Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории управления и автоматики судовых энергетических установок. Методическое пособие
.pdf
Методы исследования линейных систем автоматического регулирования
Задачи анализа САР:
1. Система должна быть устойчива;
Для этого необходимо составить уравнение объекта.
2. Система должна быть быстродействующей.
Для этого необходимо составить уравнение регулятора.
Полученную систему уравнений необходимо дополнить уравнением ос-
новной обратной связи и получить, таким образом, систему дифференциальных
уравнений замкнутой САР. Устойчивость системы может быть установлена на
основании анализа корней характеристического уравнения.
Рассмотрим дифференциальное уравнение системы:
a0dny/dtn+a1d
n-1
/dt
+…+andt/dy=b0dmx/dtm+b1d
m-1
x/dt
m-1
+…+bmx
n-1
Решение этого уравнения включает общее решение yn(t) однородного
уравнения и частные решения yb(t) неоднородного уравнения:
y= yn(t)+yb(t),
где yn(t)=с1e
λ1t
+ c2e
λ2τ
+ …+cne
λnt
λ1,…,λn – корни характеристического уравнения:
a0λn+a1λ
n-1
+…+a
λ+an=0,
n-1
с1,…,с2 – постоянные, зависящие от начальных условий.
Если x=const и t yb
m/an
x=y
.
b
САР называется устойчивой, если регулируемая величина после отклоне-
ния, возникшего в резульате внешнего воздействия, по истечении некоторого
промежутка времени возвращается к заданному значению.
Согласно определению, система будет устойчивой, когда выполняется ус-
ловие при x=const и t yb
m/an
x
(*)
.
Последнее может быть выполнено, если при t yn(t)0.
22
Из курса высшей математики известно, что, если λ1,…,λn вещественные
отрицательные или комплексные сопряженные с отрицательной вещественной
частью, то условие (*) выполняется и процесс регулирования устойчивый.
у
5
1 3
0 t
2
4
Рис3. Характер процессов регулирования в случае, если корни характеристического
уравнения:
1 – вещественные отрицательные;
2 – комплексные, сопряженные с отрицательной вещественной частью;
3 – мнимые;
4 – с положительной вещественной частью;
5 – вещественные положительные
Если корни чисто мнимые сопряженные, то этой паре λ1=jβ и λ2=-jβ будут
соответствовать слагаемые решения:
y1=c(cosβt+jsinβt).
y2=c(cosβt-jsinβt).
В этом случае система находится на границе устойчивости, т.к. благодаря
наличию пары чисто мнимых корней величина будет изменятся по синусоиде
(3). При наличии положительных вещественных корней или корней с положительной вещественной частью процесс будет расходящимся (кривая 4) y
, а
n
система – неустойчивой.
Следовательно. Если известно расположение корней характеристического
уравнения, то можно ответить на вопрос: устойчива или неустойчива система.
Определение корней характеристического уравнения линейной системы
представляет собой более сложную задачу, если степень характеристического
23
уравнения выше трех. В теории автоматического регулирования рассматривают
методы, которые позволяют судить об устойчивости лишь по значению коэффициентов характеристического уравнения, без определения его корней.
Критерии устойчивости могут быть необходимыми и достаточными.
Критерий устойчивости Гурвица
.
Для системы n-го порядка, описываемой характеристическим уравнением,
определитель Гурвица имеет вид:
a0λ
n-1
+a1λ
n-1
+…+an=0,
Необходимое и достаточное условие устойчивости для системы 3-го порядка имеет вид:
a1a
a
2
0a3
.
Использование алгебраических критериев для систем с порядком уравне-
ний выше 4-го затруднительно и для этих систем находят применение графоаналитические методы.
Рассмотрим пример решения характеристического уравнения методом
Гурвица:
a0p3+a1p2+a2p+a3=0
Составляем определитель:
a
a
0 a
0 a
1 a3
0 = a1 - a
0 a2
1 a3 a1 a3
a1a2 – a0a
2
0 – необходимое и достаточное условие устойчивости.
3
0 a
3
0
0
= a1a2a3 – a0a
0 a
3
24
2
= a1a2 – a0a3
3
Критерий устойчивости Михайлова
В характеристическом уравнении:
a0λn+a1λ
n-1
+…+a
λ+an=0 (1)
n-1
λ является в общем комплексной величиной λ=αjβ и может быть пред-
ставлена на комплексной плоскости λ.
