Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по интегральному исчислению функции многих переменных. Учебное пособие.pdf
Если пластинка занимает область D плоскости xOy и имеет
поверхностную плотность (, ), то масса пластинки выражается двойным
интегралом:
= ( , )
(3.5)
Если плотность тела, занимающего область G (, , ), то масса этого
тела вычисляется по формуле:
= ( , , )
(3.6)
б) Нахождение координат центра тяжести
Координаты центра тяжести пластинки находятся по формулам
(, )
=
,
=
(, )
(3.7)
где масса пластинки (формула(3.5)), а величины
=
(, ),
=
(, )
(3.8)
называются статистическими моментами пластинки относительно осей
координат Ox и Oy.
Аналогично находятся координаты центра тяжести тела, занимающего
область :
( , , )
Величины
= ( , , ), = ( , , ),
=
=
( , , )
=
( , , )
,
=
( , , )
(3.9)
(3.10)
называются статистическими моментами относительно координатных
плоскостей.
в) Нахождение моментов инерции
31
10==z
z
1
0
Моменты инерции пластинки относительно осей Ox, Oy и Oz, начала
координат O, а также относительно координатных плоскостей xOy, xOz, yOz,
вычисляются по формулам
= (+
)
( , , ), = (+
= (+
)
( , , ) (3.11)
)
( , , ),
=
( , , ), =
=
= (+ +
Для однородного тела ( , ,
Пример 15. Найти массу тела с плотностью
( , , ) (3.12)
)( , , )
)
= 1
( , , ),
( , , )= + + ,
ограниченного плоскостями = 0, = 1, = 0, = 1, = 0, = 1.
Решение. Тело, массу которого мы находим, является прямоугольным
параллелепипедом. Согласно формуле (3.6) имеем
(
+ +
= (+ + )=
]
=
1
=
[(+ + 1
)
(+
)
2
1
=
[(+ + 1
)
(+
]
)
=
6
1
=
[(+ 2
)
(+ 1
)
(+ 1
)
+
]
=
6
)
=
2
32
1
0
2
30ryy−=
=
3
0
2
30ryy−=
=
=
1
6
(
+ 2
(
)
+ 1
4
)
2
+
4
Ответ:
Пример 16. Найти координаты центра тяжести однородного тела,
ограниченного параболоидом = 3
(рисунок 23).
3
=
2
и плоскостью = 0(0)
Решение. Так как тело однородно, то ( , ,
)
= 1. В силу симметрии
тела относительно координатных плоскостей и
нахождения
найдем массу тела . Введем цилиндрические координаты
= , = , = .
Тогда имеем
= 4
= 4
= 4
= 4
3
2
4
= 4
9
2
9
4
=
9
2
=
(3
= 0. Для
)
=
=
9
=
2
2
9
33
=
2
3
0
π
2
0
y
x
−
−
1
0
x−1
0
1
0
=
9
=
1
(3
(
1
3
18
3
)
)
=
=
1
2
1
(3
18
= 1
) (
3
)
=
Ответ:
= = 0;
= 1.
Пример 17. Вычислить момент инерции однородной пирамиды
относительно координатной плоскости , если пирамида ограничена
плоскостями + + = 1, = 0, = 0, = 0.
Решение. Согласно формулам (3.12) имеем
= =
1
=
3
=
1
(1 )
=
3
=
1
(1 )
12
=
=
1
(1 ) =
12
1
60
(
1
)
1
=
60
Ответ:
34
1.1) = 0, =, + = 6 (0)
= , = 4
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ
1. Представить двойной интеграл
причем расставить пределы интегрирования в том и другом порядке, если
область ограничена линиями.
1.2)
1.3) =
, = , = 2
1.4) = , = 2, + = 6
1.5) = 2, 2= 0, = 2
1.6) = 2, = 2
1.7) = 2, = 4 2
, = 2
, = 0
1.8) = 2, = 4 2, = 0
1.9) = , = 1, = 2
(, )
в виде двукратного,
= 1
1.10) + = 10, = 4, = 0, =
1.11) = 0, = 1, + = 1,
+
1.12) = 0, =, + = 6
1.13) = 0, =, + = 6
1.14) = 0, = 2, =
, = 2+ 1
1.15) = 1, = , = ln , = 2
1.16) = 0, = 2, = 1, +
= 7
1.17) = 0, = 1, = 0, = 3
1.18) = 2, = 3, = 1, = 5
1.19) = 3, = 2, + 2 = 0, +
1.20) =
, = 1, = 0, = 2
(
< 0
= 4
)
35
2.1) (, )
2.8) (, )
2.14) (, )
2. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования
изобразить на чертеже.
