Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы универсальной алгебры. Учебное пособие-1
.pdf
§5. Прямые и подпрямые произведения, ультрапроизведения
алгебры A на алгебрыA/
θ
1
иA/
, то ϕ очевидным образом будет
θ
2
гомоморфизмом. Таким образом, остается лишь заметить, что ϕ
есть отображение A на алгебру A1× A2. Пусть b1=[d1]
b2=[d2]
∈ A2, где b1,b2∈ A. Так как θ1◦θ2=∇A, то найдется эле-
θ
2
∈ A1и
θ
1
мент c∈ A такой, что имеют место отношения θ1(d1,c) и θ2(c,d2),
т.е. [c]
=[d1]
θ
1
=b1и [c]
θ
1
=[d2]
θ
2
=b2. Тем самым ϕ(c)=hb1,b2i, а зна-
θ
2
чит, ϕ — изоморфизм алгебры A на алгебру A1× A2. Теорема
доказана.
В качестве следствия отметим, что любая алгебра, решетка
конгруэнций которой является линейно упорядоченной, в частности любая простая алгебра, неразложима в нетривиальное прямое
произведение.
Пусть теперь A — подалгебра прямого произведения
Q
i∈I
Aiал-
гебр Ai(i∈I). Если для любого i∈I πi(A)=Ai, то алгебра A называется подпрямым произведением алгебр Ai(i∈I). Через θ
0
(i ∈I)
i
обозначим конгруэнции θidA алгебры A, т.е. ядра гомоморфизмов
πiалгебры A на алгебры Ai(i∈I).
Так же как и выше, нетрудно заметить справедливость равенства
inf ({θ
0
|i ∈I}) = ∆A.
i
На самом деле это равенство является критерием представимости (изоморфности) алгебры A подпрямым произведением алгебр
.
A
0
(i∈I). Действительно, если конгруэнции θi(i∈I) алгебры A
θ
i
таковы, что
inf ({θi|i ∈I}) = ∆A,
.
Q
то рассмотрим отображение ϕ алгебры A в алгебру
i/∈I
A
, опре-
θ
i
деленное следующим образом: для любого a∈ A и любого i∈I
ϕ(a)(i) = [a]
Нетрудно заметить, что ϕ является изоморфизмом алгебры A
на некоторую подалгебру алгебры
любого a ∈ A и любого i ∈ (I) имеет место πi(ϕ(a)) = [a]
алгебра ϕ(A) является подпрямым произведением алгебр
Q
i/∈I
.
θ
i
.
A
. Причем, так как для
θ
i
A
.
θ
, то
i
θ
i
.
71
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
Алгебра A называется подпрямо неразложимой, если для
любого изоморфизма ϕ алгебры A с подпрямым произведением B
каких-либо алгебр Ai(i∈I) найдется i0∈I такое, что отображение
π
ϕ является изоморфизмом. Изоморфизм алгебры A и некото-
i
0
рого подпрямого произведения каких-либо алгебр будем называть
далее подпрямым представлением алгебры A.
ТЕОРЕМА 2. Алгебра A подпрямо неразложима тогда и
только тогда, когда для любой совокупности конгруэнций θi(i ∈I)
алгебры A равенство inf ({θi|i ∈I}) = ∆Aвлечет равенство θ
=
i
0
∆Aдля некоторого i0∈I.
Доказательство. Предположим, что A — подпрямо неразло-
жимая алгебра и совокупность {θi|i∈I} ее конгруэнций такова,
что
inf ({θi|i ∈I}) = ∆A.
.
Q
Определяя для любого a∈ A элемент ϕ(a) алгебры
венствами
i∈I
A
ра-
θ
i
ϕ(a)(i) = [a]
получаем изоморфное вложение алгебры A в алгебру
,
θ
i
.
