Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы научных исследований в электроэнергетике. Учебное пособие
.pdf
цессе исследования математической модели, такое исследование называет-
ся имитационным моделированием.
Для разработки математических моделей объектов исследований используется структурное моделирование. При структурном моделировании
рассматриваются не только внешние связи объекта исследования, но внутренние связи в нём. Объект исследования представляется в виде совокупности частей или подсистем, таким образом, чтобы каждая часть или подсистема, описывалась уравнениями, аналитическими зависимостями, являющимися формализованными выражениями физических законов, теорем, аксиом, постулатов, закономерностей. Указанные уравнения и аналитические зависимости получают на этапе системного анализа объекта исследования.
Выполним структурное моделирование для ранее рассмотренного
электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения, в нём выделены две подсистемы: электрическая – цепь якоря; механическая – вращающаяся часть, включающая вал электродвигателя, расположенные на
нём элементы и вращающиеся части приводимого оборудования. Для выделенных подсистем получены уравнения (2.2), выражающие зависимость
угловой скорости вращения вала и электромагнитного момента
M от
Э
длины питающих проводов l. Устанавливаем ограничения факторов, основываясь на технических характеристиках, условиях эксплуатации и режиме работы.
Таким образом, математическая модель электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения имеет вид:
di
dt
1
Lu
;
CFilr
d
dt
;
00
(2.5)
,;;0;0
lllMMMUut
МНМННД
JMFiC
НM
где
U – наибольшее допустимое напряжение питания электродвигателя,
Д
В;
M , НМM – соответственно минимальное и максимальное значения
0Н
момента нагрузки, Н·м;
ll ,
– соответственно минимальное и максимальное значения длины
М
0
питающих проводов, м;
Модель (2.5) является имитационной, она предусматривает нереверсивную работу электродвигателя, если электродвигатель работает реверсивно, то ограничение напряжения питания цепи якоря имеет вид
UuU
.
ДД
Преобразование уравнений системы (2.2) позволяет получить неоднородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)
второго порядка с постоянными коэффициентами
31
dt
dt
2
0D
0t
d/0dt
dt
0D
d
a
2
2
d
a
01
kMua
.
Н
В данном уравнении
a
2
LJ
FC
;
a
1
M
1
FC
lrJ
; CFa
0
M
;
k
Для решения ОДУ составим характеристическое уравнение
2
2
0
azaza .
01
Найдем дискриминант характеристического уравнения D
2
4 aaaD .
1
Если
где
C , 2C – постоянные коэффициенты, определяемые из условия, что при
1
– начальная угловая скорость (до изменения режима работы), с–1;
0
02
, то решение ОДУ имеет вид:
tztz
21
eCeC
21
,
0
kMu
Н
;
z
;
a
0
1
;
1
2a
Da
z
,
2
2
1
2a
Da
2
e – основание натурального логарифма.
Найдем коэффициенты
kMu
CC
210
a
0
C , 2C :
1
d
Н
; ;0;
tztz
21
zCzCezCezC
22112211
.
1
FC
lr
.
M
Cz
C ;
1
0
C
2
22
z
1
kMu
a
0
0
Н
001
Аналитическая модель электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения:
Da
a
2
eCeC
21
;
C
z
1
1
1
2
LJ
a
FC
a
12
C
2
kMuaz
zza
210
tztz
21
zza
210
z
2
1
FC
Cz
22
C
z
1
zz
z
1
Н
kMu
a
akMuz
002
2
21
;
;
C
1
Н
;
0
C
2
Da
1
2
a
2
lrJ
0
kMu
Н
a
0
001
2
1
kCFa
;
Н
zza
210
kMuaz
zza
210
aaaD
1
FC
1
C
20
akMuz
002
.
НН
;;
;4;
02
lr
;;;;
MMM
z
2
z
kMu
Н
;
a
01
.;;0;0
lllMMMUut
Если
00
, то решение ОДУ:
МНМННД
32
t
sincos
21
Найдем коэффициенты
kMu
C
10
d
a
0
C
dt
tCtCe
C , 2C :
1
01
kMu
Н
;
a
0
kMu
НН
.;
a
0
tt
a
1
2a
;
2
2121
D
.
2a
2
;cossinsincos
tCtCetCtCe
kMu
1221
CCCC
Н
a
0
.;0
0
Аналитическая модель электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения в данном случае имеет вид:
kMu
Н
;sincos
a
0
kMu
НН
a
0
aaaD
02
;;
0
;4;
kCFa
1
FC
00
lr
;;;;
MMM
.;;0;0
lllMMMUut
МНМННД
C
a
t
kMu
01
2
LJ
FC
a
a
a
0
1
;
a
12
21
C
D
2
a
22
1
FC
2
tCtCe
2
1
lrJ
0
Системный анализ и математическое моделирование объекта иссле-
дования можно объединять в один этап теоретического исследования.
