Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического моделирования и обработки данных в медицине. Учебно-методическое пособие.pdf
Статистическая гипотеза – это предположение о виде распределения и
свойствах случайной величины в наблюдаемой выборке данных.
Статистическое исследование можно разбить на несколько этапов.
Формулировка рабочей статистической гипотезы. Рабочая гипотеза
обычно формулируется не на основе данных как таковых, но учитывая свойства
и характеристики исследуемой проблемы.
Формулировка так называемой нулевая гипотеза H0, отвергающей рабо-
чую гипотезу. При этом рабочая гипотеза называется альтернативной гипотезой
H1. Надо отметить, что нулевая и альтернативные гипотезы составляют полное
множество несовместных событий.
Поскольку нулевая гипотеза H0 выдвигается на основании выборочных
данных, то она может оказаться как правильной, так и неправильной. И поэтому она подлежит статистической проверке. Проверка осуществляется с помощью статистических критериев.
Выбор статистического критерия, с помощью которого будет опровер-
гаться или подтверждаться нулевая гипотеза.
Рабочая гипотеза доказывается “от противного”, то есть для того, чтобы
доказать гипотезу Н1, необходимо опровергнуть гипотезу H0 с заданным уровнем значимости p.
Статистический критерий – это математическое правило, в соответствии с
которым принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с
заданным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей математической функции, зависящей от результатов наблюдений, и которая позволяет выявить меры расхождения между эмпирическими и
гипотетическими (предполагаемыми) значениями.
Задаётся значение уровня значимости p –пороговую (критическую) веро-
ятность непринятия гипотезы H0, когда она верна (ошибка 1 рода).
Делается вывод о принятии или отвержении основной гипотезы H0.
В результате проверки гипотезы возможны четыре исхода
Например:
К врачу обращается человек с некоторыми жалобами. Сформулируем две
гипотезы: H0 гипотеза – человек здоров, H1 гипотеза – человек болен. Возможны 4 вывода о состоянии больного на основе анализа его симптомов.
1 вывод. H0 принята верно, H1 отвергнута верно – больного человека
признают больным.
2 вывод. H0 отвергнута верно, H1 принята верно – здорового человека
признают здоровым.
31
Таблица 2. Возможные исходы проверки статистической гипотезы
Верная гипотеза
H0
H1
H0 принята неверно
H0 отвергнута неверно
H0
H0 принята верно
H1 отвергнута верно
Принятая гипотеза
H1 принята неверно
H1
Ошибка 1-го рода
(«ложная тревога»)
H1 отвергнута верно
Ошибка 2-го рода
(«пропуск события»)
H0 отвергнута верно
H1 принята верно
3 вывод. H0 принята неверно, H1 отвергнута верно – больного человека
признают здоровым. Ошибка принятия гипотезы 2-го рода (ложноотрицательное заключение) – «пропуск события». Вероятность совершить эту ошибку обозначают буквой β («бета»). Значение (1 – β) называют мощностью критерия –
это вероятность отвержения неправильной гипотезы
4 вывод. H0 отвергнута неверно, H1 принята неверно – здорового челове-
ка признают больным. Ошибка принятия гипотезы 1-го рода (ложноположительное заключение) - «ложная тревога». Вероятность допустить такую ошибку
называют уровнем значимости и обозначают буквой p.
Уровень значимости задаётся исследователем самостоятельно, наиболее
часто выбирают значения p = 0.1, p = 0.05, p = 0.01. При выборе уровня значимости следует учитывать, что при уменьшении вероятности p отвергнуть
правильную гипотезу, растет вероятность β принять неверную гипотезу. Поэтому необходимо грамотно подбирать соотношение вероятностей p и β, учитывая тяжесть последствий, которые повлекут за собой та и другая ошибки.
Ошибки 1-го и 2-го рода довольно часто встречаются в медицинской
практике, например, при обработке результатов скрининга и тестирования.
Скрининг представляет собой проведение относительно дешёвых тестов
для большой группы людей при отсутствии каких-либо клинических признаков
болезни (например, мазок Папаниколау). Тестирование подразумевает гораздо
более дорогие, зачастую инвазивные, процедуры, которые проводятся только
32
для тех, у кого проявляются клинические признаки заболевания, и которые, в
основном, применяются для подтверждения предполагаемого диагноза.
