Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы универсальной алгебры. Учебное пособие-1
.pdf
§ 3. Алгебраические решетки
σ-символы соответствующими функциями, а константу c0— ну-
лем 0Bрешетки B. Покажем, что B
∼
=
Sub A.
Отображение B в P (A) определим следующим образом: для
любого b ∈ B пусть ϕ(b) = hCbi, где Cb= {a ∈ A|a ≤ b}.
Прежде всего заметим, что ϕ(b) ∈ Sub A, т.е. что ϕ(b) содержит
константу c0и замкнуто относительно функций вида f
. Дей-
¯a,a
ствительно, так как 0B≤ b и 0B∈ A для любого b ∈ B, то
0B∈ Cbи, значит, 0B∈ ϕ(b). Рассмотрим теперь любую функ-
цию вида f
(b). Если a16=b1, либо a26= b2, ..., либо an6=bn, то f
, где ¯a= ha1,...,ani и любые элементы b1,...,bnиз ϕ
¯a,a
¯a,a(b1
,...,bn) =
b1∈ ϕ(b). В противном случае, т.е. когда a1=b1, a2=b2, ..., an= bn,
f
,...,bn) = a. Но по определению f
¯a,a(b1
имеет место включение
¯a,a
a∈ h{a1,...,an}i = h{b1,...,bn}i и, так как {b1,...,bn}⊆ ϕ(b) а, значит,
h{b1,...,bn}i ⊆ hϕ(b)i = hhCbii = hCbi = ϕ(b), то a∈ ϕ(b). Тем самым
действительно, ϕ (b) является подалгеброй алгебры A для любого
b∈ B.
Покажем, что для различных элементов b1, b2из B подалгебры
ϕ(b1) и ϕ(b2) также различны. Действительно, в противном случае
hC
i=ϕ(b1)=ϕ(b2)=h C
b
1
в силу равенства b1=sup C
го d ∈ C
d ∈ hC
, имеет место неравенство d ≤ b2. Но если d ∈ C
b
1
i = hC
b
1
i и, значит, d ≤ sup C
b
2
i. Покажем, что тогда b1≤ b2. Для этого
b
2
достаточно показать, что для любо-
b
1
b
1
= b2. Аналогично замеча-
b
2
, то
ется справедливость неравенства b2≤ b1, а тем самым и равенство
элементов b1=b2в противоречии с предположением. Итак, действительно, ϕ является разнозначным отображением решетки B
в Sub A.
Покажем, что ϕ является отображением B на Sub A, т.е. то,
что для любой подалгебры L = hC; σi алгебры A существует элемент b ∈ B такой, что ϕ (b) = L. Так как ϕ (b)=hCbi, то требуется
доказать равенство hCbi = C для некоторого элемента b. Поло-
жим b = sup C. Имеем d ≤ b и d ∈ A для любого d ∈ C. Тем
самым, d∈ Cb⊆ hCbi. Т.е. C ⊆ hCbi. Обратно, пусть d ∈ hCbi, т.е.
d ≤ sup Cb= sup{e ∈ A | e ≤ b}. Но тогда, в силу компактности
d найдутся натуральное n и элементы e1, . . . , enиз {e ∈ A|e ≤ b}
такие, что d ≤ sup {e1,...,en}. Так как каждое из eiкомпактно и
ei≤ b = sup C, то найдутся конечные подмножества Ciмножества
C такие, что ei≤ sup Ci. Пусть C0=
n
S
Ci={c1,...,cm}⊆ C. Тогда
i−1
51
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
d ≤ sup C0и, значит, d=f
¯c,d(c1
,...,cm), где ¯c = hc1,...,cmi. Так как
C = hC; σi подалгебра алгебры A, то d∈ C и включение hCbi ⊆ C,
а вместе с тем и требуемое равенство C = hCbi = ϕ(b) доказаны.
Заметим теперь, что ϕ является монотонным отображением
решетки B на решетку Sub A, т.е. для любых b1, b2из B неравенство b1≤ b2влечет включение ϕ (b1)⊆ ϕ (b2) (неравенство ϕ (b1) ≤
ϕ (b2) в решетке Sub A). Действительно, если b1≤ b2, то C
и, значит, ϕ (b1)=hC
i ⊆ hC
b
1
i = ϕ (b2). Так же замечается, что
b
2
b
1
⊆ C
b
монотонным является и ϕ−1.
