Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы научных исследований в электроэнергетике. Учебное пособие
.pdf
yy
12
yxaya
.
11110
x
1
xx
12
Подставим выражения для коэффициентов в исходное уравнение
(3.30)
yy
12
yy
. (3.32)
1
xx
12
xx
1
Используя полученное уравнение (3.32) можно выполнить линейную
интерполяцию (найти y при
y при hxxx 5,0
22
или
xxx
) и линейную экстраполяцию (найти
21
5,0 xxhx
).
11
Во многих случаях параметр y зависит от фактора x нелинейно, а поэтому используют нелинейные (полиноминальные) интерполяцию и экстраполяцию. При этом задаются определённым полиномом, выражающим
связь между y и x, например, полиномом второго порядка
2
xaxaay , (3.33)
210
где
требуется три пары значений
,, aaa – постоянные коэффициенты.
210
Чтобы найти постоянные коэффициенты
, yx ; 22, yx ; 33, yx , по которым составляется
11
,, aaa уравнения (3.33)
210
система из трёх линейных уравнений. Из этой системы находят коэффициенты
позволяет выполнить нелинейную интерполяцию (найти y при
и нелинейную экстраполяцию (найти y при hxxx 5,0
5,0 xxhx
,, aaa . Уравнение (3.33) при известных коэффициентах
210
33
).
11
,, aaa
210
xxx
)
31
или
3.7.6. Проверка однородности выборочных дисперсий опытов
Обработка результатов измерений величины y, полученных при проведении n опытов, позволяет установить выборочные дисперсии опытов
S . Выборочная дисперсия j-го опыта jS рассчитывается по формуле
j
(3.13). Если выборочные дисперсии опытов однородные, то по данным
этих опытов можно получить регрессионные зависимости, связывающие
функцию отклика y и факторы, действующие на объект исследования
xxx ...,,,
.
21
k
Однородность выборочных дисперсий можно проверить по критерию Фишера F или критерию Кохрена G.
1. Проверка однородности выборочных дисперсий по критерию Фи-
шера F заключается в расчёте отношения максимальной дисперсии
минимальной
F
. (3.34)
Р
S
min
S
max
S
min
S к
max
161
Если FF
Р
, то дисперсии однородные. Значение критерия Фишера
F берут из специальной таблицы при заданном уровне значимости q и числах степеней свободы
сий, 1
uff , где u – повторность опытов.
21
f и 2f для максимальной и минимальной диспер-
1
2. Проверка однородности выборочных дисперсий по критерию Кох-
рена G предусматривает определение отношения наибольшей дисперсии
S к сумме всех дисперсий
max
S
max
G
Р
Если GG
n
j
. (3.35)
S
j
1
Р
, то дисперсии однородные. Значение критерия Кохрена
G берут из специальной таблицы при заданном уровне значимости q, количестве опытов n и числе степеней свободы 1
uf (u – повторность опы-
1
тов).
Дисперсия воспроизводимости
yS при условии однородности вы-
борочных дисперсий
S определяется как среднее арифметическое значе-
j
ние последних
n
1
yS
n
. (3.36)
S
j
j
1
3.7.7. Корреляционный анализ
Теснота линейной связи между зависимой y и независимой x переменными характеризуется коэффициентом корреляции r, определяемым по
формуле
n
n
r , (3.37)
n
j
j
n
2
j
11
j
n
jj
j
2
j
yxyxn
j
j
111
j
n
j
n
2
j
j
2
yynxxn
j
11
где n – количество проведённых опытов;
yx , – значения (средние арифметические) соответственно фактора
jj
(независимой переменной) и параметра (зависимой переменной), полученные в j-ом опыте.
Если коэффициент корреляции r близок к единице (r≈1), то между x
и y существует линейная зависимость, если коэффициент корреляции близок к нулю (r≈0), то между x и y либо существует нелинейная зависимость,
либо y не зависит от x.
