Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы универсальной алгебры. Учебное пособие-1
.pdf
§1. Универсальные алгебры, модели и алгебраические системы
Группа A = hA; ·,−1, ei называется абелевой (или коммута-
тивной), если для любых а, b из A имеет место равенство a·b=b·a.
10. Кольцом называется универсальная алгебра A = hA; σi
сигнатуры h+,f
1
,·,0i (f
1
1
— одноместная функция на A, обознача-
1
емая далее как −, т.е. f1(a)=−a, 0 — константный символ), если
она удовлетворяет условиям:
1) hA; +, −, 0i абелева группа
2) hA; ·i полугруппа и
для любых а, b, с из A:
3) a · (b + c) = (a · b) + (a · c), (b + c) · a = (b · a) + (c · a).
Пусть Z — множество всех целых чисел и операции +, ·, −,
константа 0 определяются на Z как традиционное сложение, умножение, взятие противоположного элемента и нуль. Тогда универсальная алгебра hZ;+,−,·,0i является кольцом.
Как неоднократно говорилось выше, основным предметом
изучения универсальной алгебры являются действия различных
функций на произвольных множествах. В этом случае конкретное представление элементов этих множеств не играет принципиальной роли. Таким образом, копирование или клонирование
элементов универсальной алгебры создание алгебры-близнеца не
порождает при изучении этих алгебр существенно новой ситуации. К примеру, рассмотрим алгебру A = h{1, 2, 3}; σi сигнатуры
σ =hf
1
i со следующей таблицей Кэли для функции f0:
0
x f0(x)
1 3
2 2
3
1
Мы переобозначим (закодируем) элемент 1 как новый элемент
а, элемент 2 – как b, элемент 3 − как с и рассмотрим функцию
f0, определенную на множестве {a, b, c} с помощью таблицы Кэли:
x f0(x)
a c
b b
c a
В этом случае новая алгебра B = h{a, b, c}; σi, полученная из
алгебры A указанной кодировкой, сохранит очевидным образом
21
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
все родовые черты алгебры A, связанные с действием функции
f0на основном множестве алгебры. Таким образом, с точки зре-
ния универсальной алгебры A и B представляют собой одну и ту
же универсальную алгебру. Однако изучение алгебры A вместо
алгебры B или наоборот может быть предпочтительнее с точки
зрения наглядности, интуитивной прозрачности и так далее, связанной с конкретной природой множества {1,2,3} или {a, b, c}.
Данный подход закреплен в понятии изоморфизма, рассматриваемом нами в более общем контексте алгебраических систем,
а не только универсальных алгебр. Фиксируем некоторую сигнатуру
σ = hf
s
0
0
, ..., f
q
s
0
r
, P
0
r
, ..., P
q
m
, c0, ..., cki .
m
Пусть A = hA; σi и B = hB; σi — пара произвольных алгебраических систем сигнатуры σ. Пусть ϕ — некоторая биекция основного множества A алгебры A на основное множество B алгебры
B. Биекцию ϕ назовем изоморфизмом системы A на систему
B, если выполняются следующие условия:
1) для любого l≤r, для любых элементов a1, ..., a
место равенство ϕ(fl(a1, ..., a
))=fl(ϕ(a1), ...,ϕ(a
s
l
)) (здесь символ f
s
l
из A имеет
s
l
из левой части равенства означает функцию, интерпретирующую
сигнатурный символ flв системе A, а символ flиз правой части
равенства — аналогичную функцию в системе B);
2) для любого l ≤m, для любых элементов a1, ..., a
Pl(a1, ..., a
)=И⇔Pl(ϕ(a1) , ..., ϕ( a
q
l
))=И (здесь, как и выше, сим-
q
l
q
l
из A,
вол Plслева от равенства означает отношение, интерпретирующее
сигнатурный символ Plв системе A, а справа — в системе B);
3) для любого l≤k ϕ(cl)=cl(здесь также левое clозначает элемент, интерпретирующий константный символ clв системе A, а
правое cl— в системе B).
Очевидно, что приведенное понятие изоморфизма соответствует интуитивному понятию копирования алгебраических систем.
Еще раз попытаемся проиллюстрировать понятие изоморфиз-
2
ма алгебраических систем сигнатуры σ=hf
1
, P
, c0i (см. рисунок).