Утверждение теоремы о том, что ϕ является изоморфизмом
решеток B и Sub A, следует теперь из более общего факта:
(∗∗∗) Любое взаимно однозначное монотонное отображение ψ
решетки B1на решетку B2, для которого отображение ψ−1также
монотонно является изоморфизмом решеток B1и B2.
Доказательство этого последнего утверждения, завершающего
доказательство всей теоремы, предоставляется читателю.
Таким образом, алгебраические решетки с точностью до изоморфизма суть решетки подалгебр универсальных алгебр.
ЗАДАЧИ
1. Докажите утверждение (∗) из данного параграфа.
2
2. Докажите, что в решеточно упорядоченном множестве
hN; ≤i все элементы компактны, а в решеточно упорядоченном
множестве hQ; ≤i нет компактных элементов.
3. Докажите, что любая конечная решетка является алгебраической.
4. Для любой булевой алгебры B пусть hF(B);≤i — решеточно упорядоченное множество всех фильтров (включая несобственные) этой булевой алгебры упорядоченное отношением теоретикомножественного включения. Докажите, что компактные элементы множества hF(B);≤i суть главные фильтры булевой алгебры
B и что решетка, соответствующая множеству hF(B);≤i является
алгебраической.
5. Докажите утверждение (∗∗) из данного параграфа.
6. Пусть B = hB; ∧, ∨i — решетка удовлетворяющая условию:
для любого подмножества C множества B существует sup C. При
52
§4. Гомоморфизмы, конгруэнции и фактор-алгебры
этом будем считать, что sup∅ = 0B. Докажите, что B — полная
решетка.
7. Докажите утверждение (∗∗∗) из данного параграфа.
8. Постройте примеры решеточно упорядоченных множеств A
= hA; ≤i и B = hB; ≤i не изоморфных, но для которых существует
монотонная биекция A на B.
§ 4. Гомоморфизмы, конгруэнции
и фактор-алгебры
В § 1 было введено понятие изоморфизма, т.е. точного копирования универсальных алгебр. Теперь нам понадобится более общее понятие подобия алгебр: сохранение каких-то черт алгебры
без экстремистских требований абсолюта.
Для двух алгебр A = hA; σi и B = hB; σi одной и той же
сигнатуры σ = hf
в множество B назовем гомоморфизмом алгебры A в алгебру B,
если отображение ϕ сохраняет константы и действия сигнатурных
функций, т.е. если:
1) для любого e≤ r, для любых элементов a1,...,a
место равенство ϕ(fe(a1,.., a
2) для любого e≤k ϕ(c
s
0
0
, ..., f
s
r
, c0, ..., cki отображение ϕ множества A
r
из A имеет
s
e
)) = fe(ϕ(a1),...,ϕ( a
s
e
A
e
) = c
B
.
e
));
s
e
53
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
(∗) Легко заметить, что для любых алгебр A, B и любого гомоморфизма ϕ алгебры A в алгебру B ϕ-образ алгебры A является
подалгеброй алгебры B.
Если гомоморфизм ϕ является отображением алгебры A на
алгебру B,то назовем его эпиморфизмом.
Гомоморфизм ϕ алгебры A в алгебру B является изоморфизмом тогда и только тогда, когда ϕ — эпиморфизм и он разнозначен, т.е. для различных элементов а, b из A их ϕ-образы ϕ(а), ϕ(b)
также различны.
Остановимся на примерах гомоморфизмов:
1) A=hZ;+,−,0i, где + и − традиционные сложение и вычитание целых чисел. Пусть n∈N\{0} и An=hZn={0,1,..., n−1};+,−,0i,
где операция + интерпретируется как сложение по модулю n и
для любых m, k ∈ Zn.
m − k =
m − k, если m − k ≥ 0,
n − |m − k|, если m − k < 0.
