Пример 2. Расчет U-статистики в Excel

Задача. Были обследованы 57 пациента с раком груди на разных стадиях,

26 и 31 в выборках. Были взяты определенные показатели – уровень некоторого

цитокина в крови. Необходимо с помощью U-критерия исследовать, различается ли уровень этого цитокина при разных стадиях рака.

Решение (Рис. 21).

1. Формулируем гипотезы H0: две совокупности, которым принадлежат выборки, равны H1: две совокупности, которым принадлежат выборки, не равны

Рис. 21. Расчет U-статистики в Excel

2. Ранжируем данные с помощью функции РАНГ.СР(A3;$A$3:$B$33;1) со следующими аргументами:

• A3 – адрес ячейки, значение которое мы ранжируем.

• $A$3:$B$33 – диапазон, на основе которого вычисляется ранг. Удобнее

задавать в абсолютных ссылках, чтобы можно было распространить формулу на другие ячейки.

• 1 – порядок сортировки при ранжировании по возрастанию.

51

3. Вычисляем параметры согласно приведенным выше формулам:

n

26

=СЧЁТЕСЛИ(A3:A33; "<>")

m

31

=СЧЁТЕСЛИ(B3:B33; "<>")

R1

503

=СУММ(E3:E28)

R2

1150

=СУММ(F3:F33)

U1

654

=L4*L5+L4*(L4+1)/2-L7

U2

152

=L4*L5+L5*(L5+1)/2+L8

U

152

=МИН(L10:L11)

Проверка U1 + n m

806

α

0,05

Медиана

μ

403

=L4*L5/2

Станд. Отклонение

σ2

3895,666667

=L4*L5*(L4+L5+1)/12

Дисперсия

s

62,41527591

=КОРЕНЬ(L22)

=L21+L23*НОРМ.СТ.ОБР(L20)z-статистика

z

–4,02145142

=(L14-L21)/L23

p

0,000029

=НОРМ.СТ.РАСП(L23;1)

решение

yes

=ЕСЛИ(L24<L20;"yes";"no")

4. Проводим проверку ранжирования:

5. Вычисляем параметры нормального распределения для U-статистики,

, вычисляем p:

U

крит

U_крит

U2

299,836007

806

0,5

6. Принимаем решение.

Так как U < U

тернативная гипотеза. Этот вывод подтверждается тем, что значение p, которое меньше α. Таким образом, у больных на разных уровнях рака уровень этого цитокина отличается с уровнем значимости 0.05.