Любое значение λ, являющееся корнем уравнения (1) и расположенное на
мнимой оси (λ=jω) или справа от нее, определяет неустойчивость системы.
Граница устойчивости и неустойчивости – мнимая ось. Если двигаться вверх по
этой оси от ω=- до ω=+, то область неустойчивости находится от нее справа
(заштрихована).
Рассмотрим теперь левую часть характеристического уравнении (1), в которой сделаем подстановку λ=α+jω, где α и ω произвольны. В результате получим:
n-1
+…+a
n.
М(λ)=a0λn+a1λ
Тогда М(λ) может быть представлена на комплексной плоскости в виде
комплексных чисел, соответствующих различным значениям λ и ω. Плоскость
М(λ) является конформным отображением плоскости корней: любым точкам
плоскости λ соответствуют точки плоскости М(λ) и наоборот.. Если же принять,
что λ=jω и задавать значения ω от - до + то на плоскости М(λ) получим кривую (называемую кривой Михайлова):
М(jω)= a0(jω)n+a1(jω)
n-1
+…+an,
Которая отображает мнимую ось плоскости λ, причем область зачений
М(λ), соответствующих неустойчивым решениям дифференциального уравнения также должна быть справа (заштрихована).
Корни характеристического уравнеия отображаются точками плоскости λ
и соответствуют началу координат плоскости М(λ). Если начало координат оказывается в заштрихованной области, то вещественная часть по крайней мере
одного из корней положительна, а система регулирования – неустойчива. Если
начало координат попадает на кривую М(jω), то это означает, что корни характеристического уравнения находятся на мнимой оси j и ω, а система – на границе устойчивости. Следовательно,
25
формулируется как условие, при выполнении которого начало коорди-
нат на плоскости М(jω) должно находится в незаштрихованной области.
ω=+
jω
λ ω+
ω
ω=-
ω
ω+
ω=0
1+W(jω)
Рис4. Ось jω в комплексной плоскости λ и соответствующий годограф в плоскости М и
плоскости W: а) – плоскость корней характеристического уравнения. Значения λ с положи-
тельной вещественной частью расположены в заштрихованной области; б) – плоскость М.
В приведенном примере начало координат лежит в незаштрихованной области, поэтому система устойчива.
Сказанное относится к уравнениям как разомкнутых, так и замкнутых систем.
Передаточные и переходные функции САР
называется отношение изображения вы-
ходной величины к изображению входной величины звена при нулевых начальных условиях.
х
1 х2
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ
26
Пусть: Asinωt = x, тогда:
T(dy/dt)+y=kx
y=Bsin(ωt+φ)
B=Ak/(T2ω2+1)
1/2
Решение может быть получено виде комплексных чисел:
d/dt=p
Tpy+y=kx
(Tp+1)y=kx
W(p)= y(p)/ х(p), (2)
Где: W(p) – передаточная функция;
y(p), х(p) – изображения входной и выходной величин;
р – оператор Лапласа.
Если в уравнение (2) вместо р подставить мнимую величину jω, где ω –
произвольно изменяемая величина, называемая частотой, то получим величину
W(jω), называемую
W(jω)=k/(Tjω+1)
Амплитуда колебаний:
W(jω) = k/ (Tjω+1)
Сдвиг по фазе:
arg W(jω) = arctg(-Tω)
это отношение амплитуды колебаний выходной величины к амплитуде входной, а аргумент – сдвигу фаз
между входной и выходной величинами, при условии, что выходная и входная
величины изменяются по гармоническому закону.
Если входная величина звена изменяется ступенчато (в момент t=0 х1 изменяется на единицу и в дальнейшем остается постоянной), то изменение выходной величины звена х2(t) называется его
27
Динамические звенья подразделяются на:
1. физические;
2. гидравлические;
3. механические;
4. электрические;
5. инерционные.
Инерционное звено: Tpy+y=kx.
Уравнение колебательного звена.
T2(d2y/dt2)+2εT(dy/dt)+y=kx
T2p2y+2εTpy+y=kx
ε
Передаточная функция колебательного звена:
W(p)=k/(T2p2+2εpT+1)
Критерий устойчивости Найквиста
Пусть передаточная функция разомкнутой системы W(p)=N(p)/M(p), а ее
характеристическое уравнение M(λ)=0. Замкнем систему отрицательной (единичной) обратной связью. Передаточная функция замкнутой системы.
