Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы научных исследований в электроэнергетике. Учебное пособие
.pdf
трёх факторов, то число опытов ПФЭ составит
125
53
. Сократить число
опытов позволяет использование центральных композиционных планов
(ЦКП), которые состоят из трёх блоков:
- точки ПФЭ
n 21 ;
k
- звёздные точки kn 2
2
- центральные точки
Общее число опытов согласно ЦКП равно
n .
0
;
nnnn
.
210
ЦКП предусматривают варьирование факторов на пяти уровнях:
; –1; 0; +1;
, где – величина звёздного плеча.
ЦКП бывают двух видов: ортогональные и ротатабельные.
При ортогональном планировании критерием оптимальности плана
является ортогональность – сумма почленных произведений любых двух
столбцов матрицы равна нулю. Параметры ортогонального ЦКП приведены в таблице 3.2. Матрица ортогонального ЦКП для трёх факторов приведена в таблице 3.3.
Таблица 3.2 – Параметры ортогонального ЦКП
Число
n 21
k
kn 2
2
n
0
n
факторов k
2 1,0 4 4 1 9
3 1,215 8 6 1 15
4 1,414 16 8 1 25
Таблица 3.3 – Матрица ортогонального ЦКП для трёх факторов
№ опыта
x
0
x
1
x
2
x
3
1 +1 –1 –1 –1
2 +1 +1 –1 –1
3 +1 –1 +1 –1
4 +1 +1 +1 –1
5 +1 –1 –1 +1
6 +1 +1 –1 +1
7 +1 –1 +1 +1
8 +1 +1 +1 +1
9 +1 –1,215 0 0
10 +1 +1,215 0 0
11 +1 0 –1,215 0
12 +1 0 +1,215 0
13 +1 0 0 –1,215
14 +1 0 0 +1,215
15 +1 0 0 0
81
Точность получаемой регрессионной зависимости на основе ортого-
ki...,,2,1
нального ЦКП не одинакова по различным направлениям от основного
уровня. Одинаковую точность предсказания функции отклика обеспечивает использование ротатабельного ЦКП. Ротатабельные ЦКП позволяют
минимизировать систематические ошибки, связанные с неадекватностью
представления результатов эксперимента полиномом второго порядка. Для
ротатабельного ЦКП должны выполняться условия:
n
j
x
ij
4
2
k
2
n
;
01
j
3
x
ij
1
n
;
0
j
2
nx
ij
1
n
;
2
j
4
ij
1
;
3nx
4
k
. (3.8)
2
. (3.7)
Параметры ротатабельного ЦКП приведены в таблице 3.4. Матрица
ротатабельного ЦКП для трёх факторов представлена в таблице 3.5.
Таблица 3.4 – Параметры ротатабельного ЦКП
Число
n 21
k
kn 2
2
n
0
n
факторов k
2 1,414 4 4 5 13
3 1,682 8 6 6 20
4 2,0 16 8 7 31
Таблица 3.5 – Матрица ротатабельного ЦКП для трёх факторов
№ опыта j
x
0
x
1
x
2
x
3
1 +1 –1 –1 –1
2 +1 +1 –1 –1
3 +1 –1 +1 –1
4 +1 +1 +1 –1
5 +1 –1 –1 +1
6 +1 +1 –1 +1
7 +1 –1 +1 +1
8 +1 +1 +1 +1
9 +1 –1,682 0 0
10 +1 +1,682 0 0
11 +1 0 –1,682 0
12 +1 0 +1,682 0
13 +1 0 0 –1,682
14 +1 0 0 +1,682
15 +1 0 0 0
16 +1 0 0 0
17 +1 0 0 0
18 +1 0 0 0
19 +1 0 0 0
20 +1 0 0 0
82
3.2.4. Некомпозиционные планы
Среди некомпозиционных планов распространены D-оптимальные
планы, основанные на теории совместных эффективных оценок, развитой
американским математиком Кифером. D-оптимальные планы предусматривают варьирование факторов только на трёх уровнях: –1; 0; +1. К Dоптимальным планам относятся: план Кифера для пяти факторов, предусматривающий 52 опыта; план Бокса для пяти факторов, предусматривающий 42 опыта; план Бокса для четырёх факторов (таблица 3.6); план
Хартли-Коно для четырёх факторов (таблица 3.7); трёхуровневые планы
Бокса-Бенкена.