, то нулевая гипотеза отклоняется, и принимается аль-

крит

52

Приложение 1. Таблица значений функции Лапласа

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

0,00

0,0000

0,32

0,1255

0,64

0,2389

0,96

0,3315

0,01

0,0040

0,33

0,1293

0,65

0,2422

0,97

0,3340

0,02

0,0080

0,34

0,1331

0,66

0,2454

0,98

0,3365

0,03

0,0120

0,35

0,1368

0,67

0,2486

0,99

0,3389

0,04

0,0160

0,36

0,1406

0,68

0,2517

1,00

0,3413

0,05

0,0199

0,37

0,1443

0,69

0,2549

1,01

0,3438

0,06

0,0239

0,38

0,1480

0,70

0,2580

1,02

0,3461

0,07

0,0279

0,39

0,1517

0,71

0,2611

1,03

0,3485

0,08

0,0319

0,40

0,1554

0,72

0,2642

1,04

0,3508

0,09

0,0359

0,41

0,1591

0,73

0,2673

1,05

0,3531

0,10

0,0398

0,42

0,1628

0,74

0,2703

1,06

0,3554

0,11

0,0438

0,43

0,1664

0,75

0,2734

1,07

0,3577

0,12

0,0478

0,44

0,1700

0,76

0,2764

1,08

0,3599

0,13

0,0517

0,45

0,1736

0,77

0,2794

1,09

0,3621

0,14

0,0557

0,46

0,1772

0,78

0,2823

1,10

0,3643

0,15

0,0596

0,47

0,1808

0,79

0,2852

1,11

0,3665

0,16

0,0636

0,48

0,1844

0,80

0,2881

1,12

0,3686

0,17

0,0675

0,49

0,1879

0,81

0,2910

1,13

0,3708

0,18

0,0714

0,50

0,1915

0,82

0,2939

1,14

0,3729

0,19

0,0753

0,51

0,1950

0,83

0,2967

1,15

0,3749

0,20

0,0793

0,52

0,1985

0,84

0,2995

1,16

0,3770

0,21

0,0832

0,53

0,2019

0,85

0,3023

1,17

0,3790

0,22

0,0871

0,54

0,2054

0,86

0,3051

1,18

0,3810

0,23

0,0910

0,55

0,2088

0,87

0,3078

1,19

0,3830

0,24

0,0948

0,56

0,2123

0,88

0,3106

1,20

0,3849

0,25

0,0987

0,57

0,2157

0,89

0,3133

1,21

0,3869

0,26

0,1026

0,58

0,2190

0,90

0,3159

1,22

0,3883

0,27

0,1064

0,59

0,2224

0,91

0,3186

1,23

0,3907

0,28

0,1103

0,60

0,2257

0,92

0,3212

1,24

0,3925

0,29

0,1141

0,61

0,2291

0,93

0,3238

1,25

0,3944

0,30

0,1179

0,62

0,2324

0,94

0,3264

1,26

0,3962

0,31

0,1217

0,63

0,2357

0,95

0,3289

1,27

0,3980

1,28

0,3997

1,60

0,4452

1,92

0,4726

2,48

0,4934

1,29

0,4015

1,61

0,4463

1,93

0,4732

2,50

0,4938

1,30

0,4032

1,62

0,4474

1,94

0,4738

2,52

0,4941

1,31

0,4049

1,63

0,4484

1,95

0,4744

2,54

0,4945

1,32

0,4066

1,64

0,4495

1,96

0,4750

2,56

0,4948

1,33

0,4082

1,65

0,4505

1,97

0,4756

2,58

0,4951

53

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

1,34

0,4099

1,66

0,4515

1,98

0,4761

2,60

0,4953

1,35

0,4115

1,67

0,4525

1,99

0,4767

2,62

0,4956

1,36

0,4131

1,68

0,4535

2,00

0,4772

2,64

0,4959

1,37

0,4147

1,69

0,4545

2,02

0,4783

2,66

0,4961

1,38

0,4162

1,70

0,4554

2,04

0,4793

2,68

0,4963

1,39

0,4177

1,71

0,4564

2,06

0,4803

2,70

0,4965

1,40

0,4192

1,72

0,4573

2,08

0,4812

2,72

0,4967

1,41

0,4207

1,73

0,4582

2,10

0,4821

2,74

0,4969

1,42

0,4222

1,74

0,4591

2,12

0,4830

2,76

0,4971

1,43

0,4236

1,75

0,4599

2,14

0,4838

2,78

0,4973

1,44

0,4251

1,76

0,4608

2,16

0,4846

2,80

0,4974

1,45

0,4265

1,77

0,4616

2,18

0,4854

2,82

0,4976

1,46

0,4279

1,78

0,4625

2,20

0,4861

2,84

0,4977

1,47

0,4292

1,79

0,4633

2,22

0,4868

2,86

0,4979

1,48

0,4306

1,80

0,4641

2,24

0,4875

2,88

0,4980

1,49

0,4319

1,81

0,4649

2,26

0,4881

2,90

0,4981

1,50

0,4332

1,82

0,4656

2,28

0,4887

2,92

0,4982

1,51

0,4345

1,83

0,4664

2,30

0,4893

2,94

0,4984

1,52

0,4357

1,84

0,4671

2,32

0,4898

2,96

0,4985

1,53

0,4370

1,85

0,4678

2,34

0,4904

2,98

0,4986

1,54

0,4382

1,86

0,4686

2,36

0,4909

3,00

0,4987

1,55

0,4394

1,87

0,4693

2,38

0,4913

3,20

0,4993

1,56

0,4406

1,88

0,4699

2,40

0,4918

3,40

0,4997

1,57

0,4418

1,89

0,4706

2,42

0,4922

3,60

0,49984

1,58

0,4429

1,90

0,4713

2,44

0,4927

3,80

0,49993

1,59

0,4441

1,91

0,4719

2,46

0,4931

4,00

0,49997

4,50

0,50000

5,00

0,50000

Примечание. Значение функции Лапласа можно вычислить самостоя-

тельно с помощью встроенной функции НОРМ.СТ.РАСП. Для вычисления обратной функции Лапласа можно воспользоваться функцией НОРМ.СТ.ОБР.