Ф(р)=N(p)M(p)/M(p)(1+N(p))=N(p)/(N(p)+M(p)).
Построим теперь на плоскости амплитудно-фазной характеристики (АФХ)
частотную характеристику разомкнутой САР W(jω) и проведем из точки х (-1,j0)
вектор, опущенный своим концом на АФХ.
Величина этого вектора равна:
1+ W(jω)=1+N(jω)/M(jω)=(M(jω)+N(jω))/M(jω) (3)
В числителе выражения (3) мы имеем левую часть характеристического
уравнения САР, замкнутой единичной отрицательной обратной связью, в котором произведена замена λ=jω, а в знаменателе – тоже для разомкнутой САР.
Разомкнутая САР по условию устойчива, поэтому М(jω) и выражение
(3) не может иметь значений, равных бесконечности (полюсов).
Следовательно, условие устойчивости замкнутой САР, равносильно тому,
чтобы величина М(jω)+N(jω)0 (или 1+W(jω)0), т.е. начало ординат плоско-
сти W(jω) находилось в незаштрихованной области.
Плоскость функции 1+W(jω) может быть получена переносом начала координат на плоскости W(jω) влево на единицу. Тогда граничная кривая устойчивой и неустойчивой областей АФХ W(jω).
Строить эту кривую, в силу ее симметрии относительно вещественной оси
достаточно только от значений jω=0 до jω=+.
28
Если точка (-1,j0) на плоскости W(jω) попала в незаштрихованную область, то замкнутая САР устойчива.
-1,j0).
Рассмотрим звено первого порядка:
T(dx1/dτ)+1=kx2
d/dτ=p
Tpx1+1=kx
2
W(p)=x2/x1=k/(Tp+1)
P(jω)=
= -
Мнимая часть:
Jm= -
Реальная часть:
Re= J
m
R
(-1,j0)
2
e
1
1 – устойчивая система;
2 – неустойчивая система.
1. Увеличение коэффициента усиления отрицательной обратной связи;
2. «Чистое запаздывание», в результате которого система может стать неуй-
стойчивой. Для устранения необходимо уменьшить зазоры и люфт.
29
Методы исследования качества систем автоматического регулирования
1. Запас устойчивости по модулю.
L1=20lg(1/u1), [дБ]
Если u
=0L
1
=0
1
L1 должен быть от 6 до 20 дБ.
L2=20lgu2, [дБ]
2. Запас по фазе.
Μ=180+ψ
Μ должен быть 30-60°.
Качество регулирования – точность регулирования в установившихся и
переходных режимах.
К непосредственным показателям качества в установившемся режиме относится величина статического отклонения системы, в переходном режиме –
максимальное отклонение и величина перерегулирования и длительноть регулирования.
y
∆y
Λ
∆y – отклонение (2-3%)
Отклонение зависит от системы регулирования (еѐ классификации: 1,2,3 –
го класса).
Пусть известно: Wоб(Р), Wр(Р).
30
Необходимо найти: Ф(Р) – передаточную функцию.
λ
Wоб(Р)
z
Wр(Р)
Wоб(Р) – передаточная функция объекта;
Wр(Р) – передаточная функция регулятора;
Z – отрицательная обратная связь.
Ф(Р)=y(p)/λ(p)
Wоб(Р)=y/(λ-z)
Wр(Р)=z/y
Ф(Р) = y/λ=y(λ-z)/λ/(λ-z)= Wоб(Р)/( λ/(λ-z))= Wоб(Р)/((λ-z+z)/(λ-z))=
Wоб(Р)/(1+(zy/y(λ-z))= Wоб(Р)/(1+ Wр(Р)*Wоб(Р)).
Наглядное представление о качестве переходных процессов и устойчивости линейной системы 3-го порядка дает диаграмма ,
построенная в координатах А и В, где А и В - постоянные нормированного
уравнения 3-гопорядка вида :
α1(d3y/dt3)+α1(d2y/dt2)+α2(dy/dt)+α3y=0,
A=α1/(
); B=α2/(
).
Рис5. Диаграмма Вышнеградского; I, II, III – области устойчивости САР; IV – область
неустойчивости САР.
31
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]