Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы универсальной алгебры. Учебное пособие-1
.pdf
§11. Условные термы и условно термальные функции
s
1
t(¯x)=
P1J(¯x) → h1(¯x),
&
j=1
· · · · · · · · · · · ·
s
n
Pnj(¯x) → hn(¯x),
&
j=1
что и требовалось доказать. Теорема доказана.
Из определения условно термальных функций (индукцией по
определению условных термов) без труда замечается, что:
(∗) а) для любого условного терма t(¯x) любой алгебры A и
любой подалгебры B алгебры A, если ¯a∈B, то t(¯a)∈B;
б) для любого условного терма t(¯x), любого изоморфизма ϕ
алгебр A и B, для любых ¯a = ha1, . . . , ani ∈ A имеет место равен-
ство
ϕ(t(a1, . . . , an)) = t(ϕ(a1), . . . , ϕ(an)).
В отличие от термов вычисление условных термов не коммутирует с гомоморфными отображениями и декартовыми степенями,
т.е.:
(∗∗) а) существуют алгебры A, B и гомоморфизм ϕ алгебры
A в B, существует условный терм t(¯x) и элементы a1, ..., anиз A
такие, что
ϕ(tA(a1, . . . , an)) 6= tB(ϕ(a1), . . . , ϕ(an));
б) существуют алгебры A1, A2, элементы a
1
1
, ..., a
1
2
; a
n
1
, ..., a
2
из
n
алгебр A1и A2соответственно и условный терм t(¯x) такие, что
t
A1×A
2
((a
, a
1
2
), . . . , (a
1
1
n
, a
2
)) 6= (t
n
1
(a
, . . . , a
A
1
1
1
n
), t
2
(a
, . . . , a
A
2
1
2
)).
n
1
Алгебра A называется локально конечной, если для любого
n ∈ N и любых элементов a1, ..., anиз A, подалгебра алгебры A,
порожденная этими элементами, конечна. Алгебра A называется
равномерно локально-конечной, если существует функция h:
N→ N такая, что для любого n ∈ N , любых a1, ..., an∈ A мощ-
ность подалгебры ha1, ..., aniA, порожденной элементами a1,..., an,
не превосходит h(n).
Без доказательства приведем следующую алгебраическую характеризацию условно термальных функций на равномерно локально конечных алгебрах.
ТЕОРЕМА 2. Для любой конечной алгебры или равномерно локально-конечной алгебры A = hA, σi конечной сигнатуры,
121
Глава 3. Условные термы и условные многообразия
произвольная функция: g : An→ A будет условно термальной
функцией алгебры A тогда и только тогда, когда подалгебры алгебры A замкнуты относительно g (т.е. для любой подалгебры B алгебры A, любых a1, ..., an∈ B имеют место включения
g(a1, . . . , an) ∈ B) и функция g коммутирует с изоморфизма-
ми подалгебр алгебры A (т.е. для любых подалгебр C, B алгебры
A, любого изоморфизма ϕ подалгебры B на подалгебру C, любых
a1,...,an∈ B имеет место равенство ϕ(g(a1, ..., an)) = g (ϕ(a1),
..., ϕ(an))).
Для любой алгебры A через T (A) обозначим совокупность всех
термальных функций алгебры A, а через CT (A) — всех условно
термальных функций алгебры A. Через F (A) обозначим совокупность произвольных функций на основном множестве алгебры A.
Таким образом, для любой алгебры A имеют место включения
T (A) ∈ CT (A) ∈ F (A).
Напомним, что алгебра A называется примальной, если она конечна и T(A) = F (A). Алгебру A назовем условно примальной,
если она конечна и CT (A) = F (A).
На основе теоремы 2 можно доказать следующее утверждение
СЛЕДСТВИЕ 1. Конечная алгебра A условно примальна
тогда и только тогда, когда она не имеет собственных подалгебр и нетривиальных автоморфизмов.
Переформулируем последние результаты на языке программ
вычислений. Пусть A — некоторая конечная совокупность объектов, на которой заданы простейшие программы вычислений, команды (соответствующие сигнатурным функциям алгебры A =
hA; σi), тогда для произвольной функции g : An→ A существу-
ет некоторая программа, составленная из простейших программ с
помощью суперпозиций и условного оператора и вычисляющая на
A функцию g в том и только в том случае, когда все подалгебры
алгебры A замкнуты относительно функции g и g коммутирует с
изоморфизмами подалгебр алгебры A. При этом любая функция
g : An→ A будет вычислима некоторой подобной программой в
том и только в том случае, если A не имеет собственных подалгебр
и нетривиальных автоморфизмов.
