Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интегральному исчислению функции многих переменных. Учебное пособие.pdf
(, )=
(, )
+
(, )
+
(, )
Пример 4. Переменив порядок интегрирования, записать в виде одного
повторного интеграла
(, )
+
(, )
Решение. По пределам интегрирования запишем уравнения линий,
которые ограничивают область : = 1,
= 4, =
, =4 . Прямая
= 3, по-видимому, делит область интегрирования на две непересекающиеся
области.
Начертим область (рисунок 7)
=
Очевидно, что она простая относительно оси Ox. Выразим из
=4 , получим = 4 . Аналогично выразим из
, т.е. = 2+ 1, таким образом: 0 1; 2+ 1 4
Поэтому имеем
11
(, )=
(, )
или
(, )
+
(, )=
(, )
Пример 5. Вычислить двойной интеграл
область, ограниченная линиями = 0, = , +
Решение. Начертим область
D (рисунок 8). Она является простой
(+ ),
=
относительно оси Ox пересекает область не более чем в 2-х точках).
где D –
Найдем ординату точки пересечения прямых = , + =
=
+
=
2=
2
Значит =0
; =
2
;
4
}
.
Поэтому
12
y
xyx−
=
=
2
π
4
0
π
(+ )= (+
)
Вычислим полученный интеграл, сначала проинтегрировав по , считая
постоянной, а затем полученный интеграл, проинтегрировав по :
(+ )
= ( (+
) )
= (cos
+ cos 2)=
2
= (cos
Отметим, что брать за внешнюю переменную интегрирования x было бы
cos 2)= cos 2=
2
1
sin 2
2
=
1
2
(sin
sin 0) =
2
1
2
неудобно, так как «верхняя» относительно оси Ox граница области D состоит из
двух участков = , + = 2.
Ответ: 1 2.
Пример 6. Вычислить двойной интеграл
область, ограниченная линиями = 0, =
(> 0), = 4 (1
(
+ )
, где D –
)
Решение. Изобразим область интегрирования (рисунок 9), учитывая, что
)
= 4 (1
– парабола симметричная относительно оси Oy, ветви вниз,
вершина в точке (1,4).
13
2
)1(4
2
3
−−==xy
xy
Найдем точку пересечения параболы = 4 (1
= 4 (1
3
=
)
3
= 4 (1
2
2
)
и прямой =
)
,
.
1
3 = 0; 26 = 0,
2
1 ±1 + 48
=
,
4
=
1 ± 7
4
; =
3
;
= 2
2
Нас интересует = 2. В области D x меняется от 0 до 2, чтобы найти, как
меняется у проведем прямую параллельную оси Oy
выхода. Очевидно, что
4 (1
)
, поэтому
(
(+ )=
)
(
+ )=
+
= (4 (1)
168(1)+ (1)
+
2
+
1
2
(
1
21
)
= 11
8
(
(4 (1)
+
2
3
2
)
3
2
1
3
= [4(2+ 1
2
2
9
= 3+ 2+ 8 4+ 84 +
8
37
8
+ 4 +
1
2
(
1
и отметим точки входа и
=
2
)
+
1
2
)
=
11
2
4
14
2
0
+ 4+
(
)
= 22 4
+ 8 +
+
= 26
+
=
=
208
15
Ответ:
390 185 + 3
=
15
1.4.Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в
полярных координатах.
Рассмотрим области D и G соответственно в плоскостях xOy и uOv
(рисунок 10,11). Будем считать, что между областями D и G установлено
взаимно однозначное и непрерывное соответствие. Пусть u,v связаны с x,y
соотношениями = (, ), = (, ), где функции (, ), (, ) имеют
непрерывные частные производные первого порядка в G и определитель
преобразования координат x,y в u,v (якобиан) не обращается в нуль ни одной
точке области G
(, )
=
(, )
=
0
Тогда справедлива формула замены переменных:
(, )= ((, ), (,
15
))|
|
(1.6)
В тех случаях, когда область интегрирования D представляет собой круг,
часть круга, кольцо или часть кольца, удобно переходить к полярным
координатам
= cos , = sin , = (1.7)
Поэтому в полярных координатах имеем
(, )= (cos ,
sin ) (1.8)
Отметим, что уравнения линий, ограничивающих область
интегрирования, тоже нужно преобразовывать к полярным координатам с
помощью формул (1.7).
