Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интегральному исчислению функции многих переменных. Учебное пособие.pdf
y
x−−
1
0
Ограниченная ими область есть тетраэдр ОАВС. Снизу область
ограничена плоскостью = 0, сверху – плоскостью + + = 1 (или = 1
). Поэтому по формуле вычисления тройного интеграла имеем
=
Вычислим внутренний интеграл по , считая при этом , постоянными
величинами
=
=
(1 2(+ )+ (+ )
2
)=
1
=
(1 )=
2
1
=
(22+ (+ 2+
)
)
=
2
1
=
(22+ + 2+ )
2
Вычислим теперь полученный двойной интеграл по области
21
.
xyy−==1
0
1
0
Эта область – простая и относительно оси Ох и относительно Оу.
Имеем
1
(22+ + 2+ )
2
1
=
22+
2
++ 2+ )=
1
=
(1 )2
2
1
2
3+ 3+ 2+ 2+ + +
3
=
(
1 )(1
1
=
2
+
3
=
+
1
2
2
)
+
=
3
=
1
2
6
=
2
2
(
1 )+
+
3
+ +
(
4
15
2
1
2
)
=
+
+
3
3
(
1
3
)
=
=
Ответ:
2.3. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и
сферические координатны.
Замена переменных в тройном интеграле производится аналогично то,
как это делается в двойном интеграле:
(, , )=
((, , ), (, , ), (, ,
где
.
)
||
)
(2.4)
22
а) цилиндрические координаты
(, , )
=
(, , )
=
0
Чаще всего используются цилиндрические и сферические координаты
=
=
=
0 2
0 <
< < +
||
=
(2.5)
(,)
(, , )= ( ,
(,)
, ) (2.6)
б) сферические координаты
=
=
=
||
0 2
0 <
0 < <
=
sin
(2.7)
23
(, , )=
Пример 10. Вычислить
поверхностями
(cos , , )
, где область ограничена
+ + 2= 0 и + = 2 .
sin
(2.8)
Решение. Первая поверхность – сфера, вторая поверхность – параболоид.
Уравнение сферы преобразуем к виду
+ + (1)
= 1. То есть центр в
точке (0,0,1), радиус 1. У параболоида вершина в точке (0,0,1), радиус 1. У
параболоида вершина в точке (0,0,2), ветви вниз. Сделаем чертеж (рисунок 18)
Найдем уравнение линии, по которой пересекаются эти поверхности.
Очевидно, что это окружность. Определим, на какой высоте над плоскостью
xOy расположена эта окружность. Подставляя выражение
+
из второго
уравнения в первое, получим
(
2 )+ (1)
= 1;
= 2.
= 1 или 2 + 2+ 1 = 1 3+ 2 = 0,
Но точка (0,0,2) – это вершина параболоида, поэтому линия пересечения
поверхностей находится на высоте = 1 над плоскостью xOy. Уравнение этой
линии получим, подставляя = 1 в уравнение любой из данных поверхностей:
+ + 2= 0
+
= 1
= 1
24
1
0
Эта окружность без искажений проектируется в xOy, а все тело
проектируется в круг
, ограниченный этой окружностью. Так как область
снизу ограничена сферой, то выражая из ее уравнения, получим
= 1 ±
1 (
выражая из его уравнения, получим
1 (+ ). Учтем, что на нижней полусфере < 1, т.е. = 1
+ ). Сверху область ограничена параболоидом, поэтому,
)
= 2 (+
. По правилу
вычисления тройного интеграла имеем
)
+
1 (
+
)
)
)
)
+
)
(
= = (2 (
+
1 (+ )) = (1 (+
(
Поскольку область интегрирования круг, то удобно перейти к полярным
1 +
координатам = , = . Тогда подыинтегральная функция примет
+
вид 1
1 , а заменится на . Так как в круге радиус