Для любой алгебры A = hA; σi через Ad= hA; σ ∪ hd3ii обозначим обогащение алгебры A добавлением в сигнатуру алгебры A
122
§11. Условные термы и условно термальные функции
нового трехместного функционального символа d, интерпретируемого на алгебре Adдискриминатором множества A.
Имеет место следующее утверждение.
ЛЕММА 2. Для любой алгебры A выполняется равенство
CT (A) = T (Ad).
СЛЕДСТВИЕ 2. Для любой алгебры A равенство CT (A) =
T (A) имеет место тогда и только тогда, когда A — дискрими-
наторная алгебра.
ЗАДАЧИ
1. Даны условные термы t(x1,x2) и q(x1,x2,x3) сигнатуры h+,·i:
t(x1, x2) =
q(x1, x2, x3) =
x1· x2= x2→
x1· x26= x2→
x1· x26= x3→
(
x16= x2→ x1· x2+ x2,
(
x1= x2→ x2,
x1+ x2= x1→ x1+ x2· x1,
x1+ x26= x1→ x1;
x1· x2= x3→ (x1+ x2) · x3,
x1+ x2= x3→
x1= x2→ x3,
x16= x2→ x1· x1,
x1+ x26= x3→ x2.
вычислите значения t(1, 2), t(0, 3) и q(0, 1, 2), q(1, 2, 3) на алгебре
A = hZ; +, ·i.
2. Для условного терма t(x1,x2)
t(x1, x2) = x1+
x1+ x26= x1· x2→
x1+ x2= x1· x2→ x
(
x1= x2→ x
x16= x2→ x1+ x
1
· x
2
2
2
постройте условный терм t0(x), имеющий нормальную форму и
определяющий на всех алгебрах сигнатуры h+,·i те же условно
термальные функции, что и условный терм t(x1, x2).
3. На алгебре A = hZ; fi, где f(x) = x+1, укажите функцию,
определяемую бескванторной формулой исчисления предикатов
первого порядка не являющуюся условно термальной функцией
этой алгебры.
4. Докажите утверждения (∗) а) и б) из данного параграфа.
5. Докажите утверждения (∗∗) а) и б) из данного параграфа.
123
Глава 3. Условные термы и условные многообразия
6. Докажите, что любая булева алгебра является равномерно
локально-конечной.
7. Приведите пример алгебры сигнатуры (f
1
) локально-конеч-
0
ной, но неравномерно локально-конечной.
8. Будут ли алгебры A = hZn= {0, 1, ..., n−1},f
1
i и B =
0
hZn; +, ·i примальными, условно примальными? Здесь f(k) = k+1
для k<n−1 и f(n−1) = 0, а операции + и · определены на Znкак
сложение и умножение по модулю n.
§ 12. Условные тождества
и условные многообразия
По аналогии с понятием тождества введем следующее опреде-
ление.
Условным тождеством сигнатуры σ будем называть фор-
мальное равенство двух условных термов этой сигнатуры t1(x1,
...,xn) = t2(x
0
, ..., x
1
алгебре A сигнатуры σ означает совпадение значений соответствующих условно термальных функций при любой подстановке
значений элементов алгебры A вместо переменных, входящих в
условное тождество. Мы будем говорить, что условное тождество
t1(¯x) =t2(¯x0) истинно на классе алгебр K, если это условное тож-
дество истинно на каждой алгебре этого класса. Подобно тому
как это делали раньше, соответствующие ситуации мы будем обозначать как A t1(¯x) =t2(¯x0) и K t1(¯x) =t2(¯x0). Мы сохраним
и остальные обозначения и определения, касающиеся истинности
тождеств на классах алгебр, перенося их на случай условных тождеств и их совокупностей. Под условным многообразием мы
будем понимать класс всех алгебр фиксированной сигнатуры, на
которых истинна некоторая совокупность условных тождеств.
Стандартным образом, поскольку пересечение любой совокупности условных многообразий и самоочевидным образом является
условным многообразием, для любого класса алгебр K фиксированной сигнатуры существует наименьшее условное многообразие, включающее этот класс K. Обозначим его как M∗(K).