Исследование математической модели объекта исследования посредством численной реализации её алгоритма на компьютере позволяет
количественно оценить влияние факторов на параметры объекта исследования во времени и в статическом состоянии. Для исследования математической модели следует разработать алгоритм. Реализация алгоритма может
осуществляться как с использованием прикладных программ (Mathcad,
MatLab, Microsoft Excel), так и программ собственной разработки, выполненных в определённой среде программирования.
Результаты исследования математической модели объекта исследования лучше наглядно представлять в виде таблиц, графиков, диаграмм,
гистограмм, поверхностей отклика.
33
2.5. Дифференциальные уравнения
dx
dx
dx
2.5.1. Виды дифференциальных уравнений
Математические модели реальных систем и процессов включают
дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение связывает
функцию, её производные и аргументы. Порядок дифференциального
уравнения – наивысший порядок производных, входящих в дифференциальное уравнение.
Дифференциальные уравнения делятся на следующие виды:
- обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), в которые
входят функции одного аргумента и их производные;
- дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП), в
которые входят функции нескольких независимых переменных и их производные;
- стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие
стохастические (случайные) процессы.
В зависимости от комбинаций функций, производных, независимых
переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные,
квазилинейные, нелинейные; с постоянными или переменными коэффициентами; однородные или неоднородные.
Линейные дифференциальные уравнения содержат функции и их
производные только в первой степени, такие уравнения не включают произведения функции и производных, а также комбинации функций. Общий
вид линейного неоднородного ОДУ с переменными коэффициентами
n
n
yd
xP
n
01
n
1
n
1
xP
yd
... , (2.6)
n
1
dy
xP
xRyxP
где
xP
– известные функции независимой переменной x или коэффици-
i
енты дифференциального уравнения;
y – функция;
n – порядок дифференциального уравнения;
xR – известная функция независимой переменной, которая в данном
случае является свободным членом дифференциального уравнения.
Квазилинейные дифференциальные уравнения содержат производную старшего порядка только в первой степени, не включают комбинации
функций с участием производной старшего порядка, то есть производная
старшего порядка в таких уравнениях представлена в линейной форме.
К нелинейным дифференциальным уравнениям относятся дифференциальные уравнения, которые не попадают в группы линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений.
Если хотя бы один коэффициент дифференциального уравнения являются функцией
xP
независимой переменной x, то такое уравнение на-
i
зывается дифференциальным уравнением с переменными коэффициента-
34
ми, а если все коэффициенты – постоянные числа, то есть
Cqdt
dt
dx
dx
dx
dx
t
x
D
axP
, тогда
ii
уравнение будет с постоянными коэффициентами.
Однородные дифференциальные уравнения не имеют свободного
члена, то есть
0
xR , если свободный член присутствует, то уравнение
является неоднородным.
Второй закон Кирхгофа для электрической цепи с последовательно
включенными: активным сопротивлением R, катушкой индуктивности L,
конденсатором емкости C представляет собой линейное неоднородное
ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
2
qd
L
2
R
dq
U
,
где q – заряд, Кл;
t – время, с;
U – напряжение питания цепи, В.
Пример неоднородного квазилинейного ОДУ с постоянными коэффициентами caaa ,,,
2
yd
a
2
2
dy
ya
012
2
xRcyya
01
.
Пример нелинейного ОДУ с постоянными коэффициентами
caaa ,,,
012
2
a
2
yd
2
a
dy
sincos .
01
Пример линейного однородного ДУЧП первого порядка с постоянными коэффициентами a, b, c
y
a ,
y
b
cy
0
где y – функция;
x и t – независимые переменные.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме – линейные
ДУЧП первого порядка.
1. Теорема Гаусса для электрического поля, входящая в систему
уравнений Максвелла, имеет вид
где
D ,
x
D
D
x
x
D ,
D – декартовы компоненты вектора электрической индукции
y
D
y
y
z
z
,
z
2
xRcyya
, Кл/м2;
x, y, z – декартовы координаты, м;
– объёмная плотность стороннего электрического заряда, Кл/м3.
Из теоремы Гаусса следует, что электрический заряд является источником электрической индукции.
