Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы научных вычислений. Введение в численные методы для физиков и инженеров
.pdf
Узлы и веса некоторых квадратурных формул Гаусса–Кристоффеля 231
Таблица A.10. Продолжение
M Уз лы zm, Веса wm, wmexp(zm) C(M)
m =1, ..., M m =1, ..., M m =1, ..., M
8
9
10
0.170280
0.903702
2.251087
4.266700
7.045905
10.758516
15.740679
22.863132
0.152322
0.807220
2.005135
3.783474
6.204957
9.372985
13.466237
18.833598
26.374072
0.137793
0.729455
1.808343
3.401433
5.552496
8.330153
11.843786
16.279258
21.996586
29.920697
3.691886e − 01
4.187868e − 01
1.757950e − 01
3.334349e − 02
2.794536e − 03
9.076509e − 05
8.485747e − 07
1.048001e − 09
3.361264e − 01
4.112140e − 01
1.992875e − 01
4.746056e − 02
5.599627e − 03
3.052498e − 04
6.592123e − 06
4.110769e − 08
3.290874e − 11
3.084411e − 01
4.011110e − 01
2.180683e − 01
6.208746e − 02
9.501517e − 03
7.530084e − 04
2.825923e − 05
4.249314e − 07
1.839565e − 09
9.911827e − 13
0.437723
1.033869
1.669710
2.376925
3.208541
4.268576
5.818083
8.906226
0.391431
0.921805
1.480128
2.086771
2.772921
3.591626
4.648766
6.212275
9.363218
0.354010
0.831902
1.330289
1.863064
2.450256
3.122764
3.934153
4.992415
6.572202
9.784696
7.7e − 05
2.1e − 05
5.4e − 06
232 Приложение A
10) ρ(x)=exp(−x2), c = −∞, d = ∞
Соответствующие ортогональные полиномы: полиномы Эрмита H
(x).
M
Таблица A.11.
M Уз лы zm, Веса wm, wmexp(z
2
) C(M)
m
m =1, ..., M m =1, ..., M m =1, ..., M
2
3
4
5
6
−0.707107
0.707107
−1.224745
0.000000
1.224745
−1.650680
−0.524648
0.524648
1.650680
−2.020183
−0.958572
0.000000
0.958572
2.020183
−2.350605
−1.335849
−0.436077
0.436077
1.335849
2.350605
8.862269e − 01
8.862269e − 01
2.954090e − 01
1.181636e +00
2.954090e − 01
8.131284e − 02
8.049141e − 01
8.049141e − 01
8.131284e − 02
1.995324e − 02
3.936193e − 01
9.453087e − 01
3.936193e − 01
1.995324e − 02
4.530010e − 03
1.570673e − 01
7.246296e − 01
7.246296e − 01
1.570673e − 01
4.530010e − 03
1.461141
1.461141
1.323931
1.181636
1.323931
1.240226
1.059964
1.059964
1.240226
1.181489
0.986581
0.945309
0.986581
1.181489
1.136908
0.935581
0.876401
0.876401
0.935581
1.136908
3.7e − 02
1.8e − 03
6.6e − 05
1.8e − 06
4.2e − 08
ПРИЛОЖЕНИЕ B
Преобразование некоторых
регулярных областей интегрирования
впрямоугольныеобласти
1. Круг S : x2+ y2 R2,
2π
R
S
2. Эллипс S :
f(x, y) dx dy = ab
S
f(x, y) dx dy =
2
2
y
x
+
2
a
1,
2
b
rf(r cos ϕ, r sin ϕ) dr dϕ.
0
0
2π
1
rf(ar cos ϕ, br sin ϕ) dr dϕ.
0
0
y
b
x
234 Приложение B
3. Сфера S : x2+ y2+ z2 R2,
π
2π
f(x, y, z) dx dy dz =
S
4. Эллипсоид S :
2
x
+
2
a
R
r2sin θ ·f
0
0
0
2
2
y
z
+
2
b
1,
2
c
f(x, y, z) dx dy dz =
= abc
S
π
2π
1
r2sin θ · f
0
0
0
⎛
ar sin θ ·cos ϕ,
⎜
br sin θ ·sin ϕ,
⎝
cr cos θ
⎛
r sin θ ·cos ϕ,
⎜
r sin θ ·sin ϕ,
⎝
r cos θ
⎞
⎟
⎠
dr dϕ dθ.
⎞
⎟
dr dϕ dθ.
⎠
5. Круговой цилиндр S : x
f(x, y, z) dx dy dz =
S
6. Эллиптический цилиндр S :
f(x, y, z) dx dy dz = ab
S
2
+ y2 R2, 0 z d,
d
2π
R
rf(r cos ϕ, r sin ϕ, z) dr dϕ dz.
0
0
0
2
2
y
x
+
2
a
d
2π
1
1, 0 z d,
2
b
rf(ar cos ϕ, br sin ϕ, z) dr dϕ dz.