Для проверки корреляционной связи между x и y при r≈0 необходимо вычислить величину
t по формуле
Р
162
12r
n
2
n
f
.
72,2e
Число
Число
rt
. (3.38)
Р
Величину
2
t сравнивают с табличным значением критерия Стьюден-
Р
та t, определённым при принятом уровне значимости q и числе степеней
свободы
. Если tt
, то между x и y нет зависимости.
Р
По значению коэффициента корреляции r выбирают вид регрессионной зависимости – функции, описывающей отношения между переменными величинами y и x.
Регрессионные зависимости также называют уравнениями регрессии. В общем виде уравнение регрессии выглядит следующим образом
xxxfy ...,,,
, (3.39)
21
k
где y – зависимая переменная;
f – оператор преобразования или закон, связывающий зависимую пе-
ременную с независимыми переменными
xxx ...,,,
.
21
k
Как правило, регрессионные зависимости представляются в виде полиномов. При одной независимой переменной x регрессия в виде полинома выглядит следующим образом
p
0
где
a и ia – свободный член и коэффициенты – постоянные величины;
0
i
xaay
, (3.40)
i
i
1
p – степень полинома (наибольшая степень, в которую возводится независимая переменная).
Полином вида (3.40) – разложение функции
xf в ряд Маклорена,
то есть полином (3.40) может заменить любую функцию
лённых значениях
a , ia и p.
0
При p=3 зависимость (3.40) имеет вид
При p=2 зависимость (3.40) имеет вид
xf при опреде-
2
210
xaxaay – формула
210
3
xaxaxaay
3
2
(3.33).
При p=1 зависимость (3.40) является линейной xaay
– форму-
10
ла (3.30).
В некоторых случаях для математического описания связи между зависимой переменной y и независимой переменной x используют нелиней-
x
ную экспоненциальную зависимость вида
коэффициенты, e – основание натурального логарифма (
ey
, где
, – постоянные
).
Если значение коэффициента корреляции r, определённое по формуле (3.37), больше критического значения, приведённого в таблице 3.8, то
можно принять линейную зависимость между x и y, то есть xaay
.
10
Таблица 3.8 – Критические значения коэффициента корреляции
Уровень значимости
Уровень значимости
163
ды
2
n
f
2
n
f
q q степеней свобо-
0,05
0,01
степеней
свободы
0,05
5 0,75 0,87 9 0,60 0,74
6 0,71 0,83 10 0,58 0,71
7 0,67 0,80 11 0,55 0,68
8 0,63 0,77 12 0,53 0,66
Если в эмпирическом исследовании установлены значения зависимой переменной y от двух независимых переменных
x и 2x , то необходи-
1
мо рассчитать по формуле (3.37) коэффициенты корреляции
ветственно между
x и 2x , 1x и y, 2x и y. Коэффициент множественной
1
регрессии определяется по формуле
2
2
12r
2
rrrrr
3321
2
1
. (3.41)
Если коэффициент множественной регрессии близок к 1, то между
x , 2x и y – линейная зависимость.
1
Регрессионные зависимости при двух независимых переменных
x :
2
а) линейная
xaxaay
;
22110
б) линейная с парным сочетанием
xxaxaxaay
;
21322110
в) нелинейная (второго порядка)
2
1421322110
2
xaxaxxaxaxaay .
25
Регрессионные зависимости при трёх независимых переменных
x и 3x :
2
а) линейная
xaxaxaay
;
3322110
б) линейная с парными сочетаниями
xxaxxaxxaxaxaxaay
;
3263152143322110
в) нелинейная (второго порядка)
2
173263152143322110
Регрессионные зависимости при четырёх независимых переменных
x , 2x , 3x и 4x :
1
а) линейная
xaxaxaxaay
;
443322110
б) линейная с парными сочетаниями
0,01
r , 2r , 3r соот-
1
x и
1
x ,
1
2
28
2
xaxaxaxxaxxaxxaxaxaxaay .
