Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы научных вычислений. Введение в численные методы для физиков и инженеров
.pdf
7.2. Приближение функций и представление данных 221
2
1.8
1.6
1.4
1.2
Si x(),
1
P x()
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Рис. 7.10. Аппроксимация функции Si(x) интерполяционным полиномом Лагранжа с оптимальными узлами интерполяции:
ционный полином
x
— Si(x); • — интерполя-
10
ПРИМЕР 7.10 (ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛАГРАНЖА). Рас-
смотрим специальную функцию
x
0
sin(t)
dt для x ∈ [0, 10].
t
Si(x)=
Вычисление значений этой функции требует значительных вычислительных затрат. Для того чтобы уменьшить эти затраты, можно построить интерполяционный полином, аппроксимирующий данную функцию. Зададим, например, семь узлов интерполирования, определяемых
по формуле (7.23) (N =6, a =0, b =10):
x0≈ 0.096074, x1≈ 0.842652, x2≈ 2.222149, x3≈ 4.024548,
x4≈ 5.975452, x5≈ 7.777851, x6≈ 9.157348.
Теперь мы можем построить интерполяционный полином Лагранжа (7.2), принимающий в этих точках значения y
= Si(xn).Нари-
n
сунке 7.10 показаны графики полученного интерполяционного полинома
ифункцииSi(x). Легко видеть, что этот полином даёт хорошее прибли-
жение функции Si(x) на отрезке x ∈ [0, 9].
ПРИЛОЖЕНИЕ A
Узлы и веса некоторых квадратурных
формул Гаусса–Кристоффеля
Это приложение содержит узлы и веса квадратурных формул
Гаусса–Кристоффеля (5.14) для интегралов вида (5.13) с весовыми функциями, приведёнными в (5.17).
1) ρ(x)=1, c = −1, d =1
Соответствующие ортогональные полиномы: полиномы Лежандра
P
(x), PM(1) = 1.
M
Таблица A.1.
M Уз лы zm, Веса wm, C (M )
m =1, ..., M m =1, ..., M
2
3
4
5
−0.577350
0.577350
−0.774597
0.000000
0.774597
−0.861136
−0.339981
0.339981
0.861136
−0.906180
−0.538469
0.000000
0.538469
0.906180
1.000000
1.000000
0.555556
0.888889
0.555556
0.347855
0.652145
0.652145
0.347855
0.236927
0.478629
0.568889
0.478629
0.236927
7.4e − 03
6.3e − 05
2.9e − 07
8.1e − 10
Узлы и веса некоторых квадратурных формул Гаусса–Кристоффеля 223
2) ρ(x)=xk, c =0, d =1
Соответствующие ортогональные полиномы:
(k,0)
где P
Таблица A.2. k =1
(x) — полиномы Якоби.