Например, для x = 0.19 вызов этой функции будет иметь вид: НОРМ.СТ.РАСП(0.19, ИСТИНА) – 0.5 = 0,0753 НОРМ.СТ.ОБР(0,0753+0,5) = 0,1899 ≈ 0,19

54

Приложение 2. Критические точки распределения Стьюдента

Число степеней

Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)

0.10

0.05

0.02

0.01

0.002

0.001

1

6.31

12.7

31.82

63.7

318.3

637.0

2

2.92

4.30

6.97

9.92

22.33

31.6

3

2.35

3.18

4.54

5.84

10.22

12.9

4

2.13

2.78

3.75

4.60

7.17

8.61

5

2.01

2.57

3.37

4.03

5.89

6.86

6

1.94

2.45

3.14

3.71

5.21

5.96

7

1.89

2.36

3.00

3.50

4.79

5.40

8

1.86

2.31

2.90

3.36

4.50

5.04

9

1.83

2.26

2.82

3.25

4.30

4.78

10

1.81

2.23

2.76

3.17

4.14

4.59

11

1.80

2.20

2.72

3.11

4.03

4.44

12

1.78

2.18

2.68

3.05

3.93

4.32

13

1.77

2.16

2.65

3.01

3.85

4.22

14

1.76

2.14

2.62

2.98

3.79

4.14

15

1.75

2.13

2.60

2.95

3.73

4.07

16

1.75

2.12

2.58

2.92

3.69

4.01

17

1.74

2.11

2.57

2.90

3.65

3.95

18

1.73

2.10

2.55

2.88

3.61

3.92

19

1.73

2.09

2.54

2.86

3.58

3.88

20

1.73

2.09

2.53

2.85

3.55

3.85

21

1.72

2.08

2.52

2.83

3.53

3.82

22

1.72

2.07

2.51

2.82

3.51

3.79

23

1.71

2.07

2.50

2.81

3.59

3.77

24

1.71

2.06

2.49

2.80

3.47

3.74

25

1.71

2.06

2.49

2.79

3.45

3.72

26

1.71

2.06

2.48

2.78

3.44

3.71

27

1.71

2.05

2.47

2.77

3.42

3.69

28

1.70

2.05

2.46

2.76

3.40

3.66

29

1.70

2.05

2.46

2.76

3.40

3.66

свободы k

55

Число степеней

свободы k

Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)

0.10

0.05

0.02

0.01

0.002

0.001

30

1.70

2.04

2.46

2.75

3.39

3.65

40

1.68

2.02

2.42

2.70

3.31

3.55

60

1.67

2.00

2.39

2.66

3.23

3.46

120

1.66

1.98

2.36

2.62

3.17

3.37

∞

1.64

1.96

2.33

2.58

3.09

3.29

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

0.0005 Уровень значимости α (односторонняя критическая область)

Для более точного вычисления критических точек можно воспользовать-

ся встроенными функциями Excel – СТЬЮДЕНТ.ОБР и СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х.

Для числа степеней k = 6 и уровне значимости 0.05 для левого критиче-

ского интервала и для двустороннего интервала получаем следующие значения:

СТЬЮДЕНТ.ОБР(0.05;6) = –1,943180281 СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0.05;6) = 2,446911851 Обратите внимание. Функция СТЬЮДЕНТ.ОБР возвращает значение

критической точки левого интервала, то есть это всегда отрицательная величина. В таблице указаны критические точки для правого интервала.

Для получения правой критической точки нужно вызвать функцию

СТЬЮДЕНТ.ОБР(1 – α; k).