35
2. Теорема Гаусса для магнитного поля утверждает, что магнитных
B
x
t
зарядов не существует
B
B
y
y
z
z
0
,
z
где
B ,
x
B
x
x
B ,
B – декартовы компоненты вектора магнитной индукции
y
Тл.
3. Закон электромагнитной индукции Фарадея: изменение магнитной
индукции порождает вихревое электрическое поле
,
E
y
x
E
x
k
z
y
B
,
t
где
E ,
x
E
E
z
y
E ,
y
y
k
x
z
E – декартовы компоненты вектора напряжённости электри-
z
E
z
E
zx
k
y
x
ческого поля E, В/м;
k ,
k ,
k – орты декартовых координат x, y, z (единичные векторы).
y
x
z
4. Теорема о циркуляции магнитного поля: электрический ток и из-
менение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
H
y
x
H
x
z
y
D
jk
,
t
где
H ,
x
H
H ,
H
z
y
y
y
k
x
z
H – декартовы компоненты вектора напряжённости магнит-
z
H
z
H
zx
k
y
x
ного поля H, А/м;
j – плотность электрического тока, А/м
2
.
Линейные ДУЧП второго порядка подразделяют на параболические,
эллиптические и гиперболические. Примером параболического уравнения
является уравнение диффузии, которое для одномерного диффузионного
процесса с постоянным коэффициентом диффузии Q имеет вид
где
Q
2
txf
txf , – концентрация диффундирующего вещества – функция коор-
txf
,,
2
txp
,
,
динаты x и времени t;
txp , – функция, описывающая источники вещества.
Эллиптическим уравнением является уравнение Пуассона для электростатического поля
2
2
2
2
2
2
zyx
,
0
где – электрический потенциал, являющийся функцией координат x, y, z,
В;
– объёмная плотность заряда, Кл/м3;
– диэлектрическая проницаемость вакуума, Ф/м.
0
36
К гиперболическим уравнениям относятся волновые уравнения, в ча-
t
x
dt
x
стности уравнение колебания струны или продольных колебаний стержня
2
2
v
txu
2
2
,,
txu
,
2
где v – фазовая скорость;
txu , – неизвестная функция координаты x и времени t.
СДУ имеет один член или несколько членов, представляющих собой
стохастические (случайные) процессы. Таким образом, решения СДУ также являются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто
используемый пример СДУ – уравнение с членом, описывающим белый
шум (который можно рассматривать как пример производной
винеровского процесса). Винеровский процесс (броуновское движение)
является очень сложным математическим объектом, он не дифференцируется, поэтому манипулирование с процессами такого типа потребовало
создания стохастического исчисления. В настоящее время используется
две версии стохастического исчисления: Ито и Стратоновича. Существуют
и другие типы случайных процессов, например, скачкообразный процесс.
В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена, которое состоит из обычного нестохастического дифференциального
уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум
dx
i
где
x – i-ая переменная;
i
m
k
k
ii
1
txxf
,
k
– набор переменных,
n – количество переменных
k
xf
,
x
i
t
– k-ая случайная функция времени t;
k
– функции x;
i
;
x ;
i
xxxx ...,,,
21
n
m – количество случайных функций (процессов).
Вторая распространенная форма – уравнение Фоккера-Планка, которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает
эволюцию плотности вероятности во времени
1
n
W
t
W
i
i
x
1 1 1
i
nin
xD
j
22
xD
ij
,
xx
ji
где W – функция плотности вероятности;
1
xD
– вектор сноса;
i
2
xD
– тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил
ij
стохастической природы.
37
Третья форма СДУ чаще используется в математике, она напоминает
уравнения Ланжевена, но записывается с использованием стохастических
дифференциалов.
2.5.2. Решение дифференциальных уравнений
Решение дифференциального уравнения – функция y, имеющая на
некотором интервале производные до порядка дифференциального уравнения, и удовлетворяющая этому уравнению. Решение дифференциального
уравнения может быть представлено в аналитическом виде (в виде зависи-
мости
аргументы) или в численном виде (таблица значений аргументов x и t и
соответствующих им значений функции y).
Решения дифференциальных уравнений в аналитическом виде подразделяются на общие и частные. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные
висимых переменных, которые могут быть определены из краевых (начальных и граничных) условий. После определения вида указанных постоянных
чениях независимых переменных равных нулю. Если при значениях независимых переменных равных нулю функция и ее производные тоже равны
нулю, то такие начальные условия называются нулевыми начальными условиями. Граничные условия – значения функции и её производных при
граничных значениях независимых переменных.