0
0
Здесь P0(A)={a∈A|P0(a)} и P0(B)={b∈B|P0(b)}.
Укажем несколько конкретных примеров изоморфизма алгебраических систем.
l
22
§1. Универсальные алгебры, модели и алгебраические системы
Рис. 1.1
1) Пусть алгебраические системы A = hN ; σi и B = h{2n|n ∈
2
N}; σi имеют сигнатуру σ=hf
2
, P
, c0i и таковы, что для любых
0
0
a1,a2из A, b1,b2из B имеет место:
f0(a1, a2) = a1+ a2, f0(b1, b2) =b1· b2,
P0(a1, a2) ⇔ a1≤ a2, P0(b1, b2) ⇔ b1≤ b2,
A
c
0
= 0, c
B
0
= 1.
Здесь +, · и ≤ — традиционные сложение, умножение и отношение порядка на натуральных числах. Нетрудно заметить, что
отображение ϕ : N → {2n|n ∈ N }, определенное как ϕ(n)=2n,
является изоморфизмом алгебраических систем A и B.
2) Пусть алгебры A = h{0, 1}, σi и B = hP (b), σi имеют сигна-
2
2
туру σ = hf
, f
0
1
, f
, c0, c1i и таковы, что σ-символы алгебры B
1
2
определяются на P0({b}) условиями: для любых C, D ⊆ {b}
f0(C, D) = C ∪ D, f1(C, D) = C ∩ D, f2(C) = ¬ C,
B
c
0
= ∅, c
B
= {b}.
1
Пусть σ-символы алгебры A, определяются следующими таблицами Кэли:
23
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
для f
x\y 0 1
0
0 0 1
1 1 1
для f
x\y 0 1
1
0 0 0
1 0 1
для f
x f2(x)
2
0 1
1 0
A
c
0
= 0, c
A
1
= 1.
Нетрудно проверить, что отображение ϕ:{0,1}→P({b}) такое,
что ϕ(0)=∅, ϕ(1)={b}, является изоморфизмом алгебр A и B.
Непосредственно проверяется следующее утверждение:
(∗∗) а) тождественное отображение любой алгебраической системы A на себя является изоморфизмом A на A;
б) если ϕ — изоморфизм алгебраической системы A на систему
B, то обратное отображение ϕ−1является изоморфизмом алгеб-
раической системы B на A;
в) если ϕ — изоморфизм алгебраической системы A на B, а ψ
— изоморфизм алгебраической системы B на C, то суперпозиция
отображений ϕ и ψ, т.е. отображение ψϕ является изоморфизмом
алгебраической системы A на C.
Алгебраические системы A и B назовем изоморфными, если
существует некоторый изоморфизм систем A на B. Эту ситуацию
будем обозначать как A
∼
=
B.
Автоморфизмом алгебраической системы A будем называть
любой изоморфизм этой системы на себя.
К примеру, пусть A = hZ; σi, где Z — совокупность всех целых
чисел, σ=h+i. Тогда тождественное отображение idZмножества
Z на себя и отображение ϕ : Z→Z такое, что ϕ(n)= −n, являются
автоморфизмами алгебры A и других автоморфизмов алгебры A
не существует.
Для любой алгебраической системы A = hA; σi сигнатуры σ и
любой биекции ϕ множества A на множество B мы можем определить систему B = hB; σi с основным множеством B так, что
24
§1. Универсальные алгебры, модели и алгебраические системы
ϕ будет изоморфизмом системы A на систему B, полагая: для
любых l≤r, i≤m, j≤k и любых элементов b1, ..., b
fl(b1, ..., b
Pi(a1,..., a
)=ϕ (fl(ϕ−1(b1),...,ϕ−1(b
s
l
)=И ⇔ Pi(ϕ−1(a1),...,ϕ−1(a
q
u
s
))),
l
))=И,
q
u
, a1, ..., a
s
l
q
u
из B
B
c
j
=ϕ(c
A
).
j
Мы закончим этот параграф более подробным рассмотрением
отношения эквивалентности на произвольном множестве и конструкциями, связанными с отношениями эквивалентности.