56

Приложение 3. Критические точки 

Число степеней свободы k

Уровень значимости a

0,01

0,025

0.05

0,95

0,975

0.99

1

6.6

5.0

3.8

0.0039

0.00098

0.00016

2

9.2

7.4

6.0

0.103

0.051

0.020

3

11.3

9.4

7.8

0.352

0.216

0.115

4

13.3

11.1

9.5

0.711

0.484

0.297

5

15.1

12.8

11.1

1.15

0.831

0.554

6

16.8

14.4

12.6

1.64

1.24

0.872

7

18.5

16.0

14.1

2.17

1.69

1.24

8

20.1

17.5

15.5

2.73

2.18

1.65

9

21.7

19.0

16.9

3.33

2.70

2.09

10

23.2

20.5

18.3

3.94

3.25

2.56

11

24.7

21.9

19.7

4.57

3.82

3.05

12

26.2

23.3

21 .0

5.23

4.40

3.57

13

27.7

24.7

22.4

5.89

5.01

4.11

14

29.1

26.1

23.7

6.57

5.63

4.66

15

30.6

27.5

25.0

7.26

6.26

5.23

16

32.0

28.8

26.3

7.96

6.91

5.81

17

33.4

30.2

27.6

8.67

7.56

6.41

18

34.8

31.5

28.9

9.39

8.23

7.01

19

36.2

32.9

30.1

10.1

8.91

7.63

20

37.6

34.2

31.4

10.9

9.59

8.26

21

38.9

35.5

32.7

11.6

10.3

8.90

22

40.3

36.8

33.9

12.3

11.0

9.54

23

41.6

38.1

35.2

13.1

11.7

10.2

24

43.0

39.4

36.4

13.8

12.4

10.9

25

44.3

40.6

37.7

14.6

13.1

11.5

26

45.6

41.9

38.9

15.4

13.8

12.2

27

47.0

43.2

40.1

16.2

14.6

12.9

28

48.3

44.5

41.3

16.9

15.3

13.6

29

49.6

45.7

42.6

17.7

16.0

14.3

30

50.9

47.0

43.8

18.5

16.8

15.0



распределения

Значения критических точек также можно получить с помощью Excel

функции =ХИ2.ОБР.ПХ(уровень_значимость; число_степеней_свободы).

57

Приложение 4. Критические точки критерия Стьюдента

Число степеней свободы k

Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)

0,1

0,05

0,02

0,01

0,002

0,001

1

6,31

12,70

31,82

63,70

318,30

637,00

2

2,92

4,30

6,97

9,92

22,33

31,60

3

2,35

3,18

4,54

5,84

10,22

12,90

4

2,13

2,78

3,75

4,60

7,17

8,61

5

2,01

2,57

3,37

4,03

5,89

6,86

6

1,94

2,45

3,14

3,71

5,21

5,96

7

1,89

2,36

3,00

3,50

4,79

5,40

8

1,86

2,31

2,90

3,36

4,50

5,04

9

1,83

2,26

2,82

3,25

4,30

4,78

10

1,81

2,23

2,76

3,17

4,14

4,59

11

1,80

2,20

2,72

3,11

4,03

4,44

12

1,78

2,18

2,68

3,05

3,93

4,32

13

1,77

2,16

2,65

3,01

3,85

4,22

14

1,76

2,14

2,62

2,98

3,79

4,14

15

1,75

2,13

2,60

2,95

3,73

4,07

16

1,75

2,12

2,58

2,92

3,69

4,01

17

1,74

2,11

2,57

2,90

3,65

3,95

18

1,73

2,10

2,55

2,88

3,61

3,92

19

1,73

2,09

2,54

2,86

3,58

3,88

20

1,73

2,09

2,53

2,85

3,55

3,85

21

1,72

2,08

2,52

2,83

3,53

3,82

22

1,72

2,07

2,51

2,82

3,51

3,79

23

1,71

2,07

2,50

2,81

3,59

3,77

24

1,71

2,06

2,49

2,80

3,47

3,74

25

1,71

2,06

2,49

2,79

3,45

3,72

26

1,71

2,06

2,48

2,78

3,44

3,71

27

1,71

2,05

2,47

2,77

3,42

3,69

58

Число степеней свободы k

Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)

0,1

0,05

0,02

0,01

0,002

0,001

28

1,70

2,05

2,46

2,76

3,40

3,66

29

1,70

2,05

2,46

2,76

3,40

3,66

30

1,70

2,04

2,46

2,75

3,39

3,65

40

1,68

2,02

2,42

2,70

3,31

3,55

60

1,67

2,00

2,39

2,66

3,23

3,46

120

1,66

1,98

2,36

2,62

3,17

3,37

∞

1,64

1,96

2,33

2,58

3,09

3,29

Число степеней свободы k

0,05

0,025

0,01

0,005

0,001

0,0005

Уровень значимости α (односторонняя критическая область)

Значение критических точек критерия Стьюдента можно получить с по-

мощью Excel функций для двустороннего доверительного интервала СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(уровень_значимости; степени_свободы) и для левостороннего доверительного интервала СТЬЮДЕНТ.ОБР(уровень_значимости; степени_свободы).

