Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы электротехники. Учебное пособие для СПО
.pdf
В отличие от индуктивного сопротивления емкостное умень
шается с увеличением частоты переменного тока, а для постоян
ного напряжения сопротивление емкости равно бесконечности.
4. Последовательное соединение индуктивности
и активного сопротивления
Рассмотрим цепи переменного синусоидального тока, кото
рые состоят из последовательно соединенных индуктивности
L
и активного сопротивления R.
Изза присутствия в цепи индуктивности в ней действуют на
пряжение источника и э. д. с. самоиндукции, поэтому ток в цепи
запишется уравнением:
Учитывая, что , получаем выражение:
Так как ток в цепи должен удовлетворять условию
i = Im sinωt,
напряжение запишется уравнением:
u = ImR sinωt + ImωL cosωt.
Получаем, что напряжение складывается алгебраически из
двух частей: активной составляющей
u
A
= I
m
R sinωt, которая
совпадает по фазе с током, и индуктивной реактивной состав
ляющей
u
p
= I
m
ωL cosωt, которая опережает по фазе ток в це
пи на π / 2.
Если рассмотреть отношение коэффициентов при косинусе
и синусе как тангенс какогото угла φ, получаем:
arctg arctg .
Lx
RR
ω
ϕ
==
L
R
ω
d
.
d
i
uiRL
t
=+
d
d
L
i
eL
t
=−
.
L
ue
i
R
+
=
41
Данное выражение можно изобразить прямоугольным треу
гольником сопротивлений (рис. 14), для которого гипотенуза бу
дет находиться из выражения:
Рис. 14. Характеристики цепи с R и L
Данный треугольник называется треугольником сопротивлений.
Умножив и разделив выражение для напряжения на выраже
ние для
z, получаем:
Если применить к этому выражению соотношения из тре
угольника сопротивлений и , получаем вы
ражение:
u = I
m
z sin(ωt + φ).
Отсюда следует, что между напряжением и силой тока сущест
вует сдвиг фаз:
arctg .
L
R
ω
ϕ
=
sin
x
z
ϕ
=
cos
R
z
ϕ
=
sin cos .
m
Rx
uIz t t
zR
ωω
=+
22
.zRx=+
42
u
ωT =2π
ωL = x
L
φ
r
z
ωt
r
φ
i
L
u
A
u
p
i
u
43
Максимальное значение напряжения будет определяться фор
мулой:
sin(ω
t + f ) = 1,
откуда
U
m
= Imz.
Разделив это выражение на , получаем выражение для дей
ствующих значений:
z из этого выражения имеет смысл сопротивления и называется
полным сопротивлением цепи переменного тока;
x — индуктив
ное сопротивление цепи.
5. Построение векторных диаграмм
Для выполнения арифметических действий со значениями си
нусоидального переменного тока применяется геометрическое сло
жение и вычитание векторов используемых величин.
Применение такого способа значительно упрощает расчет
цепей синусоидального тока через построение их векторных диа
грамм.
Так, для сложения суммы двух синусоидальных токов
i = i
1
+ i2,
которые не совпадают по фазе,
i
1
= sinωt и i2= I
2m
sin(ωt + α).
Для геометрического сложения векторов каждому из значений
силы тока сопоставляют вектор, стрел
ки на котором указывают положитель
ное направление.
Переменный ток изменяется со
временем по направлению.
Но для удобства выбирается направ
ление, которое мы считаем положи
тельным.
На данной схеме (рис. 15) направ
ление подобных стрелок указывает,
что рассматриваемые токи в узле схе
мы складываются, а не вычитаются.
22
,
UU
I
z
Rx
==
+
2
i
i
1
i
2
I
2m
cosα
I
2m
sinα
α
β
I
m
I
1m
I
2m
Рис. 15. Схема и диаграмма
узла
Мгновенное значение общего тока определится уравнением:
i = i
1
+ i2= I1msinωt + I
2m
sin(ωt + α) = (I
1m
+ I2mcosα) sinωt +
+ I2msinα cosωt.
Для нахождения конечного результата применим отношение
коэффициентов при cosω
t и при sinωt, равным значению танген
са угла β, т. е.
Иначе говоря, существует прямоугольный треугольник, в ко
тором отношение сторон удовлетворяет приведенному условию.
Если разделить и умножить уравнение для
i на гипотенузу дан
ного треугольника
получим выражение:
i = I
m
(cosβ sinωt + sinβ cosωt) = I
m
sin (ωt + β)
2
.
Треугольник токов на данной диаграмме можно представить
как треугольник, построенный на ос
новании геометрического сложения
векторов
I
1
m
и I
2
m
.
Задача сложения двух токов при
таких представлениях переходит к гео
метрическому сложению векторов то
ков, длины которых соответствуют
максимальному значению токов, а на
правление определяется по величине
начальной фазы колебания тока.