Q
A
, яв-
θ
i∈I
i
ляющееся подпрямым представлением алгебры A. В силу подпрямой неразложимости алгебры A, для некоторого i0∈ I гомомор-
физм π
θ
= ∆A.
i
0
ϕ является изоморфизмом, а это равносильно тому, что
i
0
Пусть теперь для алгебры A выполнено конгруэнц-условие из
формулировки теоремы и допустим, что ϕ − подпрямое представление алгебры A, т.е. ϕ − изоморфное вложение алгебры A в алгебру
Q
Aiтакое, что для любого i∈I πiϕ(A) = Ai. Через θiобозна-
i∈I
чим ядра гомоморфизмов πiϕ. В силу того, что ϕ − изоморфное
вложение, имеет место равенство
inf ({θi|i ∈I}) = ∆A.
Но тогда, в силу предположений о A, имеет место равенство θ
= ∆Aдля некоторого i0из I. Гомоморфизм πiϕ алгебры A на алгебру A
с нулевым ядром (равным ∆A) является изоморфизмом.
i
0
Теорема доказана.
i
0
72
§5. Прямые и подпрямые произведения, ультрапроизведения
Пусть теперь A — произвольная подпрямо неразложимая алгебра. Пусть {θi|i∈I} − совокупность всех конгруэнций алгебры
A, отличных от ∆A(ненулевых). В силу утверждения теоремы 2
inf ({θi|i ∈I})6=∆A.
Но тогда inf ({θi|i ∈I}) − это наименьшая ненулевая конгруэнция алгебры A. Наименьшую ненулевую конгруэнцию алгебры
(если таковая существует) назовем монолитом алгебры. Итак,
любая подпрямо неразложимая алгебра A обладает монолитом.
Опираясь на теорему 2, непосредственно проверяем и обратное:
алгебра, имеющая монолит, является подпрямо неразложимой.
Таким образом, наличие монолита — родовой признак подпрямой
неразложимости алгебр.
Важная роль подпрямо неразложимых алгебр в общей теории
универсальных алгебр определяется следующим утверждением.
ТЕОРЕМА БИРКГОФА О ПОДПРЯМЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ. Любая алгебра A изоморфна подпрямому произве-
дению подпрямо неразложимых алгебр.
Доказательство. Для любых различных элементов a, b из
A, пусть <
так как ∆A∈ <
вокупности <
в <
верхнюю грань. Действительно, пусть θ = sup в решетке
a,b
Con A. Тогда θ ∈ <
то найдется конечная совокупность конгруэнций θ
= {θ ∈ Con A|aθ6= bθ}. Совокупность <
a,b
. Рассматривая традиционный порядок ≤ на со-
a,b
, замечаем, что любая цепь C из h<
a,b
, так как иначе, в случае если θ(a,b) истинно,
a,b
, ..., θ
i
1
a,b
a,b
непуста,
; ≤i имеет
из C и
i
n
элементы c0= a, c1, ..., cn= b алгебры A такие, что имеют место
отношения θ
то найдется конгруэнция, скажем θ
энций {θ
..., θ
(c
i
n−1
n
ное противоречие и доказывает, что θ = sup C ∈ <
для каждой цепи в частично упорядоченном множестве h<
верхней грани, по лемме Цорна, влечет наличие в h<
симального элемента. Пусть ψ
алгебры A. Итак, в силу включения ψ
для любой конгруэнции θ, большей чем ψ
ство [a]θ= [b]θ, т.е. θ
, ..., θ
i
1
(c0, c1), θ
i
1
}. Но тогда совокупность отношений θ
i
n
(c1,c2), ..., θ
i
2
, cn) влечет отношение θ
≤θ.
a, b
(c
i
n
i
1
(c0, cn), т.е. θ
i
1
— одна из таких конгруэнций
a, b
, cn). Так как C — цепь,
n−1
, наибольшая среди конгру-
i
1
(a,b). Получен-
i
1
. Наличие
a,b
;≤i мак-
a,b
a,b
∈ <
, [a]
a,b
, имеет место равен-
a, b
6= [b]
ψ
a,b
(c0, c1),
;≤i
a,b
ψ
a,b
и
73
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
.