Отношением эквивалентности на множестве A называется
двухместное отношение θ, удовлетворяющее следующим условиям: для любых а, b, с из A:
1) Q(a,a) — рефлексивность Q,
2) из Q(a,b) следует Q(b,a) — симметричность Q,
3) из Q(a,b) и Q(b,c) следует Q(a,c) — транзитивностьQ.
Очевидно, что отношение равенства (Q(a,b) ⇔ a = b) является
отношением эквивалентности на любом множестве A. Далее будем обозначать это отношение как ∆A(т.е. ∆A(a,b) ⇔ a = b).
Отношение коллапса (или универсальное отношение) на A также
является отношением эквивалентности на A (Q(a,b)=И для любых элементов а, b множества A).
Обозначим в дальнейшем это отношение как ∇A. Очевидно,
что для любого отношения эквивалентности Q на A имеют место
включения ∆A⊆Q⊆∇A.
Пусть A = {0, 1, 2, 3} и отношения Q1и Q2определяются на A
следующими таблицами Кэли:
для Q
для Q
x\y 0 1 2 3
1
0 И И Л Л
1 И И Л Л
2 Л Л И Л
3 Л Л Л И
x\y 0 1 2 3
2
0 И И Л Л
1 И И Л Л
2 Л Л И И
3 Л Л И И
25
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
Убедитесь, что оба этих отношения являются отношениями
эквивалентности на A.
Пусть A — произвольное множество. Набор непустых подмножеств B = {Bi|i ∈ I} назовем разбиением множества A, если
выполнены следующие условия:
S
1)
Bi= A,
i∈I
2) для различных i1, i2∈ I B
i
1
∩ B
i
2
=∅.
Мы покажем, что в каком-то смысле понятия отношения эквивалентности на множестве A и разбиения множества A равносильны.
Пусть Q — отношение эквивалентности на A. Для любого элемента a из A классом эквивалентности Q для элемента a назовем
подмножество {b∈ A|Q(a,b)} множества A. Будем в дальнейшем
обозначать это подмножество как [a]Qили a/Q.
Покажем, что совокупность попарно различных классов эквивалентности Q образует разбиение множества A. Прежде всего
заметим, что в силу рефлексивности отношения Q, для любого а
из A имеет место включение a∈[a]Q. Пусть теперь [a]Q∩ [b]Q6= ∅.
Покажем, что в этом случае [a]Q=[b]Q. Достаточно показать. что
имеет место включение [a]Q⊆ [b]Q, тогда в силу симметричности
ситуации будет иметь место и включение [b]Q⊆ [a]Q, а значит, и
равенство [a]Q= [b]Q. Действительно, пусть d∈[a]Q. Так как [a]Q∩
[b]Q6= ∅, то найдется элемент c∈[a]Q∩ [b]Q, т.е. имеет место Q(a,c)
и Q(b,c). В силу симметричности отношения Q истинно отношение
θ(c,a) и, значит, по транзитивности Q, имеет место Q(b,a). Опять
же в силу транзитивности Q из Q(b,a) и Q(a,d) следует Q(b,d), что
и доказывает включение d∈[b]Q. Как замечено выше, последнего
достаточно для доказательства равенства [a]Q=[b]Q.
Совокупность всех (попарно различных) классов эквивалентности по Q множества A назовем фактор-множеством множества A по отношению эквивалентности Q. Обозначать этот
фактор-множество будем какA/Q. Таким образом, для любого
элемента х включение x ∈A/Qравносильно тому, что для некоторого а из A x=[a]Q. Заметим, чтоA/Qобразует разбиение мно-
жества A. Действительно, так как для любого а из A a∈[a]Q, то
26
§1. Универсальные алгебры, модели и алгебраические системы
S
[a]Q= A. С другой стороны, как доказано выше, если для
[a]Q∈A/
Q
a, b из A имеет место неравенство [a]Q6= [b]Q, то[a]Q∩ [b]Q= ∅. Это
и доказывает, чтоA/Qявляется разбиением множества A (разбиением, соответствующим эквивалентности Q).
Пусть теперь B = {Bi|i ∈ I} −произвольное разбиение множества A. На A определим отношение θBследующим образом: для
любых a, b из A: QB(a,b) ⇔ существует i ∈ I такой, что a ∈ Biи b
∈ Bi.