0
). Истинность условного тождества на
m
124
§12. Условные тождества и условные многообразия
Заметим, что любое условное многообразие является универсальным классом алгебр (аксиоматизируемо ∀-формулами ис-
числения предикатов первого порядка). Действительно, истинность условного тождества t1(¯x) =t2(¯x0) на алгебре A, где условные термы t1(¯x) и t2(¯x0) имеют нормальную форму (а именно таковыми можно ограничиться в силу леммы 1 § 11) и определены
как
t1(¯x) =
t2(¯x0) =
1
Γ
(¯x) → t
1
· · · · · · · · · · · ·
1
Γ
(¯x) → t
k
2
Γ
(¯x0) → t
1
· · · · · · · · · · · ·
2
(¯x0) → t
Γ
e
1
(¯x),
1
1
(¯x),
k
2
(¯x0),
1
2
(¯x0),
e
очевидным образом равносильна истинности на алгебре A ∀-формулы
∀¯x
00
&
i≤k
&
j≤e
&Γ
1
(¯x)&&Γ
i
2
(¯x0) → t
j
1
(¯x) =t
i
2
(¯x0)
j
!
.
Здесь ¯x00= ¯x ∪ ¯x0.
Поскольку любое условное тождество истинно на одноэлементной алгебре соответствующей сигнатуры, любое условное многообразие содержит соответствующую одноэлементную алгебру.
Как оказывается, отмеченные свойства полностью характеризуют условные многообразия.
ТЕОРЕМА 1. Для любого класса алгебр K неодноэлемент-
ная алгебра A входит в условное многообразие M∗(K) тогда и
только тогда, когда на A истинны все универсальные формулы,
истинные на классе K. Иначе говоря, M∗(K) — это наименьший
универсальный класс алгебр, включающий в себя класс K и одноэлементную алгебру соответствующей сигнатуры.
Доказательство. Пусть K — произвольный класс алгебр
фиксированной сигнатуры σ. Тогда одноэлементная алгебра этой
сигнатуры входит в M∗(K). Пусть A — некоторая неодноэлементная алгебра сигнатуры σ, входящая в M∗(K) и ϕ = ∀¯xψ(¯x) —
некоторая универсальная формула сигнатуры σ, истинная на всех
K-алгебрах (здесь ψ(¯x) бескванторная формула). Для доказатель-
ства теоремы достаточно показать, что A ϕ. Выберем представ-
125
Глава 3. Условные термы и условные многообразия
ление формул ψ(¯x) и ¬ψ(¯x) в дизъюнктивной нормальной фор-
ме: ψ(¯x) =
k
W
Γi(¯x), ψ(¯x) =
i=1
r
W
Γi(¯x). Здесь Γi(¯x) — некоторые
i=k+1
условия сигнатуры σ. Очевидным образом можно считать, что
{Γ1(¯x), ...,Γr(¯x)} — полная система условий. Определим условный
терм t(¯x) следующим образом:
Γ1(¯x) → x1,
· · · · · · · · ·
t(¯x) =
Γk(¯x) → x1,
Γ
(¯x) → x2,
k+1
· · · · · · · · ·
Γr(¯x) → x2.
Очевидно, что формула ϕ на одноэлементных алгебрах сигнатуры σ эквивалентна условному тождеству t(¯x) = x1и тем самым
действительно, A ϕ. Как замечено выше, это и завершает доказательство теоремы.
Хорошо известно (теорема Тарского), что наименьшим уни-
версальным классом, содержащим произвольный класс K, является класс ISPu(K). Таким образом, аналог формулы Биркгофа
для M (K) в случае условных многообразий имеет вид M∗(K) =
ISPu(Ke) = (ISPu(K))e. В частности, если A — конечная алгебра,
то IPu(A) = I(A)uимеет место (см. Задачу 16 из § 5). Здесь Ke—
класс алгебр, получаемый добавлением к классу K одноэлементной алгебры соответствующей сигнатуры.
СЛЕДСТВИЕ 1. Для любой конечной алгебры A имеет ме-
сто равенство M∗(K) = IS(A)e.
Отметим так же следующее утверждение.
СЛЕДСТВИЕ 2. Класс алгебр K сигнатуры σ является
условным многообразием тогда и только тогда, когда K — универсальный класс, содержащий одноэлементную алгебру соответствующей сигнатуры.