Отображение ϕ: Z→ Zn, определенное как ϕ(m)= остатку от
деления m на n, является гомоморфизмом алгебры A на алгебру
Bn.
2) A = hP (A); ∪, ∩, ¬, ∅, Ai, B ⊆ A и B = hP (B); ∪, ∩, ¬, ∅, Bi.
Отображение ϕ: P (A) → P (B), определенное как ϕ(C) = C ∩ B
для любого C ∈ P (A), является гомоморфизмом алгебры A на
алгебру B.
Легко заметить, что тождественное отображение алгебры A на
себя является гомоморфизмом и для любых гомоморфизмов ϕ :
A → B, ψ : B → L их суперпозиция ψϕ является гомоморфизмом
алгебры A в алгебру C.
Индукцией по длине терма доказывается следующее утверждение.
(∗∗) Если ϕ — гомоморфизм алгебры A = hA; σi в алгебру B,
то для любого терма t(x1,...,xn) сигнатуры σ, для любых a1,...,a
из A имеет место равенство ϕ(t(a1,..., an))=t(ϕ(a1),...,ϕ(an)).
C каждым гомоморфизмом ϕ алгебры A = hA; σi в алгебру B
свяжем некоторое двухместное отношение kerϕна множестве A
54
n
§4. Гомоморфизмы, конгруэнции и фактор-алгебры
именуемое далее ядром гомоморфизма ϕ и определенное следующим образом:
для любых а, b∈ A kerϕ(a, b) ⇔ ϕ(a)=ϕ(b).
Очевидно, что отношение kerϕявляется отношением эквивалентности на множестве A. Более того, оно обладает важным до-
s
полнительным свойством: для любой f
e
, d1, ..., d
s
i
отношение kerϕ(fi(e1,..., e
∈ A отношения kerϕ(e1, d1), ..., kerϕ(e
s
i
), fi(d1, ..., d
s
i
i
∈ σ, для любых e1, ...,
i
, d
) влекут
s
s
i
i
)). Действительно,
s
i
ϕ(fi(e1, ..., e
и, значит, kerϕ(fi(e1,..., e
)) = fi(ϕ(e1), ..., ϕ(e
s
i
ϕ(fi(d1, ..., d
), fi(d1,..., d
s
i
)) = fi(ϕ(d1), ..., ϕ(d
s
i
))
s
i
)).
s
i
s
i
)) =
Отношение эквивалентности θ на основном множестве A алгебры A = hA, σi назовем конгруэнцией алгебры A, если оно обла-
s
дает свойством: для любой f
A отношения θ(e1,d1),...,θ(e
fi(d1,..., d
)).
s
i
i
∈ σ, для любых е1,...,e
i
,d
) влекут отношение θ(fi(e1,..., e
s
s
i
i
, d1,...,d
s
i
s
i
s
i
Таким образом ядро любого гомоморфизма алгебры A является конгруэнцией этой алгебры.
Верно и обратное: любая конгруэнция θ алгебры A является ядром некоторого гомоморфизма этой алгебры (естественного
гомоморфизма конгруэнции θ). Пусть θ — конгруэнция алгебры
s
A = hA; f
0
0
ры A по конгруэнции θ − алгебру
было определено фактор-множество
лентности θ. Константы c
, ..., f
s
r
, c0, ..., cki. Определим фактор-алгебру алгеб-
r
.
A
θ
алгебры
i
.
A
следующим образом. В § 1
θ
.
A
по отношению эквива-
θ
.
A
определим с помощью
θ
равенств
.
A
θ
= [c
A
]θ,
i
c
i
.
а действия функций fi∈ σ на множестве
A
— с помощью ра-
θ
венств
∈
),
fi([a1]θ,...,[ a
]θ)=[f(a1,..., a
s
i
55
s
)]θ.
i
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
Заметьте, что в силу того, что θ является конгруэнцией алгебры A, определение действий функций fi∈σ на множествеA/
корректно, т.е. не зависит от выбора конкретных элементов aiиз
классов эквивалентности [ai]
Теперь нетрудно проверить, что
(∗∗∗) отображение ϕθалгебры A на алгебру
θ.
.
