.10)
)
+
+ , − = cos ,
, ,
(
)
0,0
,
, = 2
(
)
0,0
(
2,1
)
.
(
2,0
,
(
0,0)
)
,
(
4,4
)
,
(
0,4
)
= ,
2.11) (2)() ,
−
= (sin ),
= (1 cos ), 0 2
2.12)
+
, − = , = ,
(, 0) (0, )
2.13) + ,
−
= ,
= , 1
56
.
(
2.14)
+ )()
+
, − + =
(
2.15) 2
2.16)
2.17)
, : =4 , = 0, = 0
2 , : + = 1, = 0, = 0
(,)
, : = , = 2, = 2
2.18) 2+
(,)
(,)
(
+ 2)+
2.19)
(+ )
(,)
)
.
(,)
2.20) (
(,)
(,)
2.21)
(,)
+ 4
+
)
+(6
+ +
5
+
)
+
3. С помощью формулы Грина вычислить криволинейные интегралы по
замкнутому контуру, пробегаемому против часовой стрелки.
3.1)
3.2) 2(
(
1,1),(2,2
+
,
)
, (1,3)
)
+ (+ )
,
(
1,1),(2,2
)
, (1,3)
57
3.3) (1
)
+ (1 +
) , : +
3.4) (+ + )+ (+ ) , :
3.5) (1
3.6) (+
3
3.7)
(
4
)
+ (1 +
)
(+
2)+(1 +
) , : + = 2
) , ,
)
, ,
2
+ 6
3.8) (
)
+(
+
)
, ,
= 4
+ =
2 , + 1
3.9) (+
+ )+ (+ ) ,
= , 3
3.10)
3 , : =
3.11) () , : =
3.12) (1
)
+ (1 +
) , : (+
4. Приложения криволинейных интегралов
, = , = 2
, = 0, = 4
)
= (0)
,
4.1) Найти площадь области, ограниченной параболой =
4.2) Найти площадь области, ограниченной кривой =
и прямой = 1
, =
0 2
4.3) Найти площадь области, ограниченной кривой = (2 cos cos 2),
= (2 sin sin 2)
58
0 2
4.4) Найти массу участка линии
= ln между точками с абсциссами
если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.
4.5) Найти координаты центра тяжести четверти окружности радиуса a,
расположенной в 1 квадранте плоскости xOy, если плотность равна 1.
3 и 8,
59
Литература.
1. Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. — М., 1965.
2. Ильин В. А., Поздняк Э. П. Основы математического анализа. — М.:
Наука, 1967
3. Высшая математика: конспект лекций для студентов 2 курса: учеб.
пособие/ Докучаев С.А., Ефименко В.Н., Костецкая Г.С., Прушинская Л.А. –
Ростов н/Д:СКФ МТУСИ ,2002.
4. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учеб.пособ.
/ под ред. Б.П. Демидовича. – М.:АСТ:Астрель; Владимир:ВКТ,2010
5. Математический анализ: учеб.пособ. для бакалавров / под общ. ред. А.М.
Кытманова. – М.: Юрайт,2015
6. Шипачев В.С. Курс высшей математики: учеб. для вузов / В.С. Шипачев,
под ред. А.Н. Тихонова. – 4-е изд., испр. – М.: Оникс,2009
60