Рассмотрим алгебру
из §4, конгруэнция
.
A
, а сама алгебра
ψ
a,b
Докажем теперь равенство inf ({ψ
A
θ
∨ ψ
a,b
.
A
. В силу утверждений теоремы 1
ψ
a,b
.
a,b
ψ
a,b
является монолитом алгебры
ψ
a,b
подпрямо неразложима.
|a, b ∈ A и a 6= b})=∆A.
a,b
Допустим противное, пусть c 6= b — элементы из A такие, что
inf ({ψ
Но тогда имеет место и отношение ψ
определению конгруэнции ψ
|a, b ∈ A и a 6= b})(c,d).
a,b
(c,d), что противоречит
c,d
.
c,d
Доказанное равенство
inf ({ψ
как замечалось выше, влечет, что отображение ϕ алгебры A в
алгебру
= [d]
Q
(a,b)∈S
, будет подпрямым представлением алгебры A. Подпрямая
ψ
a,b
A
.
, где S = {ha, bi ∈ A × A | a 6= b} и ϕ(d)(ha, bi)
ψ
a,b
неразложимость алгебр
|a,b∈ A и a6=b})=∆A,
a, b
.
A
влечет утверждение теоремы.
ψ
a,b
Следующий результат, приводимый без доказательства, более конструктивно описывает строение подпрямых произведений
двух алгебр в некоторых ситуациях.
ТЕОРЕМА ФЛЕЙШЕРА. Пусть все конгруэнции алгеб-
ры A перестановочны. Тогда, если ϕ — изоморфизм алгебры A в
алгебру A1× A2и ϕ(A) — подпрямое произведение алгебр A1и
A2, то существуют алгебра A0и гомоморфизмы ψiалгебр Aiна
алгебру A0такие, что ϕ(A) = ha1, a2i ∈ A1× A2|ψ1(a1) = ψ2(a2).
Полное доказательство этого утверждения см., к примеру, в
[34].
В § 2 было определено понятие ультрафильтра булевой алгебры. Пусть Ai(i ∈I) — некоторая совокупность алгебр фиксированной сигнатуры σ и F некоторый ультрафильтр булевой алгебры hP(I); ∪, ∩, ¬, ∅, Ii. Будем называть F ультрафильтром на
множестве I. Для любых элементов g1, g2прямого произведе-
Q
ния
Aiалгебр Aiпод экволизатором элементов g1, g2будем
i∈I
понимать следующее подмножество [[g1= g2]] множества I:
[[g1= g2]] = {i ∈ I | g1(i) = g2(i)}.
74
§5. Прямые и подпрямые произведения, ультрапроизведения
На прямом произведении
ное отношение θFследующим образом: для g1, g2∈
Q
Aiалгебр Aiопределим двухмест-
i∈I
Q
i∈I
A
i
θF(g1,g2) ⇔ [[g1= g2]]∈ F .
Покажем, что отношение θFявляется конгруэнцией на алгеб-
Q
ре
Ai. Так как [[g1= g1]] = I ∈ F , то отношение θFрефлек-
i∈I
сивно. Если θF(g1,g2), то [[g1= g1]] = [[g2= g1]], тем самым
θF(g2, g1) и отношение θFсимметрично. Если θF(g1, g2) и θF(g2, g3),
то [[g1=g2]], [[g2=g3]]∈F. Но тогда [[g1= g2]]∩[[g2= g3]]∈F и, так как
[[g1=g3]]⊇[[g1= g2]]∩[[g2=g3]], то [[g1=g3]]∈ F . Тем самым θF(g1,g3)
и доказано, что отношение θFтранзитивно.
s
Пусть теперь f
отношения θF(g1,h1), ..., θF(g
i
∈ σ, g1, ...,g
i
, h1, ...,h
s
i
,h
), т.е. [[g1= h1]],..., [[g
s
s
i
i
Q
∈
s
Aiи имеют место
i
i∈I
,h
]]∈ F .
s
s
i
i
Следующее включение очевидно в силу определения экволизатора:
[[g1=h1]]∩...∩[[ g
,h
]]⊆[[fi(g1,..., g
s
s
i
i
)= fi(h1,..., h
s
i
)]].
s
i
Тем самым [[fi(g1,...,g
шение θF(fi(g1, ..., g
s
является конгруэнцией алгебры
.
