Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы универсальной алгебры. Учебное пособие-1
.pdf
§4. Гомоморфизмы, конгруэнции и фактор-алгебры
.
ражением на алгебру
B[θ]
. Равенство же элементов ϕ(a) = ϕ(b)
θ
для a,b∈ B равносильно равенству θ-классов [a]θ= [b]θ, т.е. тому, что истинно отношение θ|B(a,b). Непосредственно проверяет-
ся, что ϕ гомоморфизм алгебры B на алгебру
ядро ϕ суть θ|Bи в силу доказанного ранее имеет место изоморфизм алгебр
Пусть теперь конгруэнции θ1и θ2алгебры A таковы, что θ1≤
θ2. На алгебре
B
A
.
θ|
и
B
B[θ]
.
. Теорема доказана.
θ
.
определим отношение
θ
1
.
θ
2
([a]
θ
1
θ
1
, [b]
) ⇔ θ2(a,b),
θ
1
θ
2
B[θ]
.
θ
.
θ
так, что
1
. Тем самым
где а,b — произвольные элементы алгебры A.
Прежде всего отметим корректность определения отношения
θ
2
/
, т.е. независимость его определения от выбора элементов а,b
θ
1
из классов [a]
θ
, [b]
1
. Действительно, если [a]
θ
1
θ
1
= [c]
θ
1
и [b]
θ
1
= [d]
θ
то отношения θ1(a,c) и θ1(b,d) имеют место, а значит,
θ2(a,b) ⇒θ1(a,c) & θ2(a,b) & θ1(b,d) ⇒ θ2(c,d).
,
1
Непосредственно проверяется, что отношение
ся отношением эквивалентности на множестве
.
θ
2
конгруэнция алгебры
θ
1
торых a1,...,a
, b1,...,b
s
i
.
θ
2
θ
1
т.е. θ2(a1,b1),...,θ2(a
, из A имеют место отношения
s
i
([a1]
θ
1
,b
), то имеет место и отношение
s
s
i
i
θ2(fi(a1,..., a
, [b1]
.
A
, так как если f
θ
1
.
θ
2
),...,
θ
1
), fi(b1,..., b
s
i
([a
]
s
θ
θ
1
1
i
)).
s
i
B этом случае
.
θ
2
([fi(a1,...,a
θ
1
В силу же определения алгебры
[fi(a1, ..., a
[fi(b1, ..., b
s
s
)]
i
)]
i
)]
s
i
= fi([a1]
θ
1
= fi([b1]
θ
1
, [fi(b1, ..., b
θ
1
.
A
θ
, ..., [a
θ
1
, ..., [b
θ
1
s
1
s
s
.
θ
2
.
A
. Более того,
θ
1
s
i
∈ σ и для неко-
i
, [b
]
),
s
θ
1
i
)]
).
θ
1
i
]
),
i
θ
1
]
).
i
θ
1
θ
1
являет-
61
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
Тем самым имеет место отношение
θ
2
/
(fi([a1]
θ
1
и проверка того, что
закончена.
Рассмотрим теперь на фактор-алгебре
конгруэнцию Φ. Определим отношение Φ
θ
1
θ
2
/
, ..., [a
θ
1
]
s
i
θ
), fi([b1]
1
, ..., [b
θ
1
является конгруэнцией алгебры
.
A
θ
1
на алгебре A следу-
]
)),
s
i
θ
1
произвольную
θ
1
A
.
θ
ющим образом: для a,b∈ A
θ
1
Φ
Заметим, что отношение Φ
θ
A и θ1≤ Φ
1
. Непосредственно замечается, что отношение Φ
(a,b) ⇔ Φ ([a]
θ
1
является конгруэнцией алгебры
,[b]
θ
).
θ
1
1
θ
1
яв-
ляется отношением эквивалентности на A. Пусть теперь для неко-
θ
, ..., [a
θ
1
)]
s
i
1
(a1,b1),
s
, [fi(b1,
θ
1
),
s
i
]
i
θ
1
торых a1, ..., a
θ
..., Φ
ния Φ([a1]
fi([b1]
..., b
fi(b1, ..., b
1
(a
,b
s
s
i
i
[b1]
θ
1
, ..., [b
s
θ
1
)]
s
i
θ
1
i
) и по определению Φ
)) истинно.
s
i
Неравенство θ1≤Φ
, b1,..., b
s
i
). Тогда, по определению Φ
), ...,Φ ([a
θ
1
]
)). Тем самым истинно Φ([fi(a1, ..., a
θ
1
, из A имеют место отношения Φ
s
i
]
[b
]
s
i
θ
1
θ
1
имеет место в силу следующих имплика-
) и, значит, Φ(fi([a1]
s
i
θ
1
θ
1
отношение Φ
θ
1
имеют место отноше-
θ
1
(fi(a1, ..., a
ций:
,
1
),
θ
θ
1
=θ2.
