Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы электротехники. Учебное пособие для СПО
.pdf
Для составления уравнений по двум законам Кирхгофа необхо
димо предположить направления токов во всех ее ветвях.
Для составления уравнений по первому закону Кирхгофа нуж
но определить количество узлов в цепи n, при этом уравнения по
первому закону должны быть составлены для (
n – 1) узла.
Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа нужно
выбрать контуры обхода, чтобы в каждый контур содержал хотя бы
одну из ветвей, не вошедших в другие контуры. В этом случае соста
вленные уравнения будут являться независимыми. Уравнения, со
ставленные по первому и по второму законам Кирхгофа, объединя
ются в одну систему и решаются относительно неизвестных токов.
Для схемы, изображенной на рисунке 6, по первому закону со
ставляются уравнения:
I
1
+ I2– I3= 0;
I
3
– I1– I2= 0.
По второму закону Кирх
гофа составляются следую
щие уравнения для трех кон
туров схемы:
E
1
= I
1R1
+ I
3R3
;
E
2
= I
2R2
+ I
3R3
;
E
1
– E2 = I
1R1
+ I
2R2
.
После составления системы уравнений и нахождения значе
ния токов в каждой из ветвей в качестве проверки применяется
баланс мощностей: алгебраическая сумма мощностей, отдавае
мых источниками, должна быть равна сумме мощностей, погло
щаемых всеми приемниками:
Если в результате расчетов некоторые из токов имеют отрица
тельное значение, это означает, что выбранное изначально направ
ление неверно. Расчет электрических цепей по законам Кирхгофа
математически сложен, поэтому по возможности нужно приме
нять более простые способы решения.
2
11
.
nn
kk k k
kk
EI IR
==
=
∑∑
11
Рис. 4.
3. Метод преобразования схемы
Часто при решении сложных схем, состоящих из линейных
сопротивлений, можно упростить данную схему, заменив часть
сопротивлений эквивалентным сопротивлением, в котором со
противления соединены иначе, чем в исходной схеме.
Примерами таких преобразований может служить замена
нескольких параллельно или последовательно соединенных со
противлений одним. В этом случае общее сопротивление опреде
лится по известным формулам. Так, любую
nлучевую звезду со
противлений можно заменить
nсторонним многоугольником
(в обратном направлении преобразование возможно в некоторых
случаях).
Рассмотрим преобразование соединений сопротивлений из
схемы трехлучевой звезды в треугольник, и наоборот (рис. 5).
Рис. 5. Эквивалентные схемы
Условия эквивалентности данных видов соединений приме
ним в виде сопоставления межузловых сопротивлений, а также
проводимостей этих схем.
Рассмотрим какойнибудь источник напряжения и присоеди
ненные к нему узлы
А и В треугольника. Затем в эту схему под
ключим одноименные узлы звезды. Когда соединения сопротивле
ний эквивалентны, то при подключении их к одному источнику
сила тока, которой нагружается источник, должна быть одинако
вой, а это, в свою очередь, возможно при равных проводимостях
между узлами схем.
Это равенство сопротивлений должно иметь место также при
включении к источнику энергии узлов
В и С, а затем и узлов С и А.
12
I
A
I
A
I
A
I
A
I
AB
A
B
C
I
BC
I
AC
A
B
C
I
A
I
B
I
C
Для нахождения проводимости между узлами А и В треуголь
ника необходимо сложить проводимость стороны
АВ, равную
, с проводимостью, которая образуется сторонами
ВС и СА,
равной :
В случае соединения звездой сопротивление между узлами
А и В
находится как сумма сопротивлений двух соответствующих лучей
звезды
RA + RB.
По условию эквивалентности двух видов соединения получим:
где∑R∆— сумма сопротивлений всех трех сторон треугольника.
Построение схем треугольника и звезды относительно узлов
симметрична, поэтому составим уравнения равенства сопротив
лений для узлов путем циклической перестановки индексов:
Из трех предыдущих уравнений получаем:
;
;
.
AB CA
A
BC AB
B
CA BC
C
RR
R
R
RR
R
R
RR
R
R
∆
∆
∆
=
=
=
∑
∑
∑
;
.