Пусть теперь Γ — некоторая совокупность условных тождеств
сигнатуры σ и t1(¯x) =t2(¯x0) — еще одно условное тождество этой
сигнатуры. Через Γ t1(¯x) =t2(¯x0) обозначим тот факт, что для
любой алгебры A, на которой истинны условные тождества из Γ,
истинно и условное тождество t1(¯x) =t2(¯x0).
126
§12. Условные тождества и условные многообразия
Через Axσ(где σ — некоторая фиксированная сигнатура) обозначим следующую совокупность условных тождеств:
(
x = z → z
1)
x 6= z → x
(
x = y → x
2)
x 6= y → x
(
x = x → z
3)
x 6= x → x
4)
5) для любой функции f(x1,...,xk) из σ
(
x = y → f(z1, ..., zk)
=
x 6= y → x
x = y → f
=
x 6= y → x;
x = y →
6)
x 6= y → x
x = y →
x 6= y → x;
(
(
x = y → z
x 6= y → x
x = y → z
x 6= y → x
(
x =
x 6=
x = y → z
x 6= y → x
(
x = y → z
x 6= y → x
=
x = y → z
x 6= y → x
z1= z2→ z
z16= z2→ z
1
1
1
3
1
=
6=
x = y → z
x 6= y → x
x = y → z
x 6= y → x
, ...,
=
= x;
= x;
= z;
!
→ y
!
→ x
(
x = y → z
x 6= y → x
→
2
→
2
= y;
k
x = y → z
x 6= y → x
x = y → z
x 6= y → x,
!
3
1
7) t(¯x) = t(¯x), для любого условного терма t(¯x) сигнатуры σ.
Рассмотрим также следующие правила вывода:
3)
f(q
t1(¯x) =t2(¯x0)
1)
t2(¯x) =t1(¯x0)
t1(¯x) =t2(¯x0), t2(¯x0) =t3(¯x00)
2)
t1(¯x) =t3(¯x00)
1
q
(¯x1) =q
1
1
(¯x1), ...,q
1
1
0
(¯x
), ...,q
2
1
1
(¯xn)) =f(q
n
n
(¯xn) =q
1
2
(¯x
1
127
;
0
1
n
(¯x
2
), ...,q
;
0
)
n
2
n
(¯x
;
0
))
n
Глава 3. Условные термы и условные многообразия
4)
,
t1(q1(¯x1), ...,qn(¯xn)) =t1(q1(¯x1), ...,qn(¯xn))
t1(x1, ...,xn) =t2(x1, ...,xn)
где t1(¯x), t2(¯x0), t3(¯x00), q
1
(¯x1, . . . , q
1
1
(¯xn), q
n
2
0
2
¯x
), q
1
1
0
(¯x
) — произволь-
n
n
ные условные термы сигнатуры σ, f(x1,...,xn)∈σ.
Аксиомами исчисления условных тождеств будем назы-
вать совокупность условных тождеств Axσ, а правилами выво-
да этого исчисления − правила вывода 1) – 4), указанные выше.
Если Γ — некоторая совокупность условных тождеств, то под
доказательством условного тождества t1(¯x) =t2(¯x0) в исчисле-
нии условных тождеств из совокупности Γ будем понимать
1
последовательность p
1
(¯x
1
1
тождеств такую, что условное тождество p
) = p
1
(¯x
2
1
), ..., p
2
n
n
(¯x
1
1
n
1
) = p
n
(¯x
) = p
1
n
n
(¯x
) условных
2
2
n
(¯x
2
n
) и есть
2
условное тождество t1(¯x) =t2(¯x0), а для любого i≤n условное тождество p
i
(¯x
1
1
) = p
i
i
(¯x
) либо входит в совокупность Axσ∪ Γ, либо
2
2
i
получается из некоторых предшествующих условных тождеств по
одному из правил вывода 1)–4).
Существование доказательства условного тождества
t1(¯x) =t2(¯x0) из совокупности Γ в исчислении условных тождеств
обозначим как Γ `ct1(¯x) =t2(¯x0).
Без доказательства приведем следующий результат. Его доказательство базируется на использовании свойств дискриминаторных многообразий и приведено, к примеру, в [16].
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ ДЛЯ ИСЧИСЛЕНИЯ УСЛОВНЫХ ТОЖДЕСТВ. Для любой совокупности Γ услов-
ных тождеств сигнатуры σ и любого условного тождества
t1(¯x) =t2(¯x0) той же сигнатуры отношения Γ t1(¯x) =t2(¯x0) и
Γ `ct1(¯x) =t2(¯x0) равносильны.