Таблица 3.6 – План Бокса для четырёх факторов
№ опыта
x
1
x
2
x
3
x
4
1 +1 +1 +1 +1
2 +1 +1 +1 –1
3 +1 +1 –1 +1
4 +1 +1 –1 –1
5 +1 –1 +1 +1
6 +1 –1 +1 –1
7 +1 –1 –1 +1
8 +1 –1 –1 –1
9 –1 +1 +1 +1
10 –1 +1 +1 –1
11 –1 +1 –1 +1
12 –1 +1 –1 –1
13 –1 –1 +1 +1
14 –1 –1 +1 +1
15 –1 –1 –1 +1
16 –1 –1 –1 –1
17 +1 0 0 0
18 –1 0 0 0
19 0 0 0 0
20 0 0 0 0
21 0 +1 +1 0
22 0 –1 –1 0
23 0 0 0 +1
24 0 0 0 –1
Таблица 3.7 – План Хартли-Коно для четырёх факторов
№ опыта
x
1
x
2
x
3
x
4
1 +1 –1 –1 –1
2 –1 +1 –1 –1
83
Окончание таблицы 3.7
№ опыта
x
1
x
2
x
3
3 –1 –1 +1 –1
4 +1 +1 +1 –1
5 +1 –1 –1 +1
6 –1 +1 –1 +1
7 –1 –1 +1 +1
8 +1 +1 +1 +1
9 0 0 0 0
10 0 +1 –1 +1
11 –1 0 –1 –1
12 +1 0 +1 +1
13 –1 +1 –1 0
14 –1 0 +1 +1
15 0 +1 +1 –1
16 +1 –1 +1 0
17 +1 –1 0 +1
18 0 –1 +1 –1
x
4
3.3. Физическое моделирование объекта исследования
3.3.1. Принципы физического моделирования
Физическое моделирование – процесс разработки физической модели объекта исследования. Физические модели используют для проведения
экспериментов вместо объектов исследований, это позволяет снизить затраты на выполнение эмпирических исследований, а также изучить явления и процессы, которые в естественном виде исследовать нельзя. Для получения надёжных результатов, которые достоверно описывают реальные
явления и процессы, физические модели должны быть подобны объектам
исследований.
Все физические явления и процессы подразделяются на разнородные, аналогичные, качественно-одинаковые, явления одной группы, подобные и тождественные. Разнородными считаются явления разной физической природы, описываемые разными по форме дифференциальными
уравнениями. Аналогичными считаются явления разной физической природы, описываемые одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями, например, явления теплопроводности и электропроводимости. Качественно-одинаковыми считаются явления одной физической природы,
описываемые одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями и
различающиеся только условиями однозначности. Такие явления называются явлениями одного класса.
84
Классифицируя процессы по их частным особенностям, внутри каждого класса принято выделять группы явлений, совокупность качественно
одинаковых физических процессов, описываемых одинаковыми по форме
дифференциальными уравнениями и одинаковыми по форме и содержанию условиями однозначности. Различие между процессами одной группы
заключается только в том, что размерные величины, входящие в условия
однозначности (факторы), могут иметь различные численные значения. В
пределах каждой группы могут быть выделены подобные явления. Подобными называются такие явления одной группы, у которых одноимённые
определяющие безразмерные критерии подобия имеют одинаковую величину. Тождественные процессы являются предельным частным случаем
подобия, при котором одновременно с равенством безразмерных критериев подобия выполняется дополнительное условие о равенстве значений
всех размерных переменных, входящих в эти критерии.