Диаграммы строятся в масштабе,
что позволяет точно определить амп
литуду результирующего тока.
Часто диаграммы строятся не для
максимальных, а для действующих
значений параметров, что позволяет
уменьшить длины соответствующих
векторов.
22
12 2
(cos)(sin),
mmm m
III I
αα
=+ +
2
12
sin
arctg .
cos
m
mm
I
II
α
β
α
=
+
44
L
С
I
U = I C
1
ω
U = IωL
U = I
r
.
..
.
.
.
Рис. 16. Векторные
диаграммы цепей
Сложные цепи переменного тока часто рассматриваются как
цепи, которые состоят из отдельных активных, индуктивных
и емкостных сопротивлений (цепи с сосредоточенными по
стоянными). Соответственно при построении векторных диа
грамм используются векторные соотношения этих трех видов со
противлений. На рисунке 16 рассмотрены векторы напряжений
и токов для активного, индуктивного и емкостного сопротивле
ний. Эти простейшие векторные соотношения помогают при по
строении векторных диаграмм сложных цепей синусоидальных
токов.
6. Последовательное соединение
активных сопротивлений,
индуктивностей и емкостей
Для того чтобы рассчитать цепи переменного тока, которые
состоят из активных (
R) и реактивных (L и С) элементов, соеди
ненных последовательно, проще всего свести решение к тригоно
метрической задаче с применением построения векторных диаг
рамм для данных цепей.
Рассмотрим цепь, которая состоит из двух последовательно со
единенных катушек
z
1
и z2, которые обладают активным сопротив
лением
R и индуктивностью L и связаны между собой. Поэтому
данную цепь представим как цепь, состоящую из последовательно
соединенных двух активных сопротивлений катушек, которые
рассматриваются от
дельно от их индук
тивности (рис. 17).
Для того чтобы
построить векторные
диаграммы при по
следовательном сое
динении, следует на
чинать с вектора тока
, так как в этом слу
чае ток на всех участ
ках цепи одинаков.
Общее напряжение
находится как
векторная сумма ча
стичных напряжений
I
45
U
U
L
1
L
1
z
2
L
2
r
2
r
1
.
Ir
2
IωL
1
.
U
1
φ
.
U
2
.
U
.
Ir
2
.
IωL
2
.
I
Рис. 17. Цепь последовательного соединения R,
L и C
. Любое из частичных напряжений при этом определя
ется как сумма индуктивного реактивного напряжения
, для которого вектор опережает вектор тока I на 900,
и активной составляющей напряжения , для которого вектор
сонаправлен вектору тока.
На диаграмме получаем вектор , который направлен по го
ризонтальной оси, перпендикулярный ему в направлении против
часовой стрелки вектор индуктивного напряжения и век
тор активного напряжения, который откладывается из конца век
тора индуктивного напряжения, — параллельно вектору . Затем
соединяем конец данного вектора с началом координат и получа
ем вектор , характеризующий напряжение на первой катушке.
После этого по данному методу находим вектор напряжения
, начиная построение от конца вектора .
Вектор , определяющий общее напряжения, находим, сое
динив с началом координат конец вектора . По векторной ди
аграмме видно, что общее напряжение определяется как гипоте
нуза прямоугольного треугольника, катетами которого являются
векторы
IR
1
+ IR2 и Ix1+ Ix2, т. е. можно записать соотношение:
приводящее к выражению для силы тока:
которое можно записать в общем виде:
Если в неразветвленной цепи тока содержатся все три вида
приемников (индуктивность
L, активное сопротивление R и ем
кость
С), закон Ома для нее можно вывести аналогично, исполь
зуя построение векторных диаграмм, которые изображают вектор
общего напряжения цепи через сумму векторов частичных напря
жений.
()( )
22
.
U
I
RL
ω
=
+
∑∑
()( )
22
12 1 2
,
U
I
RR L L
ωω
=
+++
()()()()
22 22
12 12 12 12
,UIRIR IxIx IRR xx=+++=+++
2
U
1
U
2
U
1
U
I
1
IL
ω
I
IR
IL Ix
ω
=
12
UUU=+
46
Начинаем построение диаграммы с построения вектора тока I.
Сила тока на индуктивности отстает по фазе от напряжения на чет
верть периода, значит, вектор опережает на π / 2. Затем
к этому вектору прибавляется вектор активного напряжения ,
параллельный вектору . Для конденсатора сила тока опережает
напряжение на четверть периода. Отсюда получаем, что вектор на
пряжения на емкости стро
ится под углом 90° к век
тору , но в от
рицательную сторону, т. е. на
диаграмме — вниз (рис. 17).