Q
A
Алгебру
Ai(i∈I) по ультрафильтру F и будем обозначать далее как
.
Q
A
i
.
i∈I
F
i∈I
i
θ
F
) = fi(h1,..., h
s
i
), fi(h1, ..., h
i
)). Доказательство того, что θ
s
i
Q
i∈I
)]]∈F и имеет место отно-
s
i
Ai, завершено.
назовем ультрапроизведением алгебр
Пусть K — некоторый класс универсальных алгебр фиксированной сигнатуры и алгебры Ai(i∈I) являются ультрапроизведениями K-алгебр, т.е. существуют множества Ii(i∈I), ультрафильтры Fiна этих множествах и алгебры Aij(j ∈ Ji) из K
такие, что Ai=
на множестве I, алгебра
Q
i∈I
A
.
ij
. Тогда для любого ультрафильтра F
F
i
Q
i∈I
A
.
ij
изоморфна ультрапроизведе-
F
i
нию K-алгебр. Действительно, пусть S = {hi, ji|i ∈ I, j ∈ Ji},
D = {B ⊆ S|{i ∈ I|{j ∈ Ji|hi, ji ∈ B} ∈ Fi} ∈ F }. Пусть ϕ —
75
F
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
отображение алгебры
Q
i∈I
A
.
i
F
в алгебру
Q
i∈I
A
.
ij
, определенное
D
следующим образом:
где для любого g ∈
ϕ([g]
Q
Ai, если g(i) = [hi]
i∈I
) = [h]
θ
F
,
θ
D
, то h ∈
θ
F
i
Q
(i,j)∈S
Aij,
таков, что h(hiji) = hi(j), для любых i ∈ I, j ∈ Ji.
Тогда:
(∗∗) а) отображение ϕ определено корректно, т.е. не зависит
от выбора элемента g в классе [g]
б) ϕ является изоморфизмом алгебры
.
Q
A
ij
.
i∈I
D
;
θ
F
Q
i∈I
A
.
i
F
на алгебру
Таким образом, ультрапроизведение ультрапроизведений Kалгебр изоморфно некоторому ультрапроизведению K-алгебр.
Заметим, что в случае выбора ультрафильтра F главным в булевой алгебре hP(I);∪, ∩,¬, ∅,Ii операция ультрапроизведения не
дает новых алгебр. Действительно, как замечено в § 2, главный
ультрафильтр F на булевой алгебре hP(I);∪, ∩,¬, ∅,Ii порождается некоторым ее атомом, т.е. найдется некоторый элемент i0∈I
такой, что F = {J ⊆ I |i0∈ J}. Но в этом случае непосредственно
проверяется, что
(∗∗∗) отображение ϕ алгебры
ленное равенством ϕ([g]
) = g(i0), определено корректно и явля-
θ
F
ется изоморфизмом алгебры
Q
i∈I
A
.
Q
A
i
i∈I
.
i
на алгебру A
F
в алгебру A
F
, опреде-
i
0
.
i
0
Таким образом, продуктивной в смысле получения новых алгебр конструкция ультрапроизведения может быть только для
неглавных ультрафильтров на множествах.
Оператором X на классах (совокупностях) алгебр назовем
отображение, сопоставляющее любому классу K алгебр фиксированной сигнатуры некоторый класс X(K) алгебр той же сигнатуры.
На операторах введем операцию умножения, определенную
как суперпозиция, т.е. для любых операторов X, Y и любого класса K алгебр некоторой фиксированной сигнатуры класс (XY )(K)
76
§5. Прямые и подпрямые произведения, ультрапроизведения
определяется равенством
(XY )(K) = X(Y (K)).