BC CA AB BC
BC
AC AB BC CA
CA
RR RR
RR
R
RR RR
RR
R
∆
∆
+
+=
+
+=
∑
∑
,
AB BC CA AB AB BC CA AB
BB
AB BC CA
RR RR RR RR
RR
RRR
R
∆
++
+= =
++
∑
11
.
AB B C CA
AB BC CA AB BC CA AB
RRR
RRRRRRR
++
+=
++
1
BC CA
RR+
1
AB
R
13
В случае, если сопротивления сторон треугольников одинако
вы, для звезды получаем соотношение:
Возможно и обратное преобразование.
С помощью такого способа возможно преобразование мости
ковых схем.
4. Метод узлового напряжения
В случае, когда в схеме присутствуют два узла или исходную
схему можно преобразовать в схему с двумя узлами, наипростей
шим является расчет с применением метода узлового напря
жения.
На рисунке 6 приведена схема, состоящая из n ветвей, сходя
щихся в двух узлах.
Для любой из ветвей разность потенциалов между узлами
а и b
может быть представлена соотношением:
ϕ
b
= ϕa+ IkRk– Ek .
Преобразуем ее:
ϕ
b
– ϕa= Uab= Ek – IkRk,
где Uab— узловое напряжение для данной схемы.
В этом случае ток в каждой из ветвей будет находиться по фор
муле:
I
k
= (Ek– Uab)gk,
где — проводимость данной ветви.
Направление токов в общем случае может быть произвольным
(как и направление э. д. с.). Это нужно учитывать при записи
ответа.
1
k
gR=
.
3
R
R∆=
14
Рис. 6. Схема цепи с двумя узлами
Применив первый закон Кирхгофа, для данной схемы получаем:
Следовательно, узловое напряжение можно выразить формулой:
5. Метод контурных токов
Данный метод расчета электрических цепей является относи
тельно сложным и может применяться при расчетах линейных
цепей постоянного или переменного токов.
При расчете схем по методу контурных токов нужно разделить
общую схему на отдельные контуры — ячейки.
1
1
.
n
kk
k
ab
n
k
k
Eg
U
g
=
=
=
∑
∑
()
12
11
... ... 0 .
nn
knk kabk
kk
II I I I EUg
==
+++++= == −
∑∑
E
1
E
2
E
k
E
n
U
ab
r
1
r
2
r
k
r
n
I
1
I
2
I
k
I
n
a
b
15
После этого для каждого из контуров выбирается направление
контурного тока, т. е. тока, который замыкается только в данном
контуре. Токи в ветвях, являющихся общими для двух или более
контуров, определяются на основании первого закона Кирхгофа
как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов.
Рис. 7. Сложная схема и ее разделение
На данной схеме (рис. 7) Iab= I1— I2, Ibc= I2+ I3, Ica= I3+ I1.
При применении данных уравнений система уравнений по зако
нам Кирхгофа существенно упрощается. При этом направление
обхода контуров берется совпадающим с направлением контур
ных токов.
Для контуров схемы на рисунке составляются следующие урав
нения:
E
a
– Eca= I
1
R
a
+ (I1– I2)Rab+ (I1+ I3)Rca;
E
b
= I
2
R
b
+ (I2– I1)Rab+ (I2+ I3)Rbc;
E
c
– Eca= I
3Rc
+ (I3+ I1)Rca+ (I3+ I2)Rbc.
Если ввести понятие контурной э. д. с. E
1
= Ea –E ca, E
2
= E
b
,
E
3
= Ec + E
ca
и контурного сопротивления R11= R
a
+ R
ab
+ R
ca
,
R
22
= Rb+ Rab+ Rdc, R33= Rc+ Rcb+ Rca, то уравнения для данно
го контура примут вид:
E
1
= I
1R11
+ (–I2)Rab+ I
3
R
ca
;
16
I
1
I
2
I
3
I
1
I
2
I
3
1
2
3
I
ca
I
bc
I
ab
r
a
r
b
r
c
E
a
E
c
E
b
r
ab
r
ca
r
bc
E
ca
E
2
= –I
1
R
ab
+ I
2R22
+ I
3
R
bc
;
E
3
= I
1
R
ca
+ I
2
R
bc
+ I
3R33
.
Для единообразия вычисления будем считать отрицательны
ми сопротивления тех смежных ветвей двух контуров, ток в кото
рых противоположен по направлению данного контура. Для дан
ной схемы R
12
= R21= –Rab, R23= R32= Rbc, R13= R
31
= R
ca
.