Вектор общего напря
жения получаем, соединив
начальную и конечную точ
ки. Оно получается как ги
потенуза прямоугольного треугольника. При этом один катет
этого треугольника равен активному напряжению
IR, а второй
определяется как разность индуктивного и емкостного напря
жений:
.
Из соотношений в треугольнике получаем:
Отсюда сила тока найдется из соотношения:
Сдвиг фаз φ между током и напряжением из треугольника бу
дет равен:
1
arctg .
L
C
R
ω
ω
ϕ
−
=
()
22 2
2
.
1
LC
UU
I
Rxx
RL
C
ω
ω
==
+−
+−
()
2
2
1
.UIR ILI
C
ω
ω
−+−
1
ILI
C
ω
ω
−
1
С
UI
C
ω
=
I
I
1
IL
ω
47
U
L
C
r
IωL
.
I
ωC
.
1
I
.
Ir
.
.
U
Рис. 17. Цепь и ее диаграмма
Когда , сдвиг фаз является положительным, поэтому
перед емкостным сопротивлением в выражении закона Ома ста
вится минус с учетом, что данное сопротивление приводит к от
рицательному сдвигу фаз.
7. Параллельное соединение приемников
переменного тока
Рассчитаем цепь, которая состоит из двух параллельно соеди
ненных приемников, каждый из которых обладает различным
индуктивным сдвигом фаз φ
1
и φ2.
Найдем общий ток
I, который потребляется схемой. Данный
ток определится соотношением:
так как приемники энергии соединены параллельно.
Исходя из свойств параллельного соединения построение
векторных диаграмм в данном случае начинают с вектора напря
жения.
Векторы и направлены по отношению к этому вектору
под углами φ
1
и φ2. Общий ток определяется как геометрическая
сумма этих векторов.
После проектирования этих векторов на две координатные
оси, находим соотношение для величины активной составляю
щей тока:
I cosφ = I
a
= I
1
cosφ1I
2
cosφ2= I1a+ I
2a
и для его реактивной составляющей:
I sinφ = I
p
= I
1
sinφ1I
2
sinφ2= I1p+ I2p.
Общий ток определится по формуле:
()()()
()
22 2 2
12 12
cos sin .
aa p p
II I II II
ϕϕ
=+=+++
2
I
1
I
12
,II I=+
1
L
C
ω
ω
>
48
8. Смешанное соединение приемников
переменного тока
Для того чтобы рассчитать смешанное соединение потребите
лей в цепи переменного тока, придерживаются последовательно
сти действий, которые применялись при расчете подобных цепей
постоянного тока.
Начать расчеты следует с определения эквивалентного сопро
тивления разветвления, после чего заменить разветвления экви
валентным сопротивлением и рассчитать цепь в целом, считая ее
последовательной.
При расчете цепей переменного тока сложность заключается
в том, что необходимо учитывать векторные соотношения вели
чин переменного тока.
Рассмотрим пример расчета одной из таких цепей (рис. 19).
Рис. 19. Смешанное соединение и векторная диаграмма
Начнем с определения проводимостей разветвлений, для чего
нужно определить активные проводимости обеих ветвей:
и
(
)
2
2
2
2
2
.
1
R
g
R
C
ω
=
+
()
1
1
1
22
11
R
g
RL
ω
=
+
49
U
I
1
I
2
I
I
I
1
I
2
I
2a
I
1a
z
1
z
2
U
g
1
g
2
b
1
b
2
I
1p
I
2p
I
.
.
U
φ
φ
1
I
1p
I
1
.
I1aI
2p
I
2a
φ
2
I
2
После этого найдем реактивные проводимости этих ветвей:
и
Для разветвления активная проводимость равна:
g = g
1
+ g2,
а реактивная проводимость находится как
b = b
1
+ b2. После это
го определим эквивалентные активное и реактивное сопротив
ления:
После преобразований рассчитываем схему как последова
тельное соединение, т. е. справедлива формула:
Во второй скобке знаменателя знак будет зависеть от характе
ра реактивного сопротивления разветвления.
Если оно того же характера, что и реактивное сопротивление
последовательного участка
z
3
, то равно сумме этих сопротивлений;
если сопротивление имеет другой характер,
х
р
вычитается из х3.
Для нахождения токов в ветвях разветвлений найдем напряжение
в разветвлениях:
U
p
= I
3zp
,
откуда рассчитываем значения токов:
и
Напряжение определяется соотношением:
U
3
= I
3z3
.
3
2
2
.
p
U
Iz=
1
1
p
U
Iz=
()()
3
22
33
.
pp
U
I
RR xx
=
++±
22
и.
pp
pp
pp
gb
Rx
yy
==
(
)
(
)
2
2
2
2
1
.
1
C
b
R
C
ω
ω
=
+
()
1
1
2
2
12
L
b
RL
ω
ω
=
+
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]