A
, определенное
θ
как ϕθ() = [a]θ, будет гомоморфизмом алгебры A, ядро которого
совпадает с конгруэнцией θ.
Назовем подобное отображение ϕθестественным гомоморфизмом алгебры A по конгруэнции θ. Непосредственно за-
мечается, что:
(∗∗∗∗) а) гомоморфизм ϕ алгебры A в B является изоморфным
вложением алгебры A в алгебру B тогда и только тогда, когда
kerϕ=∆A;
б) для любого гомоморфизма ϕ алгебры A в алгебру B гомоморфный образ ϕ(A) алгебры B (подалгебра алгебры B, состоящая из ϕ-образов элементов алгебры A) изоморфна фактор-
алгебре
A
.
ker
.
ϕ
Таким образом, гомоморфные образы универсальных алгебр
исчерпываются с точностью до изоморфизма их фактор-алгебрами.
Заметим, что для любой алгебры A алгебра
A, а алгебра
A
.
− единственная, с точностью до изоморфизма,
∇
A
A
.
∆
A
изоморфна
одноэлементная алгебра сигнатуры σ.
Совокупность всех конгруэнций алгебры A обозначим как
Con A. Так как каждая конгруэнция алгебры A = hA; σi явля-
ется, в частности, отношением эквивалентности на множестве A,
то Con A ⊆ Eq(A). Таким образом, отношение частичного порядка ≤ (являющееся отношением теоретико-множественного включения на эквивалентностях множества A, рассматриваемых как
подмножества множества A × A) будет отношением частичного
порядка и на совокупности Con A.
Непосредственно проверяется, что
(∗∗∗∗∗) для любых двух конгруэнций θ1,θ2на алгебре A отношение θ1∧θ2, определенное на A как
θ
для b, c ∈ A θ1∧ θ2(b, c) ⇔ θ1(b, c) и θ2(b, c),
56
§4. Гомоморфизмы, конгруэнции и фактор-алгебры
является конгруэнцией на алгебре A. Более того, θ1∧θ2=inf(θ1,θ2)
в частично упорядоченном множестве hCon A; ≤i.
Точно так же замечается, что для любой совокупности = =
{θi| i ∈ I} конгруэнций на алгебре A, отношение ∩=, определенное как
для a, b ∈ A ∩ =(a, b) ⇔ для любого i ∈ Iθi(a, b),
также является конгруэнцией на A и ∩== inf = в частично упорядоченном множестве hCon A; ≤i.
В силу этого если для любых θ1, θ2∈ Con A отношение θ1∨θ
определим как
θ1∨ θ2= ∩=,
где = = {θ ∈ Con A | θ1≤ θ и θ2≤ θ}, то (так же как и в § 1 для
эквивалентностей на множестве A) нетрудно заметить что
θ1∨θ2= sup (θ1,θ2)
в частично упорядоченном множестве конгруэнций на алгебре A.
Тем самым hCon A; ∧,∨i является решеткой — решеткой кон-
груэнций алгебры A, обозначаемой далее как ConA.
Заметим, что операции ∨, ∧ в решетках Con A и hEq(A); ∧,∨i
совпадают на конгруэнциях алгебры A, являющихся одновременно эквивалентностями на A (см., задачу 8 этого параграфа).
Как замечено выше, ∩= является наибольшей нижней гранью
совокупности = в частично упорядоченном множестве hCon A;≤i
для любой совокупности = конгруэнций алгебры A. Тем самым
(∗∗∗∗∗∗) решетка Con A конгруэнций любой алгебры A явля-
ется полной.
Более того, она является алгебраической. Но для доказательства этого нам понадобится понятие конгруэнции порожденной
некоторой совокупностью пар элементов алгебры.