ЗАДАЧИ
1. Является ли любое многообразие алгебр условным многооб-
разием?
2. Является ли класс всех полей, рассматриваемых в сигнату-
ре h+,·,0,1i, условным многообразием?
3. В каком случае является условным многообразием класс,
состоящий из всех алгебр, изоморфных некоторой фиксированной
алгебре A = hA; σi, алгебре из {A, E}, где E — одноэлементная
алгебра?
128
§13. Условно рациональная эквивалентность
4. Непосредственно проверьте, что все аксиомы исчисления
условных тождеств истинны на любой универсальной алгебре.
§ 13. Условно рациональная
эквивалентность
условных многообразий
и алгебр
Рассматривая совокупность условно термальных функций алгебры A как программно вычислительные возможности этой алгебры (условный терм — программа вычислений на алгебре, составленная из простейших программ, команд — сигнатурных
функций с помощью суперпозиций и условных операторов, а
условно термальная функция на A — программируемая условным термом процедура вычислений на алгебре A), приходим к
проблеме изучения алгебр с одинаковыми вычислительными программируемыми возможностями при варьировании простейших
программ вычислений — сигнатурных функций. Эта проблема
уже обсуждалась нами в § 10 для термов и термальных функций на алгебрах, но решить ее в этом случае оказалось возможным не для отдельно взятых алгебр, а лишь для многообразий
алгебр. Рассмотрение условных термов позволяет работать с отдельно взятыми конечными и равномерно локально-конечными
алгебрами.
Классы алгебр K1и K2сигнатур соответственно σ1и σ2назовем условно рационально эквивалентными, если существуют
отображения F1(F2), ставящие в соответствие символам сигнатуры σ1условные термы сигнатуры σ2(символам сигнатуры σ2−
условные термы сигнатуры σ1) с сохранением арности (числа аргументов функции f ∈ σiи терма Fi(f) совпадают) и такие, что:
а) для любой K1-алгебры A = hA; σ1i, алгебра F2(A) = hA; σ2i
входит в K2, здесь σ2— операции алгебры F2(A) — определяются
на A соответствующими F2(σ2) — термами алгебры A ;
б) для любой K2-алгебры A = hA; σ2∠, алгебра F1(A) = hA; σ1i
входит в K1, здесь алгебра F1(A) определяется аналогично алгеб-
129
Глава 3. Условные термы и условные многообразия
ре F2(A) в пункте а);
в) для любой K1-алгебры A имеет место равенство F1(F2(A)) =
A;
г) для любой K2-алгебры A имеет место равенство F2(F1(A)) =
A;
Под категорией вложимости класса алгебр K будем понимать совокупность всех K-алгебр — совокупность объектов категории и совокупность отображений между этими алгебрами, являющихся изоморфизмами произвольной K-алгебры на подалгебру
какой-либо K-алгебры (являющихся вложениями K-алгебр друг
в друга), а так же отображения, являющиеся эпиморфизмами Kалгебр на одноэлементную алгебру соответствующей сигнатуры,
если последняя входит в K, — морфизмов категории вложимо-
сти. Через7→Hom(A, B), для K-алгебр A и B будем обозначать
совокупность всех морфизмов из A в B (всех изоморфных вложений алгебры A в алгебру B или эпиморфизм A на B, если
B — одноэлементная алгебра). В категории вложимости класса
K определена частичная (т.е. не всюду определенная) операция
произведения морфизмов: для ϕ ∈7→Hom(A, B), ψ ∈7→Hom(B, C)
под произведением ϕ · ψ понимаем элемент из7→Hom (A, C) являю-
щийся суперпозицией отображений ϕ и ψ. Категорию вложимости
класса алгебр K будем впредь обозначать как
K
.
Под натуральным изоморфизмом категорий вложимости
и
K
1
классов универсальных алгебр K1и K2соответственно,
K
2
мы будем понимать совпадение совокупностей основных множеств
алгебр из K1и из K2и совпадение совокупностей отображений
между этими множествами, являющихся морфизмами категорий
и
K
1
соответственно.
K
2
Имеет место следующая характеризация условно рационально эквивалентных условных многообразий на языке натуральных
изоморфизмов категорий вложимости. Ограничиваясь лишь формулировкой результата, заметим, что его доказательство основано
на теореме Мальцева о рационально эквивалентных многообразиях и структурных теоремах о дискриминаторных многообразиях.
Полностью доказательство теоремы см. в [16].
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]