ний известны аналитические решения и разработаны методы аналитического решения. Например, линейные ОДУ с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях решаются при помощи преобразований Лапласа. Некоторые ОДУ можно решать непосредственным интегрированием. Линейные ОДУ первого и второго порядков с постоянными коэффициентами решают путём составления и решения характеристических
уравнений.
дами на компьютерах, в частности в программе Mathcad. Для численного
решения ОДУ используются следующие методы:
ния допущений к квазилинейным или линейным. Например, нелинейное
дифференциальное уравнение
С и неопределенных функций решения становятся частными.
i
Начальные условия – значения функции и её производных при зна-
Для многих линейных и квазилинейных дифференциальных уравне-
Все линейные и квазилинейные ОДУ решаются численными мето-
- Эйлера;
- Рунге-Кутты;
- Булирша-Штера;
- Розенброка.
Нелинейные ОДУ для получения решений приводятся путем введе-
txfy , , где
и t – независимые переменные или
С , а для ДУЧП – произвольные функции от неза-
i
xxxx ...,,,
21
n
sin при 3,0//y рад.
///
xRcybyya
38
можно представить в виде
sin yy .
////
///
xRcybyay
, так как при 3,0
//
y рад.
Аналитические решения ДУЧП можно получить используя:
- функцию Грина;
- метод разделения переменных Фурье;
- теорию потенциала;
- формулу Кирхгофа.
Эти методы разработаны для различных типов ДУЧП и в некоторых
простых случаях позволяют получить решение в виде некоторой формулы
или сходящегося ряда.
Поскольку нахождение аналитического решения даже простого
ДУЧП не всегда возможно, то разработано множество методов решения
численного решения. Некоторые из них основываются на аппроксимации
дифференциального оператора некоторыми выражениями, другие сводят
задачу к проекционной или вариационной и решают её. Некоторые из часто используемых численных методов решения ДУЧП:
- конечных разностей;
- конечных элементов;
- конечных объёмов.
У каждого из перечисленных методов есть свои особенности и классы.
Основным методом решения СДУ является поиск решения в виде
плотности вероятности преобразованием первоначального уравнения в
уравнение Фоккера-Планка. Уравнение Фоккера-Планка – дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно
определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как
уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задаёт временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например, с помощью метода Монте-Карло. Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям, эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой
(например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение
Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением ОДУ для моментов плотности вероятности.
2.5.3. Аналитическое решение ОДУ
Непосредственным интегрированием можно решить ОДУ вида
/
если выполняются два условия:
yxfy ,
- данное ОДУ можно привести к виду
- можно найти интегралы функций
xfyf
, .
21
dxxfdyyf
21
;
39
Линейные неоднородные ОДУ второго порядка с постоянными ко-
dx
dx
0D
0q
0D
i
s
эффициентами можно решить путём составления и решения характеристическо8го уравнения. Пусть дано неоднородное линейное ОДУ
2
yd
a
2
2
dy
a
01
xRya
.
Характеристическое уравнение для рассматриваемого ОДУ имеет
вид
2
2
azaza .
01
0
Найдем дискриминант D характеристического уравнения
2
4 aaaD .
1
Если
где
C , 2C – постоянные коэффициенты, определяемые из начальных или
1
02
, то решение неоднородного линейного ОДУ имеет вид:
Da
xzxz
21
qeCeCy
;
z
21
;
1
1
2a
z
,
2
2
1
2a
Da
2
граничных условий;
e – основание натурального логарифма;
q – функция, определяемая в зависимости от вида правой части ОДУ,
если
0
xR (однородное ОДУ), то
, если
bxR
– величина
постоянная, то
Если
x
, то решение неоднородного линейного ОДУ:
/ abq
.
0
a
sincos
21
;
qxCxCey
1
2a
;
2
D
2a
.
2
Линейные ОДУ при нулевых начальных условиях можно решить при
помощи преобразований Лапласа.
Прямое преобразование Лапласа для некоторой функции-оригинала
tf – её замена изображением по Лапласу
ременная (
, – действительное число; i – мнимое число; –
sf , где s – комплексная пе-
коэффициент при мнимом числе).
0
st
.
dtetfsf
Обратное преобразование Лапласа – замена изображения функции
по Лапласу
Существуют таблицы, которые связывают функции
бражения по Лапласу
sf на функцию-оригинал
sf (таблица 2.2).
tf .
tf и их изо-
Для прямого и обратного преобразований Лапласа выполняется
принцип суперпозиции, то есть преобразование Лапласа для суммы некоторых функций равно сумме преобразований Лапласа для отдельных
функций.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]