Так как функция СТЬЮДЕНТ.ОБР возвращает критическое значение для

левостороннего интервала, то оно будет отрицательным. В таблице приведены значения для правостороннего доверительного интервала. Как известно, для стандартного нормального распределения эти значения отличаются только знаком.

59

N1

N2

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 4 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 9

10

11

12

13

14 5 0 1 2 3 5 6 7 8 9 11

12

13

14

15

17

18

19

20 6 1 2 3 5 6 8

10

11

13

14

16

17

19

21

22

24

25

27 7 1 3 5 6 8 10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34 8 0 2 4 6 8

10

13

15

17

19

22

24

26

29

31

34

36

38

41 9 0 2 4 7 10

12

15

17

20

23

26

28

31

34

37

39

42

45

48

10 0 3 5 8 11

14

17

20

23

26

29

33

36

39

42

45

48

52

55

11 0 3 6 9

13

16

19

23

26

30

33

37

40

44

47

51

55

58

62

12 1 4 7 11

14

18

22

26

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

13 1 4 8 12

16

20

24

28

33

37

41

45

50

54

59

63

67

72

76

14 1 5 9 13

17

22

26

31

36

40

45

50

55

59

64

69

74

78

83

15 1 5

10

14

19

24

29

34

39

44

49

54

59

64

70

75

80

85

90

16 1 6

11

15

21

26

31

37

42

47

53

59

64

70

75

81

86

92

98

17 2 6

11

17

22

28

34

39

45

51

57

63

69

75

81

87

93

99

105

18 2 7

12

18

24

30

36

42

48

55

61

67

74

80

86

93

99

106

112

19 2 7

13

19

25

32

38

45

52

58

65

72

78

85

92

99

106

113

119

20 2 8

14

20

27

34

41

48

55

62

69

76

83

90

98

105

112

119

127

21 3 8

15

22

29

36

43

50

58

65

73

80

88

96

103

111

119

126

134

22 3 9

16

23

30

38

45

53

61

69

77

85

93

101

109

117

125

133

141

23 3 9

17

24

32

40

48

56

64

73

81

89

98

106

115

123

132

140

149

24 3 10

17

25

33

42

50

59

67

76

85

94

102

111

120

129

138

147

156

25 3 10

18

27

35

44

53

62

71

80

89

98

107

117

126

135

145

154

163

26 4 11

19

28

37

46

55

64

74

83

93

102

112

122

132

141

151

161

171

27 4 11

20

29

38

48

57

67

77

87

97

107

117

127

137

147

158

168

178

28 4 12

21

30

40

50

60

70

80

90

101

111

122

132

143

154

164

175

186

29 4 13

22

32

42

52

62

73

83

94

105

116

127

138

149

160

171

182

193

30 5 13

23

33

43

54

65

76

87

98

109

120

131

143

154

166

177

189

200

31 5 14

24

34

45

56

67

78

90

101

113

125

136

148

160

172

184

196

208

32 5 14

24

35

46

58

69

81

93

105

117

129

141

153

166

178

190

203

215

33 5 15

25

37

48

60

72

84

96

108

121

133

146

159

171

184

197

210

222

34 5 15

26

38

50

62

74

87

99

112

125

138

151

164

177

190

203

217

230

35 6 16

27

39

51

64

77

89

103

116

129

142

156

169

183

196

210

224

237

36 6 16

28

40

53

66

79

92

106

119

133

147

161

174

188

202

216

231

245

37 6 17

29

41

55

68

81

95

109

123

137

151

165

180

194

209

223

238

252

38 6 17

30

43

56

70

84

98

112

127

141

156

170

185

200

215

230

245

259

39 7 18

31

44

58

72

86

101

115

130

145

160

175

190

206

221

236

252

267

40 7 18

31

45

59

74

89

103

119

134

149

165

180

196

211

227

243

258

274

Приложение 5. Критические значения U-критерия

Таблица критических значений для уровня значимости α = 0,05 [10]

60