1
(a,b).
θ1(a,b) ⇒ [a]
Заметим теперь, что для любой конгруэнции θ2алгебры A такой, что θ1≤ θ2имеет место равенство
θ
1
= [b]
⇒ Φ ([a]
θ
1
,[b]
θ
) ⇒ Φ
θ
1
1
θ
2
/
θ
1
Действительно, для любых а,b из A:
θ
θ
1
2
/
θ
1
(a,b) ⇔
θ
2
/
([a]
,[b]
θ
1
1
) ⇔ θ2(a,b).
θ
θ
1
.
Очевидно также, что для любой конгруэнции на алгебре
.
θ
1
имеет место равенство
Φ
θ
= Φ.
1
A
θ
Для любого элемента а произвольной решетки L через Ld≥а
обозначим множество {b∈L|b≥a} с индуцированными на нем операциями ∨, ∧ из решетки L. Очевидно, что Ld≥а является подрешеткой решетки L.
62
1
§4. Гомоморфизмы, конгруэнции и фактор-алгебры
Отмеченные свойства конгруэнций
θ
2
/
θ
1
и Φ
θ
1
резюмируем сле-
дующим утверждением.
ТЕОРЕМА 1. Для любой алгебры A и любой конгруэнции
θ алгебры A отображение ϕ: Con(
равенством ϕ(Φ) = Φθ(для любой Φ ∈ Con(
морфизмом решетки Con(
обратное отображение ϕ−1определено на ConAd≥ θ равенством
ϕ−1(θ1)=
Доказательство. Выше было доказано, что ϕ является биек-
цией решетки Con(
.
1
θ
.
θ
.
A
θ
.
A
θ
) на решетку ConAd≥ θ и что ϕ−1является
.
A
)→ConAd≥ θ, определенное
θ
.
A
)), является изо-
θ
) на решетку ConAd≥ θ. При этом
обратным к отображению ϕ. Очевидна также монотонность отображений ϕ и ϕ−1. Как уже замечалось, любая монотонная биекция
одной решетки на другую, для которой отображение ϕ−1также
монотонно является изоморфизмом этих решеток.
ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ. Пусть θ,
Φ конгруэнции алгебры A такие, что θ ≤ Φ. Тогда имеет место
изоморфизм
A
.
θ.Φ
.
θ
∼
=
A
.
Φ
.
.
Доказательство. Определим отображение ϕ алгебры
алгебру
.
A
следующим образом: для любого [a]θ∈
Φ
A
.
A
θ
θ
ϕ([а]θ)=[а]Φ.
Непосредственно замечается, что ϕ является гомоморфизмом
алгебры
A
.
θ
на алгебру
.
A
. При этом ядро ϕ сутьΦ/θ. Таким
θ
образом, в силу изоморфизма гомoморфного образа алгебры и
ее фактор-алгебры по ядру гомоморфизма получаем требуемый
изоморфизм
A
.
θ.Φ
.
θ
∼
=
A
.
Φ
.
Теорема доказана.
63
в
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
ЗАДАЧИ
1. Докажите утверждение (∗∗) из данного параграфа.
2. Пусть ϕ — гомоморфизм алгебры A = hA; σi в алгебру
B = hB; σi, t1(x) и t2(x) — термы сигнатуры σ, a — элемент множества A, являющийся решением уравнения t1(x) = t2(x) (в алгебре
A). Тогда элемент ϕ(a) является также решением этого уравнения
(в алгебре B).
3. Докажите, что существует лишь два гомоморфизма алгебры
A=hZ;+;·i в себя: ϕ0и ϕ1, где
ϕ0(n)=0 для любого n ∈ Z и
ϕ1(n)=n для любого n ∈ Z.
4. Докажите утверждение (∗) из данного параграфа.
5. Докажите корректность определения фактор-алгебры A по
конгруэнции θ и утверждение (∗∗∗) из данного параграфа.
6. Докажите, что все гомоморфные образы алгебры A из примера 1 гомоморфизмов алгебр изоморфны либо A, либо некоторой
алгебре вида Bn(n∈N\{0}) из того же примера. Для этого опишите все возможные конгруэнции алгебры A.
7. Докажите утверждение (∗∗∗∗) а) и б) из данного параграфа.