К примеру, в большинстве штатов в США обязательно прохождение но-
ворожденными процедуры скрининга на оксифенилкетонурию и гипотиреоз,
помимо других врождённых аномалий. Несмотря на высокий уровень ошибок
первого рода, эти процедуры скрининга считаются целесообразными, поскольку они существенно увеличивают вероятность обнаружения этих расстройств
на самой ранней стадии.
Простые анализы крови, используемые для скрининга потенциальных до-
норов на ВИЧ и гепатит, имеют существенный уровень ошибок первого рода;
однако в арсенале врачей есть гораздо более точные (и, соответственно, дорогие) тесты для проверки, действительно ли человек инфицирован каким-либо из
этих вирусов.
Острой проблемой остаются ошибки первого рода в процедурах скринин-
га на рак груди (маммография). Например, в США уровень ошибок первого рода в маммограммах достигает 15 %, это самый высокий показатель в мире.
Ошибки второго рода являются существенной проблемой в медицинском
тестировании. Они дают пациенту и врачу ложное убеждение, что заболевание
отсутствует, в то время как в действительности оно есть. Это зачастую приводит к неуместному или неадекватному лечению. Типичным примером является
доверие результатам велоэргометрии при выявлении коронарного атеросклероза, хотя известно, что велоэргометрия выявляет только те затруднения кровотока в коронарной артерии, которые вызваны стенозом.
Проверка статистических критериев
Процесс проверки любой статистической гипотезы состоит из следующих
этапов:
1. Анализ выборочных данных с помощью методов описательной стати-
стики и выдвижение основной H0 и конкурирующей H1 гипотез.
2. Выбор статистического критерия. Статистический критерий выбирает-
ся с учетом типов данных, поставленной задачи, характеристик выборочного
набора. Схема выбора критерия показана ниже (Рис. 16).
3. Выбор уровня значимости р. Обычно уровень значимости принимают
равными p = 0.05 или p = 0.01 – 5 % и 1 % вероятность отвергнуть правильную гипотезу.
33
Рис. 16. Выбор статистической гипотезы
4. Нахождение критического значения критерия
– эта величина рас-
считывается с помощью выбранного статистического критерия, и зависит от
выбранного уровня значимости и возможно от других параметров. Критическое
значение определяет критическую область. Она бывает левосторонней, правосторонней и двусторонней (красная штриховка на Рис. 17).
Критическая область – это область отклонения нулевой гипотезы. Неза-
штрихованную область называют областью принятия гипотезы.
Рис. 17. Критическая область
Далее на основании выборочных данных рассчитывается наблюдаемое
значение критерия
• Если
. И делается заключение:
в критическую область НЕ попадает, то гипотеза H0 на
уровне значимости р принимается. Однако это не дает уверенности, что нуле-
34
вая гипотеза доказана и 100 % правильна, ведь существует вероятность того,
Тестирование
Тестовая
Правило отклонения гипотезы
z-тесты
z-статистика
Если тестовая статистика ≥ z или ≤ -z, то от-
t-тесты
t-статистика
Если тестовая статистика ≥ t или ≤ -t, то от-
Анализ дисперсии
F-статистика
Если тестовая статистика ≥ F, то отклонить
Тесты хи-квадрат
Статистика
Если тестовая статистика ≥ χ, то отклонить
что совершена ошибка 2-го рода, то есть принята неверная гипотеза.
• Если
попадает в критическую область, то гипотеза на уровне зна-
чимости p отвергается.
Правила отклонения H0 гипотезы для различных тестов приведены в
Таблица 3.
Таблица 3. Правила отклонения H0 гипотезы для различных тестов
гипотезы
(тесты Фишера)
(тесты Студента)
(ANOVA)
статистика
клонить нулевую гипотезу H0
клонить нулевую гипотезу H0
нулевую гипотезу H0
(критерий согласия
Пирсона)
хи-квадрат
нулевую гипотезу H0
Доверительные интервалы
Взяв выборку из генеральной совокупности и вычислив статистические
характеристики, мы получим так называемые точечные оценки выборочного
среднего и дисперсии (стандартного отклонения). Если из той же генеральной
совокупности мы возьмем другую выборку, то точечные оценки будут другими.