M
M Уз л ы zm, Веса wm, C(M)
1 0.666667 0.500000 1.4e − 02
2
3
4
5
q
(x)=√k +2M +1P
M
(k,0)
M
m =1, ..., M m =1, ..., M
0.355051
0.844949
0.212334
0.590533
0.911412
0.139760
0.416410
0.723157
0.942896
0.098535
0.304536
0.562025
0.801987
0.960190
0.181959
0.318041
0.069827
0.229241
0.200932
0.031181
0.129848
0.203465
0.135507
0.015748
0.073909
0.146387
0.167175
0.096782
(1 −2x),
6.9e − 05
1.4e − 07
1.6e − 10
1.1e − 13
224 Приложение A
Таблица A.3. k =2
M
1 0.750000 0.333333 6.3e − 03
2
3
4
5
Таблица A.4. k =3
M Узл ы zm, Веса wm, C(M )
1 0.800000 0.250000 3.3e − 03
2
3
4
5
Узл ы zm, Веса wm, C(M )
m =1, ..., M m =1,...,M
0.455848
0.877485
0.294998
0.652996
0.927006
0.204149
0.482953
0.761399
0.951499
0.148946
0.365667
0.610114
0.826520
0.965421
m =1, ..., M m =1,...,M
0.529858
0.898713
0.363265
0.698811
0.937924
0.261478
0.535846
0.790283
0.957847
0.196212
0.417100
0.648570
0.845605
0.969436
0.101786
0.232547
0.029951
0.146246
0.157136
0.010352
0.068634
0.143459
0.110888
0.004114
0.032056
0.089200
0.126199
0.081765
0.066905
0.183095
0.016479
0.104600
0.128921
0.004658
0.042542
0.109004
0.093796
0.001521
0.016957
0.060445
0.100317
0.070761
2.6e − 05
4.9e − 08
5.1e − 11
3.4e − 14
1.2e − 05
2.0e − 08
1.9e − 11
1.2e − 14
Узлы и веса некоторых квадратурных формул Гаусса–Кристоффеля 225
Таблица A.5. k =4
M
1 0.833333 0.200000 2.0e − 03
2
3
4
5
Таблица A.6. k =5
M Узл ы zm, Веса wm, C(M )
1 0.857143 0.166667 1.3e − 03
2
3
4
5
Узл ы zm, Веса wm, C(M )
m =1, ..., M m =1,...,M
0.586337
0.913663
0.420113
0.733889
0.945998
0.312135
0.578916
0.812892
0.962724
0.239792
0.460937
0.680059
0.860886
0.972614
m =1, ..., M m =1,...,M
0.630792
0.924764
0.467983
0.761624
0.952211
0.356894
0.614669
0.831079
0.966589
0.279693
0.498710
0.706334
0.873403
0.975194
0.049082
0.150918
0.010469
0.080277
0.109254
0.002516
0.029169
0.087068
0.081247
0.000697
0.010211
0.044024
0.082713
0.062355
0.038338
0.128329
0.007297
0.064597
0.094773
0.001534
0.021428
0.072056
0.071647
0.000370
0.006730
0.033768
0.070071
0.055728
5.9e − 06
8.8e − 09
7.8e − 12
4.6e − 15
3.2e − 06
4.3e − 09
3.5e − 12
4.6e − 15
226 Приложение A
3) ρ(x)=√1 − x, c =0, d =1
Соответствующие ортогональные полиномы:
Таблица A.7.
√
1
1 −x
P
2M+1
(√1 −x) ,P
2M+1
(1) = 1.
M Уз л ы zm, Веса wm, C(M)
m =1, ..., M m =1, ..., M
1 0.400001 0.666664 2.3e − 02
2
0.710051
0.178839
0.835289
3
0.450131
0.099195
0.894859
4
0.623776
0.301052
0.062666
0.927347
0.730539
5
0.466878
0.213121
0.043069
0.277555
0.389108
0.125782
0.307601
0.233279
0.065680
0.196095
0.252527
0.152361
0.038186
0.125672
0.198630
0.197632
0.106540
1.2e − 04
2.6e − 07
2.9e − 10
2.0e − 13
Узлы и веса некоторых квадратурных формул Гаусса–Кристоффеля 227
4) ρ(x)=
1
, c =0, d =1
1
Ü
Соответствующие ортогональные полиномы:
P
(√1 −x) ,P2M(1) = 1.
2M
Таблица A.8.
M
Узл ы zm, Веса wm, C(M)
m =1, ..., M m =1, ..., M
1 0.666667 2.000000 8.9e − 02
2
0.884412
0.223599
0.943061
3
0.562802
0.130501
0.966352
4
0.723816
0.355323
0.077843
0.977837
0.812169
5
0.538402
0.251666
0.051505
1.304290
0.695708
0.935828
0.721524
0.342648
0.725368
0.627414
0.444762
0.202458
0.591048
0.538534
0.438172
0.298902
0.133342
4.8e − 04
1.0e − 06
1.1e − 09
8.1e − 13
228 Приложение A
5) ρ(x)=
1
, c = −1, d =1
2
1
Ü
Соответствующие ортогональные полиномы: полиномы Чебышева
первого рода
2
1
M−1
.