8. Пусть θ1, θ2∈ Con A для некоторой алгебры A. Докажите,
что отношения θ1∨Eqθ2и θ1∨
Conθ2
, где ∨Eq, ∨
операции соот-
Con
ветственно в решетках hEq(A); ∨, ∧i и Con A, совпадают. То есть
решетка Con A является подрешеткой решетки hEqA; ∨, ∧i.
9. Докажите утверждение (∗∗∗∗∗) из данного параграфа.
10. Докажите утверждение (∗∗∗∗∗∗) из данного параграфа.
11. Докажите утверждение (∗∗∗∗∗∗∗) из данного параграфа.
12. Докажите, что для алгебры A=hZ;+,-i, для любых m,n∈Z
справедливо равенство
θ
0,n
∨ θ
0,m
= θ
0,НОД(n,m)
, θ
0,n
∧ θ
0,m
= θ
0,НОК(n,m)
где НОД(n, m) − наибольший общий делитель чисел n и m, а
НОК (n, m) − наименьшее общее кратное этих чисел.
13. Докажите простоту следующих алгебр:
1) решетка М3(диамант) со следующей диаграммой Хассе:
64
§4. Гомоморфизмы, конгруэнции и фактор-алгебры
1
a c
b
0
M
3
2) для любого простого числа p∈N алгебры Ap= hZp= {0, 1,
..., p−1}; +i, где + − сложение по модулю p;
3) любое поле (коммутативное кольцо с единицей, в котором
каждый ненулевой элемент имеет обратный).
14. Докажите утверждение (∗∗∗∗∗∗∗∗) а) и б) из данного параграфа.
15. Для любой решетки B = hL; ∧, ∨i, любых ее элементов
a, b, c и любой конгруэнции θ на B докажите следующие импли-
кации:
θ(a, b) → θ(a ∧ b, a ∨ b),
θ(a, a ∧ b) → θ(b, a ∨ b),
θ(a, a ∨ b) → θ(b, a ∧ b),
a ≤ c ≤ b и θ(a, b) → θ(a, c) → θ(b, c).
16. Постройте диаграмму Хассе для решетки Con N, где N
(пентагон) — решетка с диаграммой:
1
b
a
c
0
N
17. Пусть алгебра A = hN; f
f(n, m, k) =
3
i такова, что
0
0, если n > m, k
k, в противном случае.
65
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
Докажите, что для любой конгруэнции θ на A, отличной от ∇
существует n ∈ N такое, что [0]θ= {0, . . . , n − 1}, а для m ≥ n
[m]θ= {m}. Верно и обратное: для любого n эквивалентность
θ определенная разбиением {{0, . . . , n − 1}, {m}|m ≥ n} множе-
ства N является конгруэнцией алгебры A. В силу этого любой
гомоморфный неодноэлементный образ алгебры A изоморфен ей
самой, но простой алгебра A не является.
18. Пусть B = hB; ∨, ∧, ¬, 0, 1i — произвольная булева алгебра
и F некоторый фильтр этой алгебры. Отношение θFна B определим следующим образом: для a,b ∈ B пусть θF(a, b) тогда и только
тогда, когда ¬((a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ ¬a)) ∈ F . Докажите, что θFявляется
конгруэнцией на булевой алгебре B. Докажите, что для любой
конгруэнции θ на B множество [1]θявляется фильтром и θ = θ
[1]
Докажите, что отображение ϕ : F = hF (B); ∨, ∧i → ConB, где
F (B) совокупность всех (включая несобственные) фильтров ал-
гебры B на решетку Con B, определенное равенством ϕ(F ) = θF,
является изоморфизмом решетки F на решетку Con B.
.
θ
19. Пусть G = hG; ·,−1, ei — произвольная группа. Подгруп-
пу hB; ·,−1, ei группы G назовем нормальной, если для любого
b ∈ B и любого элемента a из G элемент a−1ba снова входит в
B. Докажите, что для любых двух нормальных подгрупп B1, B
группы G их пересечение B1∩B2также является нормальной подгруппой группы G. Докажите, что для любых двух нормальных
подгрупп B1, B2группы G существует наименьшая (относительно теоретико-множественного включения) нормальная подгруппа
группы G, включающая в себя подгруппы B1и B2. Тем самым совокупность N(G) всех нормальных подгрупп группы G является
решеточно упорядоченным множеством относительно теоретикомножественного включения. Для любой конгруэнции θ на группе G докажите, что класс [e]θявляется нормальной подгруппой
группы G. Для любой нормальной подгруппы B группы G на G
определим отношение θBследующим образом: для a, b ∈ G пусть
θB(a, b) тогда и только тогда, когда a−1b ∈ B. Докажите, что отношение θBявляется конгруэнцией на группе G. Исходя из этого,
докажите, что отображение ϕ : N(G) → Con G, определенное как
ϕ(B) = θB, является изоморфизмом решетки hN (G);∨,∧i всех
нормальных подгрупп группы G на решетку ее конгруэнций.