Заметную роль в дальнейшем будут играть следующие операторы:
I(K) = {A|A изоморфна некоторой K-алгебре};
S(K) = {A|A является подалгеброй некоторой K-алгебры};
H(K) = {A|A является гомоморфным образом некоторой K-
алгебры};
P (K) = {A|A является прямым произведением некоторых K алгебр};
PS(K) = {A|A является подпрямым произведением некоторых
K-алгебр};
PU(K) = {A|A является ультрапроизведением некоторых K-
алгебр}.
Отметим ряд тривиальных, а также вытекающих из предыдущих рассмотрений, равенств и включений, имеющих место для
любых классов K универсальных алгебр фиксированной сигнатуры:
(∗∗∗∗) K ⊆ I(K), K ⊆ S(K), K ⊆ H(K), K ⊆ PS(K), K ⊆ P (K),
K ⊆ PU(K), II(K) = I(K), SS(K) = S(K), HH(K ) = H(K),
P P (K) = P (K), PSPS(K) = PS(K), PUPU(K) = PU(K),
IS(K) = SI(K), I(K) ⊆ H (K), IP (K) ⊇ P I(K),
IPS(K) ⊇ PSI(K), IPU(K) ⊇ PUI(K).
Важную роль в дальнейшем будут играть следующие включения так же легко вытекающие из предыдущих рассмотрений:
(∗∗∗∗∗) 1) SH(K) ⊆ HS(K);
2) P H(K) ⊆ H P (K);
3) P S(K) ⊆ SP (K);
4) PSH(K) ⊆ HPS(K);
5) PU(K) ⊆ HP (K).
Заметим, что включения 1)–5) из (∗∗∗∗∗), вообще говоря, не
могут быть заменены на равенства.
Класс K алгебр фиксированной сигнатуры назовем многооб-
разием, если имеют место включения H(K) ⊆ K, S(K) ⊆ K,
P (K) ⊆ K. Очевидно, что совокупность всех алгебр данной фик-
сированной сигнатуры σ является многообразием. Так как пересе-
77
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
чение любой совокупности многообразий является, очевидно, многообразием, то для любого класса K алгебр фиксированной сигнатуры существует наименьшее многообразие, включающее в себя
этот класс — пересечение всех многообразий, включающих рассматриваемый класс K универсальных алгебр. Назовем это наименьшее многообразие, включающее класс K, многообразием
порожденным классом K, и будем обозначать его как M (K).
ТЕОРЕМА БИРКГОФА О МНОГООБРАЗИЯХ. Для
любого класса K универсальных алгебр фиксированной сигнатуры
имеет место равенство
M(K) = HSP (K).
Доказательство. Включение HP S(K) ⊆ M(K) очевидно в
силу определения многообразий. Таким образом, для доказательства теоремы достаточно заметить, что класс HP S(K) является многообразием, т.е. замкнут относительно образования гомоморфных образов, подалгебр и прямых произведений. В самом
деле, из отмеченных выше утверждений (∗∗∗∗) и (∗∗∗∗∗) вытекают, в частности, следующие равенства и включения:
HHSP (K) = HSP (K);
SHSP (K) ⊆ H SSP (K) = HSP (K );
P HSP (K) ⊆ HP SP (K) ⊆ HSP P (K) = HSP (K).
Теорема доказана.
Важную роль в изучении многообразий играет также следующее утверждение приведенное здесь без доказательства.
ТЕОРЕМА КОГАЛОВСКОГО О МНОГООБРАЗИЯХ. Для любого класса K универсальных алгебр фиксированной
сигнатуры имеет место равенство
M(K) = HPS(K).
Из определения многообразия очевидно, что совокупность всех
(изоморфных друг другу) одноэлементных алгебр сигнатуры σ
образует многообразие. Назовем его тривиальным многообра-
зием. Заметим теперь, что если M — нетривиальное многообра-
зие алгебр, то M содержит алгебры любой бесконечной мощности.