Предоставим читателю самому убедиться в том, что QBявляется отношением эквивалентности на A и, более того, имеет место:
(∗∗∗) а) для любого отношения эквивалентности Q на A имеет
место равенство Q =Q
б) для любого разбиения B множества A имеет место равенство B=
A
.
Q
.
B
A
;
/
Q
Таким образом, эквивалентность, построенная по фактор-множеству относительно некоторой эквивалентности, совпадает с исходной эквивалентностью, а фактор-множество, построенное по
отношению эквивалентности, порожденному некоторым разбиением, совпадает с этим разбиением.
Заметим, что разбиениеA/
жеств, аA/
состоит из одного-единственного множества A.
∇
A
состоит из одноэлементных мно-
∆
A
На совокупности Eq(A) всех отношений эквивалентности на
множестве A введем отношение ≤, совпадающее с теоретико-множественным включением: для Q1,Q2∈ Eq(A) пусть Q1≤ Q2тогда
и только тогда, когда Q1⊆ Q2(как подмножества множества
A × A). Непосредственно замечается, что hEq(A);≤i является ча-
стично упорядоченным множеством. Более того:
(∗∗∗∗) hEq(A);≤i — решеточно-упорядоченное множество, где
для любых Q1,Q2∈ Eq(A) отношение inf(Q1,Q2) определяется как
пересечение отношений Q1и Q2, рассматриваемых как подмножества множества A × A, т.е. для любых a, b из A
inf(Q1, Q2)(a, b) ⇔ Q1(a, b) и Q2(a, b).
Наименьшая верхняя грань отношений Q1и Q2(sup(Q1,Q2))
в hEq(A);≤i определяется более сложным образом:
27
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
для любых a, b из A sup(Q1,Q2)(a,b) ⇔ существует конечная последовательность a = a0,a1,a2,...,a
2n−1,a2n
=b (необязательно различных) элементов множества A такая, что для любого i ≤ n−1
имеют место Q1(a2i,a
2i+1
) иQ2(a
2i +1,a2i +2
).
Доказательство утверждения (∗∗∗∗) предоставляем читателю.
Решетку hEq(A);∨,∧ i, соответствующую решеточно-упорядо-
ченному множеству hEq(A);≤ i, будем называть решеткой эк-
вивалентностей на множестве A.
ЗАДАЧИ
1. Пусть A = hA; ≤i — частично упорядоченное множество.
Определим новое двухместное отношение P на A следующим образом: для любых a,b∈ A пусть P(a,b) истинно тогда и только
тогда, когда b≤a. Покажите, что модель hA;Pi также является частично упорядоченным множеством. Отношение порядка P
на A называется двойственным к порядку ≤ и обозначается как
≤∗(a≤∗b ⇔ b≤a). Будет ли частично упорядоченное множество
двойственное к цепи (к решеточно упорядоченному множеству)
само являться цепью (решеточно упорядоченным множеством)?
2. Покажите, что частично упорядоченное множество из при-
мера IV частично упорядоченных множеств является решеточно
упорядоченным. Какие числа играют роль sup(n,m) и inf(n,m) для
m,n∈N0в этом частично упорядоченном множестве?
3. Докажите утверждение (∗) из данного параграфа.
4. Пусть L − произвольное линейное пространство (над любым
полем) и SubL − совокупность всех подпространств пространства
L. На SubL определим операции ∨ и ∧ : для любых L1, L2∈SubL
пусть L1∧ L2= L1∩ L2и L1∨ L2является подпространством,
порожденным множеством элементов L1∪L2пространства L. Докажите, что hSubL; ∧, ∨i является модулярной решеткой.
5. Докажите, что для любого множества A решетка hP(A); ∪,
∩i дистрибутивна.
6. Пусть L в условиях задачи 4, — двухмерное линейное про-
странство геометрических векторов. Докажите, что модулярная
решетка hSub L; ∧, ∨i не является дистрибутивной.
7. Докажите, что условие, определяющее модулярность решет-
ки A = hA; ∧,∨i, эквивалентно следующему: для любых a,b,c∈ A,
если a≤b, то a∨(b∧c) = b∧(a∨c).