меняется от 0 до 1, а угол от 0 до 2, то получим
1 (
+
)
+
1 (
+
))
=
1
+
1
=
=
2
(
4
+
=
1
3
)
2
1
=
2
=
=
+
(1 1)
1 =
1
Ответ:
Пример 11. Вычислить тройной интеграл
область шар
+ + 1
25
(
+
)
,
если
π
0
1
0
Решение. Начертим область (рисунок 19)
В данном случае удобно воспользоваться сферическими координатами
= cos , = sin , =
Тогда
+
)
=
[
(
cos )+ (sin )
=
(
===
=
(1) =
=
1
1
3
+ 1 + 1
3
=
4
3
Ответ:
=
4
3
2
3
5
]
=
=
8
=
15
26
§3. ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
3.1. Геометрические приложения
а) Вычисление площадей плоских фигур
=
(3.1)
б) Вычисление объема цилиндрического тела
Если тело ограничено сверху непрерывной поверхностью = (, )
снизу плоскостью = 0 и сбоку цилиндрической поверхностью, вырезающей
на плоскости область , то объем такого тела вычисляется по формуле
= (, )
(3.2)
в) Вычисление площади поверхности
Площадь гладкой поверхности, заданной уравнением = (, )
определяется формулой
=
1 +
)
(
+
(3.3)
где проекция поверхности на плоскость
г) Вычисление объема произвольного тела
Объем произвольного тела G находится по формуле
=
(3.4)
Пример 12. С помощью двойного интеграла вычислить площадь области,
ограниченной кривой
9
=
4
9
+
4
Решение. Удобно ввести так называемые обобщенные полярные
координаты, положив = 2, = 3. Найдем якобиан данного
преобразования
27
ϕ
2cos
0
4
0
π
=
||
= 6.
2 cos 2
=
3 sin 3
Преобразуем уравнение кривой:
= 6
+ 6= 6,
4
=
4
=
9
+
4
(
9
); = 2; =2
Функция определена, если 20, т.е.
+ 22
2
+
4
= 0
3
= 1
4
4
+ 2, = 0, ±1, ±2, …
2
+ , = 0, ±1, ±2, …
4
4
5
4
Построим данную область (рисунок 20)
9
4
9
В силу симметрии достаточно посчитать площадь половинки лепестка. При
этом меняется от 0 до
, а радиус от 0 до
2, поэтому
= 4
= 6 1 = 6(
6= 24
)
Ответ: 6
= 12
2
28
2=
12
2
2
.
=
xyxy2=
=
6
0
6
0
Пример 13. Найти объем тела, ограниченного цилиндрическими
поверхностями =
, = 2 и плоскостями + = 6, = 0.
Решение. Построим цилиндрические поверхности. Направляющими
линиями их являются параболы =
, = 2, лежащие в плоскости , а
образующая параллельна . Построим затем плоскости + = 6, = 0.
Данное тело представляет собой цилиндр, который сверху ограничен
частью плоскости + = 6, снизу частью координатной плоскости ,
заключенной между параболами =
и = 2 (рисунок 21).
Согласно формуле (3.2) объем этого тела равен двойному интегралу:
=
(
6 )=
(
6 )=
(
6 )
= 6
3
2
5
= 4 6
2
2
6
= 24
6
5
Пример 14. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями + +
= 4, = 4, = 2, = 0, = 0, = 0.
Решение. Заданные плоскости ограничивают шестигранник G
72
5
=(6 )
48
6
=
6
(
5
=
3
)
(рисунок 22).
29
20==y
y
xyy−==4
0
2
0
3
2
Согласно формуле (3.4)
= =
= (4 )+
= (4
)
+ (4
2
1
= 2 (3 )+
(16 8+
2
+
1
16 4
2
+
2
=
55
(
6
= (4 )=
(4 )=
)
=
2
)
= 23
2
)
+
Ответ:
(
)
3.2. Физические приложения кратных интегралов
а) Вычисление массы
30