39
164
xxaxxaxxaxxaxaxaxaxaay
m
n
C
1
...,,1,0
m
i
328417316215443322110
;
xxaxxa
4310429
в) нелинейная (второго порядка)
xxaxxaxxaxxaxaxaxaxaay
328417316215443322110
2
1114310429
2
212
2
313
2
.
xaxaxaxaxxaxxa
414
3.7.8. Определение коэффициентов регрессионных зависимостей
Замена табличной (графической) зависимости, построенной на основе эмпирических данных, аналитической зависимостью называется аппроксимацией (приближением). При аппроксимации необходимо правильно подобрать коэффициенты
a и свободный член 0a регрессионной зави-
i
симости. Данная задача решается методом наименьших квадратов (МНК),
основанным на минимизации суммы квадратов отклонений аппроксимирующих функций (регрессионных зависимостей) от искомых переменных.
МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для
оценки неизвестных параметров регрессионных зависимостей по эмпири-
ческим данным. Сумма квадратов отклонений C функции
(
) от искомых значений зависимой переменной равна
где
y ,
x – значения переменных, полученные эмпирически в j-ом опыте;
j
xxxx ...,,,
21
j
k
n
1
j
2
, (3.42)
xfyC
jj
xf
n – количество опытов.
При одной независимой переменной формула (3.42) примет вид
n
1
j
2
. (3.43)
xfyC
jj
Количество опытов n должно быть не меньше, чем количество определяемых коэффициентов регрессионной зависимости m, то есть
.
В функции C оператор f объединяет совокупность коэффициентов
a , свободный член 0a и показатель степени полинома p, а следовательно
i
при заданном значении p коэффициенты
рассматривать как аргументы функции C. Для нахождения значений
a обеспечивающих минимум функции C необходимо в данную функцию
i
a и свободный член 0a можно
i
a и
0
подставить принятую регрессионную зависимость, определить производные частного порядка
ные к нулю и решить полученную систему уравнений относительно
C
a
C
a
/
a
(
i
), приравнять эти производ-
a :
i
C
0...;;0;0
. (3.44)
a
110
m
165
Подставим в формулу (3.43) полином второго порядка
C
ln
2
xaxaay , получаем при количестве опытов n
210
jj
2
2
2
222102
2
2
xaxaayxfyC
121101
(3.45)
2
2
....
xaxaayxaxaay
210
nnn
/
a
, приравняем их к ну-
i
n
1
j
Найдем производные частного порядка
лю и выполним преобразование. В результате имеем:
n
3
2
10
2
12
2
4
2
12
33
22
2
2
2
11210
n
j
j
yxxxxa
jjn
1
3
11
n
244
yxxxxa
1
2
122110
......
22
xxxaxxxa
nn
;...
33
......
2
....
jjn
xxxaxxxa
nn
22
......
j
;
yxxxaxxxana
jnn
1
(3.46)
Имеем систему линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить относительно
a .
i
Коэффициенты линейной регрессионной зависимости xaay
определяются по формулам:
n
n
y
1
a ;
j
0
n
n
j
j
n
j
j
n
2
j
j
n
jj
j
j
n
xxnn
j
11
j
yxyxnx
j
1111
j
a . (3.47)
2
1
n
j
jj
n
j
2
j
n
n
yxyxn
j
j
111
j
j
2
n
xxn
j
11
j
Для установления значений коэффициентов и зависимости
x
ey
, эту зависимость надо линеаризовать, для чего её логарифмируют
xx
xeey
lnlnlnlnln .
10
и можно определить по формулам (3.47), в которых вместо
y будет jyln :
j
j
n
j
ln
n
n
ln
y
1
n
j
j
n
n
jj
j
n
j
n
2
j
j
n
j
j
n
n
j
111
j
2
xxn
j
11
lnln
j
yxyxn
2
j
j
.
n
jj
j
j
1111
j
j
2
n
11
xxnn
j
lnln
yxyxnx
j
;
166
3.7.9.