0
0
0
ПРИЛОЖЕНИЕ C
Условия устойчивости для некоторых
разностных схем Рунге–Кутта,
Адамса и предиктор-корректор
Это приложение содержит информацию об областях устойчивости
различных разностных схем для модельного уравнения
du
= −γu, γ > 0,x 0,
dx
u(0) = α.
Условие устойчивости имеет вид γh β,иследующаятаблица представляет значения параметра β.Знак∞ означает безусловную
устойчивость.
Порядок аппроксимации, p 1 2 3 4
p-стадийная явная схема Рунге–Кутта 2 2 ≈ 2.512 ≈ 2.785
Явная схема Адамса 2 1 ≈ 0.54 ≈ 0.3
Неявная схема Адамса ∞ ∞ ≈ 6 ≈ 3
Схема предиктор-корректор 2 ≈ 1.72 ≈ 1.41
ПРИЛОЖЕНИЕ D
Краткий обзор программного
обеспечения
В этом приложении приводится некоторая информация о библиотеках программ, широко используемых на практике. Здесь приводится
только краткое описание вычислительных процедур, имеющих отношение к темам, рассмотренным в этой книге. Более подробную информацию можно найти в соответствующей документации.
Библиотека подпрограмм LAPACK для задач линейной
алгебры
LAPACK ( Linea r Alge bra PAC Kage ) предста вляе т собой би блио теку подпрограмм для решения наиболее часто встречающихся задач линейной алгебры. Имеются две версии этой библиотеки: на
языках Fortran 77(90) и C. Библиотека LAPACK не является коммерческим продуктом и может быть загружена из архива Netlib
(www.netlib.org/lapack). Она включает в себя подпрограммы для
• решения систем линейных уравнений;
• нахождения решения переопределённых систем линейных уравне-
ний в смысле наименьших квадратов;
• решения задач на собственное значение.
Подпрограммы в библиотеке LAPACK подразделяются на три типа:
Подпрограммы верхнего уровня
• решают некоторую задачу, такую как, например, нахождение решения системы линейных уравнений или собственных значений матрицы.
Краткий обзор программного обеспечения 237
Подпрограммы верхнего уровня с дополнительными возможно-
стями
• обеспечивают больше возможностей/информации по сравнению с
подпрограммами верхнего уровня. Например, они позволяют оценить точность полученного решения или сбалансировать матрицу
для повышения точности.
Подпрограммы нижнего уровня
• вызываются подпрограммами верхнего уровня и выполняют определённые вычислительные процедуры, такие как, например, LUразложение или приведение вещественной симметричной матрицы
к трёхдиагональной матрице.
Ниже приведены основные имена подпрограмм. Реальные имена об-
разуются следующим образом: (приставка)(основное имя), где приставка
принимает одно из следующих значений:
s — вещественные значения, одинарная точность;
d — вещественные значения, двойная точность;
c — комплексные значения, одинарная точность;
z — комплексные значения, двойная точность.
Подпрограммы верхнего уровня для решения систем линейных
уравнений
gesv — решение систем линейных уравнений с матрицей общего
вида
gbsv — решение систем линейных уравнений с ленточной матрицей
общего вида
gtsv — решение систем линейных уравнений с трёхдиагональной
матрицей общего вида
posv — решение систем линейных уравнений с симметричной/Эр-
митовой положительно-определённой матрицей
ppsv — решение систем линейных уравнений с симметричной/Эр-
митовой положительно-определённой матрицей (хранение в упакованном
виде)
pbsv — решение систем линейных уравнений с симметричной/Эр-
митовой положительно-определённой ленточной матрицей
ptsv — решение систем линейных уравнений с симметричной/Эр-
митовой положительно-определённой трёхдиагональной матрицей
238 Приложение D
sysv/hesv — решение систем линейных уравнений с симметричной/
Эрмитовой/ комплексной неопределённой матрицей
spsv/hpsv — решение систем линейных уравнений с симметричной/
Эрмитовой/ комплексной неопределённой матрицей (хранение в упакованном виде)
Подпрограммы верхнего уровня с дополнительными
возможностями для решения систем линейных уравнений
gesvx — решение систем линейных уравнений с матрицей общего
вида. Обеспечиваются оценки числа обусловленности и ошибки полученного решения
gbsvx — решение систем линейных уравнений с ленточной мат-
рицей общего вида. Обеспечиваются оценки числа обусловленности и
ошибки полученного решения
gtsvx — решение систем линейных уравнений с трёхдиагональной
матрицей общего вида. Обеспечиваются оценки числа обусловленности
и ошибки полученного решения
posvx — решение систем линейных уравнений с симметричной/Эр-
митовой положительно-определённой матрицей. Обеспечиваются оценки
числа обусловленности и ошибки полученного решения
ppsvx — решение систем линейных уравнений с симметричной/Эр-
митовой положительно-определённой матрицей (хранение в упакованном
виде). Обеспечиваются оценки числа обусловленности и ошибки полученного решения
pbsvx — решение систем линейных уравнений с симметричной/Эр-
митовой положительно-определённой ленточной матрицей. Обеспечиваются оценки числа обусловленности и ошибки полученного решения
ptsvx — решение систем линейных уравнений с симметричной/Эр-