28
§1. Универсальные алгебры, модели и алгебраические системы
8. Докажите, что условие, определяющее дистрибутивность
решетки A = hA; ∧, ∨i, эквивалентно следующему: для любых
a,b,c ∈ A имеет место a∨(b∧c) = (a∨b) ∧(a∨c).
9. Является ли решетка C0, где C — решеточно упорядоченное
множество из примера IV частично упорядоченных множеств, модулярной, дистрибутивной?
10. Пусть B = hB; ∧, ∨i — произвольная решетка, ≤ — отноше-
ние порядка, определенное на B с помощью решетки B стандартным образом. Покажите, что B∗=hB; f0,f1i — решетка, определяемая решеточно упорядоченным множеством hB; ≤∗i, такова, что
для любых a,b∈ B f0(a,b) = a∨b, f1(a,b) = a∧b.
11. Пусть решетки M3и N определяются следующими диа-
граммами Хассе:
M
3 N
Докажите, что решетка N не модулярна, а решетка M3моду-
лярна, но не дистрибутивна.
12. На множестве 0,1 определим операции сигнатуры σ = h∧, ∨,
¬, 0, 1i следующими таблицами Кэли:
для ∧
x\y 0 1
0 0 1
1 1 1
для ∨
x\y 0 1
0 0 0
1 0 1
для ¬
x ¬x
0 1
1 0
Выберем для константного символа 0 значение 0, а для кон-
стантного символа 1 — значение 1. Докажите, что A = h{0,1};σi
является булевой алгеброй.
13. Покажите, что для полугруппы hR;·i где R — совокупность
всех действительных чисел, а операция · — традиционная операция умножения действительных чисел, невозможно доопределить операцию−1и константу e так, чтобы универсальная алгебра
hR;·,−1,ei стала группой.
29
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
14. Покажите, что для полугруппы hR;+i, где роль полугруп-
повой операции умножения · играет традиционная операция сложения действительных чисел, возможно (как?) доопределить операцию−1и константу e таким образом, чтобы универсальная алгебра hR;+,−1,ei стала группой.
15. Пусть A = hA; ·,−1,ei — группа. Для произвольных элемен-
тов a,b,c∈ A выразите элементы (a · b)−1, a · (b · c)−1, ((a · b)−1((c ·
(a−1)) · b))−1через произведения элементов a, b, c, a−1, b−1, c−1.
16. Пусть A = hA;·,−1,ei — группа. Докажите, что e — един-
ственный элемент x из A такой, что для любого a ∈ A имеют место
равенства a · x = x · a = a и для любого элемента b ∈ A элемент
b−1— это единственный в A элемент y такой, что b · y = y · b = e.
17. Покажите, что если множество A содержит, по крайней ме-
ре, три элемента, то группа hBi(A); ·,−1, idAi не является абелевой
.
18. Докажите утверждение (∗∗∗) из данного параграфа.
19. Докажите утверждение (∗∗∗∗) из данного параграфа.
20. Пусть B1= {Bi| i∈I} и B2= {Cj| ϕ ∈J} — разбиения мно-
жества A. Сформулируйте на языке подмножеств Biи Cjмножества A отношение B1≤ B2, имеющее место тогда и только
тогда, когда имеет место отношение Q
биения множества A, отвечающие эквивалентностям Q
и Q
∧ Q
B
1
на языке подмножеств Biи Cjмножества A. Че-
B
2
≤ Q
B
1
. Опишите раз-
B
2
B
1
∨ Q
B
рез Part(A) будем впредь обозначать совокупность всех разбиений
множества A. Тем самым hPart(A);≤i — решеточно упорядоченное
множество. При этом sup(B1, B2) = A/(Q
A/(Q
∧ Q
B
1
). Обозначая, как обычно, sup(B1,B2) как B1∧B2,
B
2
∨ Q
B
1
), inf(B1, B2) =
B
2
а inf(B1,B2) как B1∨B2получаем решетку hPart(A);∨,∧i разбиений множества A.
2
21. Докажите утверждение (∗∗) из данного параграфа.
22. Пусть K — некоторая совокупность алгебраических систем
сигнатуры σ. Докажите, что отношение изоморфности (A
∼
=
B)
на совокупности K является отношением эквивалентности.
23. Докажите, что частично упорядоченные множества N, R,
A, C из примеров I – IV частично упорядоченных множеств не
являются изоморфными.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]