Приведенная классификация позволяет строго сформулировать следующее основное условие подобия физических процессов: подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, относиться к одной группе
явлений и иметь одинаковые численные значения одноимённых определяющих безразмерных критериев.
Простейшим примером подобия является подобие геометрических
фигур и тел. Условие геометрического подобия – пропорциональность
всех сходственных линейных размеров фигур и тел, то есть постоянство
отношений всех размеров модели к соответствующим размерам натуры.
Геометрическое подобие является одной из форм подобия физических
процессов, оно рассматривается как первое необходимое условие моделирования реальных явлений и процессов. Геометрическое подобие модели и
натуры должно соблюдаться при любых эмпирических исследованиях, к
какому бы классу явлений они ни относились. Кроме геометрического подобия, при моделировании технических систем дополнительно должны
выполняться условия подобия, определяемые спецификой конкретных физических процессов, происходящих в таких системах. По физической сути
выделяют: кинематическое, динамическое, тепловое подобие и подобие
нестационарных процессов.
Условие кинематического подобия означает, что в сходственных
точках геометрически подобных систем все скорости движущейся среды
параллельны и пропорциональны. Из формулировки условия кинематического подобия следует, что для его выполнения, прежде всего, необходимо
соблюдать геометрическое подобие.
Динамическое подобие заключается в том, что в сходственных точках геометрически подобных систем силы, действующие на среду, параллельны и пропорциональны. Необходимым условием динамического подобия является предварительное соблюдение условий геометрического и кинематического подобий.
85
Тепловое подобие заключается в том, что в сходственных парах то-
Rt
Gt
чек геометрически подобных объектов разности температур пропорциональны. Если не пренебрегать подъёмной силой, возникающей в потоке
движущейся жидкости в результате разности температур, необходимыми
условиями соблюдения теплового подобия при моделировании процессов
конвективного теплообмена следует считать геометрическое, кинематическое и динамическое подобия модели и объекта исследования. Известно,
что в процессах теплообмена, происходящих в условиях вынужденной
конвекции, влияние подъёмной силы очень мало, а поэтому для соблюдения условий теплового подобия при моделировании таких процессов достаточно ограничиваться условиями геометрического и кинематического
подобий.
Нестационарными называются процессы, параметры которых изменяются во времени по определённым законам. В математических моделях
таких процессов всегда присутствует дополнительная переменная – время
t, поэтому при физическом моделировании нестационарных процессов помимо перечисленных выше условий геометрического, кинематического и
динамического подобий должна соблюдаться ещё и пропорциональность
соответствующих промежутков времени.
Критерии подобия электрических цепей:
L
C
;
,
где L – индуктивность, Гн;
R – активное сопротивление, Ом;
t – время, с;
C – ёмксоть, Ф;
G – проводимость, Ом–1.
Для соблюдения условий полного подобия явлений необходимо также, чтобы все физические характеристики участвующих в процессе веществ и материалов в сходственных точках были пропорциональны.
Таким образом, согласно теории подобия любой сложный процесс,
воспроизведённый на подобной модели, можно рассматривать как совокупность подобных элементарных процессов, каждый из которых происходит в своём масштабе, характеризующемся численным значением соответствующей константы подобия. Между константами подобия существуют строгие функциональные зависимости, которые легко найти из условия
постоянства одноимённых определяющих критериев.
3.3.2. Теоремы теории подобия
Теорема Ньютона определяет необходимые условия подобия и формулируется следующим образом: у подобных явлений в любых парах
сходственных точек все одноимённые критерии подобия численно одинаковы. Следует заметить, что при переходе от одной пары сходственных
86
точек к другой безразмерные критерии вполне могут изменять свои численные значения, однако, в силу подобия процессов отношение одноимённых критериев в любых сходственных точках все равно должно остаться
равным единице.