2.2)
(, )
2.3) (, )
2.4)
2.5)
()
(, )
(, )
2.6) (, )
2.9)
2.10)
2.11)
2.12)
2.13)
(, )
(, )
(, )
(, )
(, )
2.7) (, )
2.15) (, )+
2.16) (, )+
(, )
(, )
36
2.17) (, )+ (, )
2.18) (, )+ (, )
/
2.19) (, )+
2.20) (, )+
2.21) (, )+
(, )
(, )
()
(, )
3. Вычислить двойные интегралы
3.1) , : =, = 2, = 1
3.2) (),
3.3) (2),
3.4)
3.5)
,
: = 10, = 11
, : =
: = 0, = 1, = 0, + = 3
: = , = 2, = 1
1
, = 1, =
3
, =
3
3.6) (+ 2),
: = , =
3.7) sin(+ ), : = 0, =
; = , + =
4
37
2
3.8) ), :
3.9)
, : = , = 0, = 1
(
)
0,0
, (1, 1), (1,1)
2
3.10)
+
,
: = , =
3.11) (9+ 48), : =, = , = 1
3.12) (2+
), : = , = 2, = 1
3.13) , : = , =
3.14) (2+ ),
3.15) (23),
: = 6 , =
: = , = , = 1
4. Вычислить площадь области (при необходимости перейти к
полярным координатам).
4.1) : = 6, + = 7
4.2) :
4.3) : =
= 4, + 3= 0
, 4= , = 2
4.4) : = 2(1 cos ) , = 2(вне кардиоиды)
4.5) : = 2(1 cos ) , = 2(вне окружности)
4.6) : cos = 2, = 4 (справа от прямой)
4.7) : =
4.8) : 32= 6, = 4
+ 1, = 3
4.9) : 2= 0, 2= 0, = 2
4.10) : = 3(1 + cos ) , = 3 cos
38
5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями.
5.1)
+
+
= 1, = 0, = 0, = 0
5.2) = + , = , = 1, = 0
5.3) =, = 2, = 0, + = 6
5.4) = 9 , 3+ 4= 12(0), = 0, = 0, = 0
5.5) = 4
5.6) = 2 ,
5.7) =
5.8) = 4
5.9) = 9
5.10) =
, 2+ = 4, = 0, = 0, = 0
= 2, = 0
+ , = 1, = 2, = 6
, =
, + = 9, = 0
+ , = 0, +
, = 0
2
= 4
5.11) = 1 , = 0, = , =3
5.12) + = 2, = 0, + =
5.13)
+ + = 4, + = 2
5.14) = 12 , = 0, = 0, = 4, = 0, = 4
5.15) 4=
+ , = 4
6. Вычислить площадь поверхности с помощью двойного интеграла.
6.1) части плоскости 6+ 3+ 2= 12, которая заключена в первом октанте
6.2) части конуса
6.3) параболоида 2= + , вырезанную цилиндром +
6.4) сферы
+ +
=
+ , отсеченной плоскостью = 1
= 100, заключенную между плоскостями
= 1
= 8, = 6
39
ГЛАВА II
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§4. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
4.1.Понятие криволинейного интеграла первого рода
Пусть f (P)=f (x,y) есть функция непрерывная в некоторой области на
плоскости xOy и l – некоторая плоская кусочно-гладкая кривая, расположенная
в этой области. Разобьем кривую системой точек на элементарные дуги
, , … , . На каждой элементарной дуге
(= 1,2,3, … ) произвольную точку
этой точке на длину
элементарной дуги
(
)
и умножим значение функции f в
,
. Сумма таких произведений по
всем элементарным дугам:
)
(
называется интегральной суммой. Обозначим max
(4.1)
наибольшую из длин
всех элементарных дуг.
Определение. Криволинейным интегралом первого рода
()
от
функции () по кривой называется предел интегральных сумм при условии
max
0, т.е. при неограниченном увеличении числа элементарных дуг,
когда все элементарные дуги стягиваются в точку:
)
()
= lim
(
(4.2)
4.2.Свойства криволинейных интегралов первого рода
Криволинейный интеграл первого рода обладает следующими
простейшими свойствами
1) (
2) если кривая состоит из двух кривых
+
)
= + ;
40
и
, то