Узл ы : z
Веса: w
m
m
=cos
=
π(2m − 1)
π
,m=1, ..., M.
m
T
(x) ,TM(1) =
M
2M
,m=1, ..., M.
M C(M)
1 7.9e − 01
2 1.6e − 02
3 1.4e − 04
4 6.1e − 07
5 1.7e − 09
6) ρ(x)=√1 − x2, c = −1, d =1
Соответствующие ортогональные полиномы: полиномы Чебышева
второго рода
sin ((M + 1) arccos(x))
(x)=
sin (arccos(x))
M +1
sin
,m=1, ..., M.
π(m +1)
2
M +1
.
,m=1, ..., M.
Узл ы : z
Веса: w
m
m
=cos
=
M +1
∗
T
M
π(m +1)
π
M C(M)
1 2.0e − 01
2 4.1e − 03
3 3.4e − 05
4 1.5e − 07
5 4.2e − 10
Узлы и веса некоторых квадратурных формул Гаусса–Кристоффеля 229
$
7) ρ(x)=
Ü
, c =0, d =1
1
Ü
Соответствующие ортогональные полиномы:
1
T
(√x).
2M+1
,m=1, ..., M.
Узл ы : z
Веса: w
m
m
=cos
=
2M +1
√
x
π(2m − 1)
2
2(2M +1)
2π
zm, m =1, ..., M.
M C(M)
1 4.9e − 02
2 2.6e − 04
3 5.3e − 07
4 5.9e − 10
5 4.1e − 13
8) ρ(x)=−ln(x), c =0, d =1
Соответствующие ортогональные полиномы: полиномы ортогональные с весовой функцией −ln(x).
Таблица A.9.
M
Узл ы zm, Веса wm, C (M )
m =1, ..., M m =1, ..., M
2
0.112009
0.602277
0.063891
3
0.368997
0.766880
0.041448
4
0.245275
0.556165
0.848982
0.718539
0.281461
0.513405
0.391980
0.094615
0.383464
0.386875
0.190435
0.039225
1.2e − 04
2.4e − 07
2.5e − 10
230 Приложение A
9) ρ(x)=exp(−x), c =0, d = ∞
Соответствующие ортогональные полиномы: полиномы Лагерра
L
(x).
M
Таблица A.10.
M Уз лы zm, Веса wm, wmexp(zm) C(M)
m =1, ..., M m =1, ..., M m =1, ..., M
2
3
4
5
6
7
0.585786
3.414214
0.415775
2.294280
6.289945
0.322548
1.745761
4.536620
9.395071
0.263560
1.413403
3.596426
7.085810
12.640801
0.222847
1.188932
2.992736
5.775144
9.837467
15.982874
0.193044
1.026665
2.567877
4.900353
8.182153
12.734180
19.395728
8.535533e − 01
1.464466e − 01
7.110930e − 01
2.785177e − 01
1.038926e − 02
6.031541e − 01
3.574187e − 01
3.888790e − 02
5.392947e − 04
5.217556e − 01
3.986668e − 01
7.594245e − 02
3.611759e − 03
2.336997e − 05
4.589647e − 01
4.170008e − 01
1.133734e − 01
1.039920e − 02
2.610172e − 04
8.985479e − 07
4.093190e − 01
4.218313e − 01
1.471263e − 01
2.063351e − 02
1.074010e − 03
1.586546e − 05
3.170315e − 08
1.533326
4.450957
1.077693
2.762143
5.601095
0.832739
2.048102
3.631146
6.487145
0.679094
1.638488
2.769443
4.315657
7.219186
0.573536
1.369253
2.260685
3.350525
4.886827
7.849016
0.496478
1.177643
1.918250
2.771849
3.841249
5.380678
8.405432
1.6e − 01
5.0e − 02
1.4e − 02
4.0e − 03
1.1e − 03
2.9e − 04
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]