Теорема Федермана: решение любой системы дифференциальных
уравнений всегда может быть представлено в виде некоторой функциональной зависимости между рядом безразмерных критериев. Эта зависимость будет единой для целой группы подобных явлений. Даже в тех случаях, когда аналитическое получение какой-либо конкретной критериальной зависимости связано с непреодолимыми математическими трудностями, можно утверждать, что соответствующая неизвестная функция обязательно существует. Это значит, что математическое описание целого ряда
подобных процессов в критериальном виде одинаково. Значение теоремы
Федермана состоит в том, что она позволяет, не интегрируя сложные системы дифференциальных уравнений, получать их обобщённые решения в
критериальном виде, заменяя при этом точные аналитические зависимости
более простыми аппроксимирующими функциями, коэффициенты которых
всегда могут быть найдены экспериментально. При этом критериальная
форма представления факторов и функций отклика в таких зависимостях
даёт возможность распространения результатов единичного эксперимента
на целую серию подобных явлений одной группы.
Теорема Кирпичёва-Гухмана определяет достаточные условия подобия и является научной основой физического моделирования явлений. Она
формулируется следующим образом: подобными будут те явления, условия однозначности которых подобны, а критерии, составленные из величин, входящих в условия однозначности (то есть определяющие критерии),
равны. Согласно этой теореме, если обеспечить взаимное равенство всех
определяющих критериев для каких-либо двух явлений, то эти явления
обязательно окажутся подобными. Такой вывод следует из совместного
применения теорем Ньютона и Федермана. Действительно, при равенстве
всех определяющих критериев, находящихся под знаками функций, и полной идентичности математической записи самих критериальных функций
единых для рассматриваемой группы подобных явлений, все одноимённые
безразмерные критерии отклика (то есть определяемые критерии) также
должны быть равными между собой. Таким образом, равными в данном
случае окажутся не только определяющие, но и определяемые критерии, а
это, согласно теореме Ньютона, является необходимым условием подобия
физических процессов. Следовательно, при равенстве всех одноимённых
определяющих критериев физические процессы обязательно будут подобными.
Как правило, дифференциальные уравнения описывают явления в
самом общем виде, чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание,
87
к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти
частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса, называются условиями однозначности или краевыми условиями, они включают в
себя:
- геометрические условия, которыми задаются форма и линейные
размеры;
- физические условия, которыми задаются физические параметры;
- начальные условия, характеризующие явление в начальный момент
времени (начальные условия необходимы лишь при рассмотрении нестационарных процессов);
- граничные условия, характеризующие взаимодействие с окружающей средой.
3.3.3. Методы теории подобия
Подобие достигается за счёт равенства для модели и реального объекта исследования значений критериев подобия – безразмерных чисел, зависящих от физических (в том числе геометрических) параметров, характеризующих реальное явление. Используя методы теории подобия, размерные физические величины, являющиеся факторами, в каком-либо исследуемом процессе, можно определённым образом объединить в безразмерные комплексы.
Согласно теореме Бакингема, число полученных безразмерных критериев всегда будет меньше числа входящих в них размерных физических
величин. Выбрав безразмерные критерии в качестве новых определяющих
факторов, можно значительно облегчить эмпирические исследования за
счёт формального сокращения числа переменных под знаком функции отклика. Это способствует пониманию сложных физических процессов и
помогает интерпретировать результаты, как эмпирических исследований,
так и численных расчётов, объём которых прогрессивно возрастает по мере развития численных методов и совершенствования ЭВМ.
Метод масштабных преобразований используется в том случае, когда известны все дифференциальные уравнения и условия однозначности
исследуемого процесса. Дифференциальные уравнения отражают наиболее
общие черты явлений и не учитывают частных особенностей конкретного
объекта или процесса. Частные особенности задаются условиями однозначности. Ими, как правило, являются: геометрическая форма и размеры
объекта, в котором проходит изучаемый физический процесс; физические
свойства рабочих тел или сред, участвующих в этом процессе; условия
протекания процесса на границах системы (граничные условия).
В теплотехнике для обобщённого описания сложных процессов конвективного теплообмена и нестационарной теплопередачи используется
88
ряд безразмерных критериев, полученных методами масштабных преобразований. Связь между этими критериями в каждом конкретном случае устанавливается эмпирически полученными критериальными уравнениями.