После учета этих условий получаем систему:
E
1
= I
1R11
+ I
2
R
12
+ I
3
R
13
;
E
2
= I
1
R
21
+ I
2R22
+ I
3
R
23
;
E
3
= I
1
R
31
+ I
2
R
32
+ I
3R33
.
При решении данной системы получаем значения контурных
токов, из которых находятся значения токов в ветвях.
Можно сделать вывод, что при пользовании методом контур
ных токов не нужно составлять уравнения по законам Кирхгофа.
6. Метод эквивалентного генератора
Данный метод применяют в случаях, когда необходимо рас
считать ток в одной из ветвей схемы. Если цепь содержит источ
ники э. д. с. и некоторые сопротивления, она служит источни
ком напряжения для определенной ветви ab.
Данная цепь становится по отношению к ветви
ab активным
линейным двухполюсником, который независимо от строения
может быть заменен эквивалентным источником э. д. с., с неко
торым внутренним сопротивлением.
Таким образом, при расчете схемы необходимо найти эти па
раметры. Мысленно введем в ветвь аb источник, который обла
дает такой э. д. с., чтобы ток в ветви ab был равен нулю.
Это означает, что э. д. с. введенного источника и исходного
равны по величине и противоположны по направлению (рис. 8).
После этого введем в данную ветвь вторую э. д. с. E
2
= U
ab
0
, где
U
ab
0
— максимальное значение напряжения на концах ветви ab.
Она полностью компенсирует действие Е
1
и восстанавливает ток
в данной ветви.
17
Рис. 8. Двухполюсник
Ток в ветви создан только независимым действием э. д. с. Е2,
при этом ток имеет значение:
В данной формуле R
k
— внутреннее сопротивление двухполюс
ника.
Произведя замену E
2
= U
ab
0
, можно получить формулу, кото
рая определяет ток через напряжение холостого хода и сопротив
ление двухполюсника:
Для того чтобы определить U
ab
0
, необходимо измерить напря
жение между зажимами а, b в случае, когда ветвь аb разомкнута.
Для того чтобы определить R
k
, нужно замкнуть зажимы а, b нако
ротко (на амперметр с относительно малым собственным сопро
тивлением) и измерить ток I
abk
на основании, после чего вычис
лить по формуле
0.ab
k
abk
U
RI=
0
.
ab
ab
ab k
U
I
RR
=
+
2
.
ab
ab k
E
I
RR
=
+
18
I
ab
I
ab
Iab= 0
E
1
E
1
E
2
a
a
a
b
b
b
r
ab
r
ab
r
ab
AAA
a)
б) в)
Расчет часто бывает сложным. Применение этого метода су
щественно упрощает вычисления, особенно в тех случаях, когда
нужно силу тока определить при нескольких значениях сопротив
ления.
Иногда целесообразно при расчетах (в особенности в схемах
с электронными и полупроводниковыми элементами) заменить
активный двухполюсник не эквивалентным генератором э. д. с.,
а эквивалентным генератором тока.
20
ЛЕКЦИЯ № 3. Электрическое поле
и емкость электротехнических устройств
1. Электрическое поле.
Диэлектрическая проницаемость
и электрическая постоянная
Электрическим полем называется особая форма материи, обра
зованная присутствием в пространстве неподвижного электриче
ского заряда.
Силовой характеристикой электрического поля является его
напряженность Е.
Другой характеристикой является смещение D, которое харак
теризуется как состояние, обусловленное смещением в молекулах
диэлектрика и смещением в вакууме.
Потоком смещения называется величина .
Абсолютной диэлектрической проницаемостью среды на
зывается отношение .
Электрическое поле внутри веществ может изменить свою ве
личину. Отношение абсолютной диэлектрической проницаемо
сти вещества ε
a
к абсолютной диэлектрической проницаемости
вакуума ε
0
называется диэлектрической проницаемостью:
где e — безразмерная величина;
εaи ε0имеют единицы измерения (Ф/м);
ε0не изменяется и поэтому считается электрической по
стоянной: .
12
0
Ф
8, 85 5 1 0
м
ε
−
=×
ε
ε
=0e,
a
а
D
E
ε
=
d
D
S
NDS=
∫
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]