Под мощностью алгебры A = hA; σi имеется в виду мощность
основного множества A. Действительно, пусть A ∈ M , |A| ≥ 2 и
78
§5. Прямые и подпрямые произведения, ультрапроизведения
ℵ — произвольная бесконечная мощность. Пусть {Ai| i ∈ I} —
совокупность алгебр совпадающих с алгеброй A и |I| = ℵ. Тогда
мощность M-алгебры
C — подмножество основного множества алгебры
щее мощность ℵ. В силу того, что каждый элемент подалгебры
B = hB; σi M-алгебры
Q
Aiне меньше мощности 2ℵ> ℵ. Пусть
i∈I
Q
Ai, порожденной множеством C, яв-
i∈I
Q
Ai, имею-
i∈I
ляется значением некоторой термальной функции на элементах
множества C, а число различных термов конечной сигнатуры σ
счетно (его мощность равна ℵ0), то для мощности множества B
выполняются неравенства:
ℵ = |C| ≤ |B| ≤
S
ℵ0ℵn= ℵ.
n∈N
Таким образом, действительно, M -алгебра B имеет мощность
ℵ.
Для любого класса K универсальных алгебр, через KSIобозначим совокупность всех подпрямо неразложимых K-алгебр. Так
как в представлении какой-либо алгебры A подпрямым произведением алгебр Ai(i∈I) каждая алгебра Aiявляется гомоморфным
образом алгебры A (при проектировании πi), то в силу теоремы
Биркгофа о подпрямом представлении алгебр для любого многообразия алгебр M включающего в себя алгебру A алгебры A
также входят в M; с другой стороны, если Ai(i∈I) являются M алгебрами, то любое подпрямое произведение алгебр Ai(i∈I) также входит в многообразие M . Отсюда следует истинность следующих формул для любых многообразий универсальных алгебр M
и M2:
M1= M(M
1
), M1= M2⇔ M
SI
1
SI
= M
2
SI
.
i
1
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что прямое произведение решеток (полугрупп,
групп, колец) и само является решеткой (полугруппой, группой,
79
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
кольцом). В то же время прямое произведение полей полем не является.
2. Постройте диаграммы Хассе для решеток A × B и A × C,
если решетки A, B, C заданы следующими диаграммами Хассе:
1
0
A
c
b
a
B
δ
β
γ
α
C
3. Докажите утверждение (∗) изданного параграфа.
4. Пусть A = hZ;+,−i, докажите, что A неразложима в нетри-
виальное прямое произведение.
5. Элемент а решетки B называется коатомoм, если он от-
личен от наибольшего элемента решетки B (от 1B) и для любого
c ∈ B неравенство a<c влечет равенство c = 1B, т.е. если 1Bпо-
крывает элемент а. Докажите, что алгебра A представима подпрямым произведением простых алгебр тогда и только тогда, когда
пересечение коатомов решетки Con A равно ∆A.
6. Докажите, что единственной подпрямо неразложимой неодноэлементой булевой алгеброй является двухэлементная булева
алгебра из задачи 12 §1. На основе этого замечания и теоремы
Биркгофа о подпрямом представлении алгебр выведите утверждение теоремы Стоуна (§ 2) о представлении булевых алгебр.
7. Постройте представление алгебры A = hZ;+i в виде
подпрямого произведения алгебр An(n ∈ N \{0}) вида hAn=
{0, 1, . . . , n − 1}; +i, где + на Anопределяется как сложение по
модулю n.
8. Пусть p, q — различные числа. Докажите, что алгебра A
pq
из задачи 7 разложима в прямое произведение алгебр Ap, Aq.
9. Докажите утверждение (∗∗) из данного параграфа.
10. Докажите утверждение (∗∗∗) из данного параграфа.
11. Докажите, что для любых алгебр A1и A2решетка Con A1×
Con A2изоморфно вложима в решетку Con (A1× A2).
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]