Пусть C — некоторая совокупность пар (неупорядоченных,
т.е. двухэлементных подмножеств) элементов основного множества алгебры A. Пусть = = {θ ∈ Con A| для любых {a, b} ∈ C
имеет место θ(a,b)}. Очевидно, что конгруэнция ∩= является наименьшей конгруэнцией алгебры A в решетке Con A, относительно
которой любая пара элементов входящая в C эквивалентна. Назовем эту конгруэнцию конгруэнцией, порожденной совокупностью
2
57
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
C, и обозначим ее как θC. Конгруэнцию алгебры A порожденную
некоторой конечной совокупностью C будем называть конечно
порожденной конгруэнцией алгебры A. Для C = {{a, b}} кон-
груэнцию θCназовем главной конгруэнцией алгебры A и будем
обозначать как θ
. Таким образом, θ
a,b
— наименьшая конгруэн-
a,b
ция алгебры A, относительно которой элементы а и b эквивалентны.
Имеет место следующее конструктивное описание конгруэнций вида θC.
ЛЕММА МАЛЬЦЕВА. Для любой алгебры A = hA; σi, лю-
бой совокупности C пар элементов множества A и произвольных элементов a, b из A следующие условия эквивалентны:
1) θC(a,b);
2) для некоторого натурального n и некоторых термов
p1(x, ¯y1), ..., pn(x, ¯yn) сигнатуры σ существуют кортежи элемен-
тов ¯e1, ..., ¯enмножества А и пары {c1, d1}, ..., {cn, dn} из C такие, что = p1(c1, ¯e1), b = pn(dn, ¯en) и для 1 ≤ i < n pi(di, ¯ei) =
p
i+1(ci+1
, ¯e
i+1
).
Доказательство. Пусть для некоторых термов p1(x, ¯y1),...,
pn(x, ¯yn), элементов ¯e1,..., ¯enиз A и пар {c1,d1},...,{cn,dn} из C выполнено условие 2). Тогда так как для любого 1≤i≤n имеет место
θC(ci,di), то θC(pi(ci, ¯ei), pi(di, ¯ei)) истинно для 1≤i<n. С другой
стороны, равенства pi(di, ¯ei) = p
шения θC(pi(di, ¯ei), p
i+1(ci+1
, ¯e
i+1
i+1(ci+1
)). Все это в силу транзитивности
, ¯e
) также влекут отно-
i+1
отношения θCи равенств а=p1(c1, ¯e1), b=pn(dn,¯en) и влечет истинность отношения θC(a,b). Итак, из условия 2) следует истинность
условия 1).
С другой стороны, пусть θ∗= {hu, vi ∈ A × A | существует
натуральное n, термы p1(x, ¯y1),...,pn(x, ¯yn) сигнатуры σ, кортежи элементов ¯e1,...,¯enмножества A и пары {c1,d1},...,{cn,dn} из C
такие, что u = p1(c,¯e1), pi(di, ¯ei) = p
i+1(ci+1
, ¯e
) для 1≤i<n и
i+1
v=pn(dn, ¯en)}. Без труда проверяется, что
(∗∗∗∗∗∗∗) отношение θ∗является конгруэнцией на алгебре A,
для любой пары {c, d} из C имеет место θ∗(c, d).
Тем самым истинность отношения θc(a, b) влечет отношение
θ∗(a, b), т.е из условия 1) вытекает условие 2). Лемма доказана.
Вернемся к рассмотрению решеток Con A для произвольных
алгебр A. В силу определения конгруэнции θ
имеет место утвер-
a, b
58
§4. Гомоморфизмы, конгруэнции и фактор-алгебры
ждение: для любых элементов a, b из A и любой конгруэнции θ
на A отношение θ(a,b) влечет неравенство θ
a, b
≤ θ.
В следствие этого для любой конгруэнции θ алгебры A имеет
место равенство θ =sup{θ
|θ (a,b)}.
a, b
Докажем, что компактными элементами решетки ConA являются конечно порожденные конгруэнции алгебры A и только они.
Действительно, если θ = θ
a1,b
∨ ... ∨ θ
1
и для некоторой со-
an,b
n
вокупности конгруэнций =={θi| i∈I} имеет место неравенство θ
ai,b
an,b
S
. По лемме
θ
i
i∈I
≤ θ
i
≤(
n
. Тем са-
C
i
W
θj)∨...
j∈I
i
1
≤ sup =, то для любого i≤n θ
Мальцева для каждого i ≤ n найдется конечное подмножество C
пар элементов из множества
мым, найдется конечное подмножество Iiмножества I такое, что
θ
≤ θ
ai,b
∨(
j∈I
C
i
W
θj) = sup {θj| ϕ ∈I1∪...∪In} и компактность конечно по-
i
n
W
≤
i
θj. Но тогда, θ = θ
j∈I
i
≤ θ ≤ sup = = θ
ai,b
i
S
θiтакое, что θ
i∈I
∨ ... ∨ θ
a1,b
1
рожденной конгруэнции θ доказана.