Безразмерные комплексы, входящие в состав критериальных уравнений,
подразделяются на определяющие и определяемые. Определяющими считаются комплексы, расположенные под знаком функции, к ним относятся
безразмерные координаты и критерии подобия: Рейнольдса Re, Пекле Pe,
Прандтля Pr, Грасгофа Gr, Архимеда Ar, Био Вi, Фурье Fo, Кирпичёва Кi,
которым отводится роль независимых переменных (факторов).
При исследовании явлений и процессов, для которых математическое описание неизвестно, для получения безразмерных критериев и обоснования общего вида критериальных зависимостей используется метод
анализа размерностей. Все используемые современной наукой физические
величины подразделяются на основные и производные. Основными называются величины, которые условно принято считать независимыми от других. Производными считаются все остальные величины, которые могут
быть выражены через основные при помощи известных физических законов и соотношений.
Теоретически совершенно безразлично, какие величины считать основными, а какие – производными. Однако на практике в качестве основных удобнее выбирать те величины, которые могут быть воспроизведены и
измерены с наибольшей точностью. Отрасли современной науки используют всего семь основных величин: время, длина, масса, температура, количество вещества, сила тока, сила света. Все остальные физические величины являются производными.
Связь любой производной величины с основными величинами определяется формулами размерности. Под размерностью физической величины понимается выражение в форме степенного одночлена, составленное из
произведений символов основных физических величин в различных степенях и отражающее связь данной физической величины с основными величинами системы.
Размерность физической величины является более общей характеристикой, чем определяющее уравнение связи, так как одна и та же размерность может быть присуща величинам, имеющим различную качественную сторону и отличающимся по форме определяющего уравнения.
Понятие размерности распространяется не только на производные,
но и на основные величины (секунда, метр, килограмм, кельвин, моль, ампер, кандела). Выражения, определяющие размерность всех основных физических величин, должны формально совпадать с их символами. Над размерностями можно производить действия умножения, деления, возведения
в степень и извлечения корня. Действия сложения и вычитания размерностей не имеют смысла. При выполнении алгебраических операций с размерностями следует руководствоваться следующими правилами.
89
1. Размерность произведения двух величин равна произведению раз-
мерностей этих величин.
2. Размерность частного от деления двух величин равна частному от
деления размерностей этих величин.
3. Размерность величины, возведённой в степень, равна возведённой
в ту же степень размерности этой величины.
4. Если каждая из величин является производной и зависит от основных, то результирующая размерность может быть получена по правилам
операций со степенными функциями.
5. Для безразмерных величин, также как и для размерных, может
быть получена функция, определяющая их размерность.
6. Безразмерная величина, также как и размерная, может быть выражена через основные величины.
Основная идея использования метода анализа размерностей состоит
в том, что при изучении любого сложного многофакторного процесса, необходимо, прежде всего, выделить из полного списка переменных те факторы, связь между которыми строго определена в силу действия известных
физических законов. Это можно сделать, образовав ряд безразмерных комплексов из величин, имеющих зависимые размерности, после чего для получения полного представления о закономерностях изучаемого процесса
остаётся получить неизвестную зависимость между образованными безразмерными комплексами. Эта задача и должна решаться в процессе эмпирического исследования. Такой подход позволяет значительно сократить
количество опытов и снизить трудоёмкость экспериментальных исследований.
3.4. Измерительные средства
3.4.1. Виды и характеристики измерений
При проведении эмпирических исследований выполняются измерения параметров объектов исследований или их физических моделей
y , а
j
также факторов
x , для чего могут быть использованы следующие измери-
i
тельные средства:
- измерительные инструменты (ртутные термометры, микрометры,
штангенциркули, линейки, рулетки, мерные ленты);
- измерительные приборы;
- измерительные системы.
При выборе измерительно-регистрирующих средств необходимо
учитывать, какие величины измеряются, как они изменяются во времени,
диапазон изменения измеряемых величин, количество измерений и условия их проведения.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]