Проверка значимости коэффициентов и адекватности
mnf
m
n
регрессионной зависимости
Коэффициент регрессионной зависимости
ли он по абсолютной величине больше доверительного интервала
a является значимым, ес-
i
, оп-
a
ределяемого по формуле
St , (3.48)
aa
где t – критерий Стьюдента, определяемый по специальной таблице при
заданном уровне значимости q и числе степеней свободы f;
S – дисперсия коэффициентов регрессионной зависимости.
a
1
unf ,
где n – количество опытов;
u – повторность опытов (количество измерений величины y в опыте).
yS
, (3.49)
1
где
S
a
un
yS – дисперсия воспроизводимости.
Дисперсия воспроизводимости
yS рассчитывается как среднее
арифметическое выборочных дисперсий опытов, определяемых по формуле (3.13), при этом выборочные дисперсии опытов должны быть однородными.
Члены регрессионной зависимости, имеющие незначимые коэффициенты, исключаются. Значимость свободного члена
a не проверяется.
0
Адекватность регрессионной зависимости показывает, насколько
точно она определяет зависимую переменную y по сравнению с результатами эмпирического исследования.
Для проверки адекватности необходимо вычислить число степеней
свободы дисперсии адекватности
– число коэффициентов уравнения регрессии, обязательно, чтобы
, где n – количество опытов, m
.
Дисперсия адекватности S определяется по формуле
C
S
, (3.50)
f
где C – критерий, определяемый по формуле (3.42) или (3.43).
Критерий Фишера
F рассчитывается по формуле
Р
S
F
Р
. (3.51)
yS
Расчётное значение критерия Фишера
F сравнивается с табличным
Р
F, которое принимается в зависимости от уровня значимости q и числа
степеней свободы дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости. Если FF
Р
, то регрессионная зависимость адекватна.
3.7.10. Программные средства обработки результатов
167
В настоящее время для обработки данных эмпирических исследований применяются компьютеры, разработано специальное программное
обеспечение.
Statistica – пакет программ для статистического анализа, разработанный компанией StatSoft, реализующий функции анализа данных,
управления данных, добычи данных, визуализации данных с привлечением
статистических методов. Существуют различные варианты пакета в зависимости от целей и задач пользователя:
- однопользовательская версия (single-user);
- сетевая версия (concurrent network) – для использования в
локальных вычислительных сетях;
- enterprise-версия – для использования в крупных организациях;
- веб-версия – для использования в крупных сетях через веб-браузер.
Также существуют различные комплекты поставки в зависимости от
включённых функций:
- base — набор основных статистик и методов для разведочного ана-
лиза;
- advanced — включает все возможности продукта base, а также модули углубленных линейных и нелинейных моделей, многомерных технологий анализа данных, анализа мощности и интервального оценивания;
- quality control (контроль качества) – включает методы управления
качеством данных, а также контрольные карты презентационного качества;
- automated neural networks – включает методы для нейросетевых исследований;
- data miner – включает методы добычи данных.
- text miner – дополнительная возможность для добычи данных над
текстами;
- process optimization – возможности проводить мониторинг процессов, идентифицировать и предотвращать проблемы, относящиеся к контролю качества на производстве;
- MAS – средства для централизованного автоматизированного мониторинга различных процессов и параметров продуктов.
Пакет обладает широкими графическими возможностями, позволяет
выводить информацию в виде различных типов графиков (включая научные, деловые, трёхмерные и двухмерные графики в различных системах
координат, специализированные статистические графики: гистограммы,
матричные, категорированные графики и другие), все компоненты графиков настраиваются.
Ознакомиться с приемами работы в программе Statistica можно на
образовательном математическом сайте «Exponenta.ru. Раздел «Statistica».