С другой стороны, если θ компактна, то равенство
i
θ = sup{θ
| θ(a, b)}
a,b
влечет равенство
θ = θ
a1,b
∨ ... ∨ θ
1
an,b
n
для некоторой конечной совокупности пар элементов {a1, b1}, . . . ,
{an, bn} из θ, т.е. конечную порожденность конгруэнции θ. Итак,
действительно, компактные элементы решетки Con A суть конечно порожденные конгруэнции алгебры A.
Таким образом, отмеченная выше полнота решетки Con A и
равенство θ = sup { θ
|θ(a,b)} доказывают алгебраичность ре-
a, b
шетки Con A для любой алгебры A.
Без доказательства сформулируем обратный результат.
ТЕОРЕМА ГРЕТЦЕРА — ШМИДТА. Для любой алгеб-
раической решетки C существует универсальная алгебра A такая, что C
∼
=
ConA.
Здесь, как и в теореме Биркгофа—Фринка, не предполагается
конечность сигнатуры алгебры A. Полное доказательство этого
результата можно найти в [34].
59
Глава 1. Основные понятия универсальной алгебры
Алгебру A назовем простой, если A неодноэлементна и Con A
= {∆A,∇A}, т.е. любая конгруэнция алгебры A, отличная от нулевой (от равенства), является единичной (тотальной) на A. Очевидно, что простота алгебры A эквивалентна равенству θ
= ∇Aдля
a,b
любых различных элементов a,b алгебры A. В силу замеченного
выше о том, что гомоморфные образы алгебры A исчерпываются
с точностью до изоморфизма ее фактор-алгебрами, из простоты
алгебры A следует, что ее гомоморфные образы суть с точностью
до изоморфизма — сама алгебра A и одноэлементная алгебра соответствующей сигнатуры. Обратное утверждение, вообще говоря,
неверно.
Докажем теперь несколько утверждений, играющих важную
роль в работе с конгруэнциями и гомоморфизмами. Прежде всего
отметим, что:
(∗∗∗∗∗∗∗∗) а) если ϕ — некоторый гомоморфизм алгебры A в
алгебру B, то для любой подалгебры C алгебры A ее ϕ-образ ϕ(C)
образует подалгебру алгебры B;
б) если ϕ — некоторый гомоморфизм алгебры A в алгебру B,
C − подалгебрa алгебры B такая, что L ⊆ ϕ(A), то ϕ−1(L) −
подалгебра алгебры A.
Для любой конгруэнции θ на алгебре A и любой подалгебры B этой алгебры через B[θ] обозначим
B[θ] = ϕ−1(ϕ(B)), где ϕ — естественный гомоморфизм алгебры A
на фактор-алгебру
B[θ]
.
. В силу отмеченного выше B[θ] являет-
θ
S
[b]θ. Очевидно, что
b∈B
ся подалгеброй алгебры A. В этой же ситуации через θ|Bобозначим ограничение отношения θ на подалгебру B, т.е. такое отношение на элементах алгебры B, что для a,b∈ B θ|B(a,b) истинно
тогда и только тогда, когда истинно θ(a,b). Непосредственно проверяется, что θ|Bявляется конгруэнцией алгебры B.
ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ. Пусть A
— произвольная алгебра, B —подалгебра алгебры A и θ — кон-
груэнция алгебры A, тогда имеет место изоморфизм
.
B
θ|
,
B
Доказательство. Определим отображение ϕ : B →
B[θ]
B[θ]
.
∼
=
θ
.
следующим образом: ϕ(b) = [b]θдля любого b ∈ B .
По определению алгебры B[θ] отображение ϕ является отоб-
θ
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]