2
66
§5. Прямые и подпрямые произведения, ультрапроизведения
§ 5. Прямые и подпрямые произведения,
ультрапроизведения. Операторы
на классах алгебр
В предыдущих параграфах мы уже рассматривали некоторые
способы построения новых алгебр исходя из имеющихся: образование подалгебр и фактор-алгебр. В настоящем параграфе мы
рассмотрим еще ряд подобных конструкций.
Пусть {Ai= hAi; σi|i ∈ I} — некоторая совокупность алгебр
одной и той же сигнатуры σ. Через
изведение множеств Ai(i ∈ I), т.е. совокупность таких функций f из I в
сиомы выбора, непустота множеств Ai(i ∈ I) влечет непустоту
множества
S
Ai, что f (i) ∈ Aiдля любого i ∈ I. В силу ак-
i∈I
Q
Ai. На множестве
i∈I
символов сигнатуры σ следующим образом:
для константных символов cjиз σ положим cj(i)= c
бого i∈I;
для функциональных символов f
Q
из
Aiположим fj(g1,..., g
i∈I
)(i)= f
s
j
i∈I.
Определяя подобным образом σ-символы на множестве
получаем алгебру h
Q
Ai;σi сигнатуры σ, именуемую далее пря-
i∈I
мым произведением алгебр Ai(i∈I) и обозначаемую как
В случае конечности множества I = {i1, ..., in} алгебру
называть также декартовым произведением алгебр Ai(i∈I) и
обозначать ее как A
× ... × A
i
1
i
будем обозначать кортежами hg(i1), ..., g(in)i.
С прямым произведением
ственные гомоморфизмы πiалгебры
мые в дальнейшем проекциями алгебры
определенные следующим образом:
Q
Aiобозначим прямое про-
i∈I
Q
Aiопределим интерпретацию
i∈I
A
i
для лю-
j
s
из σ и элементов g1,...,g
j
A
i
(g1(i),..., g
j
. Элементы g∈
n
Q
Aiалгебр Ai(i∈I) связаны есте-
i∈I
Q
Aiна алгебры Aiименуе-
i∈I
Q
i∈I
(i)) для любого
s
j
Q
Aiбудем
i∈I
Q
Aiв этом случае
i∈I
Aiна алгебры Aiи
Q
i∈I
Q
i∈I
s
Ai,
Ai.
j
πi(g) = g(i)
67
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
для любого g ∈
тельно πiявляется эпиморфизмом алгебры
Через θiобозначим ядра проекций πi(i∈I). В решетке Con
конгруэнций алгебры
Действительно, если inf (θi|i∈I}= θ, то для любых g,h∈
Q
Ai. Самостоятельно убедитесь, что действи-
i∈I
Q
Aiсправедливо следующее равенство
i∈I
inf ({θi| i∈I})= ∆
Q
i∈I
Q
Aiна алгебру Ai.
i∈I
.
A
i
i∈I
Q
Q
i∈I
Ai, θ
A
(g,h) влечет отношение θi(g,h), т.е. равенство g(i)=h(i) для любого
i∈I. Таким образом, действительно, θ (g,h) ⇔ g=h.
С другой стороны, для любых различных i, j из I
θi∨ θj= ∇
Действительно, пусть g1,g2∈
делен условиями
Q
A
i
i∈I
Q
Aiи элемент h из
i∈I
Q
Aiопре-
i∈I
i
h(e) =
g1(e), если e = i,
g2(e), если e 6= i.
Тогда имеют место отношения θi(g1, h) и θj(h, g2) и, значит,
θi∨θj(g1,g2). Равенство θi∨θj=∇
Q
тем самым доказано.
A
i
i∈I
Пусть K — некоторый класс (совокупность) универсальных
алгебр фиксированной сигнатуры и алгебры Ai(i∈I) разложи-
мы в прямые произведения K-алгебр, т.е. существуют множества Ji(i∈I) и алгебры Aij(i∈ Ji) из K такие, что Ai=
Q
j∈J
Aij.
i
Тогда прямое произведение алгебр Aiсамо изоморфно некоторому прямому произведению K-алгебр. Действительно, пусть S =
{hi, ji|i ∈ I, j ∈ Ji} и ϕ — отображение алгебры
Q
Aijтакое, что для g∈
hi,ji∈S
Q
Ai, i ∈I, j ∈ Jiимеет место равенство
i∈I
Q
Aiв алгебру
i∈I
ϕ(g)(hi, ji) = g(i)(j).