митовой положительно-определённой трёхдиагональной матрицей. Обеспечиваются оценки числа обусловленности и ошибки полученного решения
sysvx/hesvx — решение систем линейных уравнений с симметрич-
ной/ Эрмитовой/комплексной неопределённой матрицей. Обеспечиваются оценки числа обусловленности и ошибки полученного решения
spsvx/hpsvx — решение систем линейных уравнений с симмет-
ричной/ Эрмитовой/комплексной неопределённой матрицей (хранение в
упакованном виде). Обеспечиваются оценки числа обусловленности и
ошибки полученного решения
Краткий обзор программного обеспечения 239
Подпрограммы верхнего уровня для стандартной задачи
на собственное значение
syev/heev — вычисление всех собственных значений и (если тре-
буется) собственных векторов вещественной симметричной/Эрмитовой
матрицы
spev/hpev — вычисление всех собственных значений и (если тре-
буется) собственных векторов вещественной симметричной/Эрмитовой
матрицы (хранение в упакованном виде)
sbev/hbev — вычисление всех собственных значений и (если тре-
буется) собственных векторов вещественной симметричной/Эрмитовой
ленточной матрицы
stev — вычисление всех собственных значений и (если требует-
ся) собственных векторов вещественной симметричной трёхдиагональной матрицы
gees — вычисление собственных значений, формы Шура и (если
требуется) матрицы векторов Шура несимметричной матрицы
geev — вычисление собственных значений и (если требуется) левых
и/или правых собственных векторов несимметричной матрицы
syevd/heevd — вычисление всех собственных значений и (если тре-
буется) собственных векторов вещественной симметричной/Эрмитовой
матрицы. Для вычисления собственных векторов используется алгоритм
«разделяй и властвуй»
spevd/hpevd — вычисление всех собственных значений и (если тре-
буется) собственных векторов вещественной симметричной/Эрмитовой
матрицы (хранение в упакованном виде). Для вычисления собственных
векторов используется алгоритм «разделяй и властвуй»
sbevd/hbevd — вычисление всех собственных значений и (если тре-
буется) собственных векторов вещественной симметричной/Эрмитовой
ленточной матрицы. Для вычисления собственных векторов используется алгоритм «разделяй и властвуй»
stevd — вычисление всех собственных значений и (если требует-
ся) собственных векторов вещественной симметричной трёхдиагональной матрицы. Для вычисления собственных векторов используется алгоритм «разделяй и властвуй»
Подпрограммы верхнего уровня с дополнительными
возможностями для стандартной задачи на собственное значение
syevx/heevx — вычисление всех собственных значений и (если тре-
буется) собственных векторов вещественной симметричной/Эрмитовой
240 Приложение D
матрицы. Требуемые собственные значения и вектора могут быть выбраны по заданному итервалу величин или интервалу номеров
spevx/hpevx — вычисление всех собственных значений и (если тре-
буется) собственных векторов вещественной симметричной/Эрмитовой
матрицы (хранение в упакованном виде). Требуемые собственные значения и вектора могут быть выбраны по заданному итервалу величин или
интервалу номеров
sbevx/hbevx — вычисление всех собственных значений и (если тре-
буется) собственных векторов вещественной симметричной/Эрмитовой
ленточной матрицы. Требуемые собственные значения и вектора могут
быть выбраны по заданному итервалу величин или интервалу номеров
stevx — вычисление всех собственных значений и (если требует-
ся) собственных векторов вещественной симметричной трёхдиагональной матрицы. Требуемые собственные значения и вектора могут быть
выбраны по заданному итервалу величин или интервалу номеров
geesx — вычисление собственных значений, формы Шура и (если
требуется) матрицы векторов Шура несимметричной матрицы. Дополнительно можно расположить собственные значения на диагонали формы
Шура таким образом, что требуемые собственные значения расположены
влевомверхнемуглу
geevx — вычисление собственных значений и (если требуется) ле-
вых и/или правых собственных векторов несимметричной матрицы. Дополнительно можно осуществить балансировку матрицы для улуч-шения
обусловленности и вычислить обратное число обусловленности для собственных значений и векторов
Подпрограммы верхнего уровня для обобщённой задачи
на собственное значение
sygv/hegv — вычисление всех собственных значений и (если
требуется) собственных векторов для обобщенной проблемы на собственное значение вида Ax=λMx,гдеA и M — вещественные симметричные/Эрмитовые матрицы и матрица M также положительноопределённая
spgv/hpgv — вычисление всех собственных значений и (если требу-
ется) собственных векторов для обобщённой проблемы на собственное
значение вида Ax=λMx,гдеA и M — вещественные симметричные/
Эрмитовые матрицы и матрица M также положительно-определённая
(хранение в упакованном виде)
sbgv/hbgv — вычисление всех собственных значений и (если тре-
буется) собственных векторов для обобщённой проблемы на собствен-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]