Обработка может быть также выполнена в программах:
- Microsoft Excel;
- Mathcad (http://www.exponenta.ru/soft/Mathcad/Mathcad.asp);
168
- MatLab (http://www.chemometrics.ru/materials /textbooks/matlab.htm).
y
4. Представление результатов прикладных
научных исследований
4.1. Заключительные этапы прикладных научных исследований
Для подтверждения достоверности результатов теоретического исследования необходимо их сопоставить с результатами эмпирического исследования. Данное сопоставление удобно выполнить в форме таблицы, в
которой приводятся значения факторов
и параметра
полученные эмпирически, а также значения параметра
xxxx ...,,,
21
k
/
y , вычисленные по
аналитическим зависимостям, полученным при теоретическом исследовании, или установленные исследованием математической модели объекта
исследования при тех же значениях факторов x. Таким образом, для некоторых i-х значений факторов
ское
y и теоретическое
i
x есть два значения параметра: эмпириче-
i
/
y . Хорошая сходимость результатов теоретиче-
i
ского и эмпирического исследований обеспечена при условии, что относительные отклонения теоретических значений
/
y от эмпирических
i
y не
i
превышают 10 %. Относительное отклонение результатов теоретического
и эмпирического исследований
/
yy
i
100
i
/
. (4.1)
y
i
определяется по формуле
i
Использование результатов прикладных научных исследований
должно обеспечивать получение определённых эффектов. Эффект – количественный показатель, характеризующий улучшение определённых характеристик или свойств объектов, процессов, материалов. Для определения эффектов используют оценочные показатели, принимаемые в зависимости от назначения объекта исследования и видов оцениваемых для него
эффектов. Эффект определяется как разность значений оценочного показателя для нового или усовершенствованного устройства, процесса, метода и
для базового (существующего) устройства, процесса, метода. Эффект может быть как положительным, так и отрицательным. Отрицательный эф-
,
169
фект указывает на ухудшение определённых характеристик или свойств
объектов, процессов, материалов.
Получаемые от использования результатов прикладных научных исследований эффекты выражаются в увеличении или снижении значений
оценочных показателей.
Для оценки результатов прикладных научных исследований используются следующие виды эффектов:
- экономический (увеличение прибыли, снижение себестоимости, за-
трат на обслуживание и ремонт и т.д.);
- социальный (снижение травматизма, заболеваемости, количества
несчастных случаев, увеличение продолжительности жизни людей, доходов населения и т.д.);
- природоохранный или экологический (снижение выбросов загрязняющих веществ, объёмов образования опасных стоков и отходов, площадей отчуждения земель, вырубки леса, увеличение численности популяций
растений и животных и т.д.);
- энергетический (снижение потерь электрической и тепловой энергии, расхода энергии, топлива, повышение КПД и т.д.);
- технологический (повышение производительности, качества продукции, ПКЭ, снижение времени простоев оборудования, увеличение урожайности сельскохозяйственных культур и продуктивности сельскохозяйственных животных и т.д.);
- технический (увеличение показателей надёжности, повышение
прочности, жёсткости, устойчивости, стойкости к агрессивным средам,
скорости, снижение материалоёмкости и т.д.).
Приоритет выбора эффекта и оценочных показателей определяется
назначением объекта исследований.
По полученным при проведении исследования результатам форму-
лируются выводы, предложения и рекомендации.
Выводы – краткое отражение результатов исследования. Как правило, выводы формулируют по каждому разделу, а также по всему исследованию – основные выводы. Выводы позволяют сформулировать предложения по улучшению (совершенствованию) процессов, технических
средств и систем, организации производства. На основе предложений разрабатываются рекомендации производству. Основные выводы позволяют
оценить перспективы дальнейших исследований по данной теме.
Результаты прикладных научных исследований внедряются в производство и учебный процесс, то есть используются различными предприятиями и учебными учреждениями. Внедрение оформляется соответствующим актом, в котором указывается, какое техническое, технологическое или иное решение или какая разработка внедрена, при реализации каких видов деятельности использовалась, а также в каких процессах, машинах, оборудовании, сооружениях реализована. В акте указывают получен-
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]