68
§5. Прямые и подпрямые произведения, ультрапроизведения
Нетрудно заметить, что ϕ является изоморфизмом алгебры
Q
Aiна алгебру
i∈I
Q
hi,ji∈S
Aij.
Остановимся теперь на условиях, когда алгебра A разложи-
ма в нетривиальное прямое произведение, т.е. когда алгебра
A изоморфна прямому произведению неодноэлементных алгебр.
Пусть A
∼
A1× A2, где A1и A2неодноэлементны. Более того,
=
будем считать, что A = A1× A2. Пусть θ1и θ2— ядра проекций
π1и π2алгебры A на алгебры A1и A2соответственно. В силу
замеченного выше
θi∧ θj= ∆A, θi∨ θj= ∇A,
а в силу неодноэлементности алгебр A1и A2, θ1и θ2отличны от
∆Aи ∇A.
Введем понятие произведения R1◦R2двух двухместных отношений R1и R2на множестве A: для любых a, b ∈ A R1◦R@(a, b)
тогда и только тогда, когда существует c ∈ A такой, что R1(a, c)
и R2(c, b).
Отметим, что если θ — отношение эквивалентности, то для
любого отношения R на A имеют место равенства и включения
θ ◦ θ = θ, R ⊆ θ ◦ R, R ⊆ R ◦ θ.
В силу определения произведение отношений обладает свойством ассоциативности, т.е. для любых двухместных отношений
R1, R2, R3на множестве A справедливо равенство:
R1◦ (R2◦ R3) = (R1◦ R2) ◦ R3.
В дальнейшем в силу ассоциативности операции ◦ в произведении нескольких отношений R1, . . . , Rnна множестве A мы будем
опускать скобки и записывать его просто как
R1◦ R2◦ · · · ◦ Rn.
Нетрудно доказать, что
(∗) если θ1,θ2∈ConA, то имеет место равенство
θ1∨ θ2=
S
n∈N\{0}
(θ1◦ θ2◦ ... ◦ θn),
69
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
где для четных i ∈N\{0} θiесть θ1, а для нечетных i − θi= θ2.
Конгруэнции θ1, θ2алгебры A назовем перестановочными,
если имеет место равенство
θ1◦ θ2= θ2◦ θ1.
Заметим что в этом случае, — в случае перестановочности
конгруэнций θ1, θ2, — любое произведение отношений из (*)
θ1◦ θ2◦ · · · ◦ θnравно отношению θ1◦ θ2= θ2◦ θ1. Таким образом, если θ1и θ2перестановочны, то
θ1∨ θ2= θ1◦ θ2.
Вернемся к алгебре A=A1× A2, разложимой в нетривиальное
прямое произведение. Покажем перестановочность ядер θ1,θ2проектирования алгебры A на алгебры A1и A2. Действительно, достаточно доказать, что θ1◦θ2=∇A(в силу симметрии будет иметь
место и равенство θ2◦θ1=∇A). Пусть ha1,a2i, hb1,b2i — элементы
алгебры A1× A2(здесь a1,b1∈ A1и a2,b2∈ A2). Пусть c = ha1,b2i
— элемент из A1× A2. Тогда очевидно, что θ1(ha1,a2i, ha1,b2i) и
θ2(ha1,b2i, hb1,b2i), т.е. θ1◦θ2(ha1,a2i, hb1,b2i). Равенство θ1◦θ2= ∇
доказано.
Имеет место
ТЕОРЕМА 1. Алгебра A разложима в нетривиальное пря-
мое произведение тогда и только тогда, когда на A существуют
перестановочные конгруэнции θ1,θ2, отличные от ∆Aи ∇Aи такие,что θ1∨θ2=∇A, θ1∧θ2=∆A.
Доказательство. Необходимость существования подобных
конгруэнций θ1и θ2для разложимости алгебры A в нетривиальное пря.мое произведение отмечена выше. Покажем достаточность этих условий. Положим A1=
A
.
θ
1
и A2=
.
A
. В силу то-
θ
2
го, что θ1, θ2отличны от ∇A, алгебры A1и A2неодноэлементны.
Рассмотрим теперь отображение ϕ алгебры A в алгебру A1× A
определенное следующим образом:
ϕ(a) =[a]
, [a]
θ
1
.
θ
2
A
2
Докажем, что ϕ — изоморфизм алгебры A на алгебру A1× A2.
Разнозначность ϕ следует из равенства θ1∧θ2=∆A. Так как
ϕ(a) = hϕ1(a), ϕ2(a)i, где ϕ1, ϕ2— естественные гомоморфизмы
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]