Пример 7. Вычислить двойной интеграл
ограничена половиной дуги окружности
, если область D
+ = и отрезком оси Ox от
точки с абсциссой равной 0 до точки с абсциссой равной .
Решение. Для построения области D найдем центр окружности:
+ = 0
2
окружность с центром в точке
+ = 0
4
и
, 0
=
. Изобразим область D – полукруг
+
=
2
2
(рисунок 12)
Введем полярные координаты
= , =
Уравнение окружности в полярных координатах принимает вид
16
ϕα
cos0==r
r
2
0
π
= cos или = 0, =
Подынтегральная функция имеет вид = . Угол меняется от 0 до
(полукруг находится в I четверти). При каждом фиксированном радиус
меняется от 0 ( в начале координат) до = (на окружности). Тогда
имеем
= = =
cos
cos =
3
12
cos
=
3
cos
=
Ответ:
Пример 8. Вычислить двойной интеграл
интегрирования D ограничена кривыми
+ (1)= 1, + (2)
Решение. Данные кривые являются окружностями
+ (1)= 1 центр в точке (0,1),
+ (2)= 4 центр в точке (0,1),
= 1.
= 2.
=
3
.
12
12
=
3
, где область
= 4.
Изобразим область D (рисунок 13).
17
ϕ
ϕ
sin4
sin2==rr
Введем полярные координаты
= , =
и преобразуем уравнения данных окружностей к полярным координатам
а)
cos
= 0 ( это уравнение определяет единственную точку – полюс O(0,0))
= 2 ( это уравнение определяет всю окружность ) + (1)
+ (1)= 1
+ 2= 0 2= 0 (2
cos
+( 1)
= 1
)
= 0
исключением точки O(0,0)).
Итак,
cos
()
б) )
= 0,
+ (2)= 4
+ 4+ 4 = 4 4= 0 (4
()
= 2
cos
+( 2)
= 4
= 0 , = 4 описывает всю окружность + (2)
исключением точки
Подынтегральная функция имеет вид
=
. Угол меняется от 0 до (I и II четверти). Чтобы найти, как
O(0,0)).
= =
= 1 за
)
= 0
= 4 за
меняется проведем радиус и отметим точки входа и выхода. Точка входа А
лежит на окружности = 2 , а точка выхода В – на окружности =
4 , т.е. 2 4 . Используя формулу перехода к полярным
координатам в двойном интеграле, имеем
4
2
42 =
2
=
32 =
0
=
=
1
=
5
1
=
5
(1024 32 )=
992
5
=
18
π
0
992
=
5
=
992
5
8
= 0
Ответ: 0.
§2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
2.1.Определение тройного интеграла
Пусть функция f (x,y,z) непрерывна в ограниченной замкнутой
пространственной области B. Разобьем ее произвольным образом на n частей
, = 1, … , . Через обозначим объемы этих областей , а через , =
1, … , диаметры
областей
и вычислим f (
. Выберем произвольно точки
). Составим интегральную сумму
(
(
, ,
)
(2.1)
)
в каждой из
Соответствующую данному разбиению области В и данному выбору точек
(
, ,
условии, что наибольший из диаметров
)
, = 1, … , .
Определение
Если существует конечный предел интегральных сумм при
стремится к нулю и этот предел не
зависит ни от способа разбиения области В на части, ни от выбора точек
его называют тройным интегралом от функции
f (x,y,z) по области В и
обозначают
)
(, , )= lim
(
(2.2)
, то
Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.
2.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть область интегрирования
=
(
, ,
на плоскость xOy,
):(
, )
(
, ),
, (, ) (, ), где проекция
(
, ) непрерывные функции (рисунок 14).
19
Тогда
(,)
(, , )= (, , )
(,)
(2.3)
То есть вычисление тройного интеграла сводится к последовательному
вычислению определенного интеграла по переменной z (при этом ,
рассматриваются как постоянные) и двойного интеграла с переменными , по
области
Если к тому же известно, что
{(
=
, ): , () ()
}
то из равенства (2.3) получим
()
(, , )= (, , )
()
(,)
(,)
Пример 9. Вычислить тройной интеграл
, если
область ограничена плоскостями: = 0, = 0, = 0, + + = 1
Решение. Построим данные плоскостями (рисунок 15).
20