Взяв достаточно большое количество выборок и получив для них точечные
оценки, мы получим распределение выборочных точечных оценок. Согласно
центральной предельной теореме, такое распределение будет близко к нормальному. Очевидно, что брать много выборок из одной совокупности и рассчитывать показатели для каждой, слишком времязатратно. Поэтому желательно убедиться на одной выборке, что наши выводы, сделанные на ней, можно
распространить на всю генеральную совокупность. Для этого строят доверительные интервалы.
Доверительный интервал – это интервал, который захватит оцениваемую
характеристику генеральной совокупности с заданной вероятностью.
35
На Рис. 18 показаны варианты, когда доверительный интервал закрывает
значение генерального среднего, и характеристики, полученные на выборке,
могут быть распространены на всю совокупность, и когда доверительный интервал не закрывает значение генерального среднего, и выборка не может считаться репрезентативной.
а) б)
Рис. 18. Доверительные интервалы для среднего значения генеральной совокупности:
– генеральное среднее,
значение генерального среднего; б – доверительный интервал не закрыл значение
генерального среднего, выборка нерепрезентативна
– выборочное среднее, а – доверительный интервал закрыл
Гипотеза о генеральной средней нормального распределения
Предположим, что генеральная средняя нормального распределения рав-
на некоторому значению. Это нулевая гипотеза:
H0: =
Исходя из специфики конкретной задачи, можно сформулировать следу-
ющие конкурирующие условия:
• H1: <
• H1: >
• H1:
• H1: =
, где
– альтернативное значение генеральной средней.
Также есть выборка из генеральной совокупности объёмом n, и рассчи-
танное значение выборочного среднего
.
При построении доверительного интервала возможны две принципиально
разные ситуации – когда дисперсия генеральной совокупности известна, и когда она не известна.
36
Случай 1. Дисперсия
генеральной совокупности известна
Если генеральная дисперсия известна, то можно воспользоваться тестом
Фишера (z-тест) и рассчитать z
-статистику по формуле:
.
=
Далее находим критическую область. Критическая область – подмноже-
ство таких значений критерия, при которых основная гипотеза не может быть
принята
В зависимости от конкурирующих гипотез критическая область может
быть левосторонней (для H1: <
>
), двусторонней (H1:
Значение
находится из уравнения ( – уровень значимости):
).
и H1: =
), правосторонней (для H1:
для односторонней области:
1
=
,
для двусторонней области:
1
После вычисления и
, оцениваем полученный результат.
=
.
• Для левосторонней критической области. Если
H0 на уровне значимости принимается. Если
• Для правосторонней критической области. Если
H0 на уровне значимости принимается. Если
• Для двусторонней критической области. Если
<
>
>
, то отвергается.
<
, то гипотеза
, то гипотеза
, то отвергается.
<
<
, то ги-
потеза H0 на уровне значимости принимается. Иначе – отвергается.
Пример. Средний вес таблетки сильнодействующего лекарства (номи-
нал) должен быть равен 0,5 мг. Выборочная проверка n = 100 выпущенных таб-
леток показала, что средний вес таблетки равен x
= 0.508 мг. Многократными
предварительными опытами по взвешиванию таблеток, изготавливаемых фармацевтическим заводом, установлено, что вес таблеток распределен нормально
со средним квадратическим отклонением σ = 0.11 мг. Требуется на уровне зна-
чимости α = 0.1 проверить гипотезу о том, что средний вес таблеток действительно равен H0: X= 0.5.
37
Решение
Нулевая гипотеза уже сформулирована. H0: X= 0.5. В качестве конкури-
рующей гипотезы примем гипотезу H1: 0.5. Таким образом нам потребует-
ся вычислить двусторонний доверительный интервал.
Вычисляем
0.508 0.5
=
100
= 0.;
0.11
=
1 0.1
(
Откуда
= 1,64
Полученное значение
) =
находится в интервале 1,64 <
= 0.45.
< 1,64, поэто-
му H0 гипотезу принимаем. Средний вес таблеток действительно равен 0,5 мг.
Случай 2. Дисперсия
генеральной совокупности не известна
Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то необходимо
использовать критерий Стьюдента и ориентироваться на исправленную выбо-
2
рочную дисперсию s
Величина
Значение
. Тогда значение t-статистики рассчитывается по формуле:
.
=
имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы.
вычисляется по таблице распределения Стьюдента и зависит
от степени свободы, уровне значимости и типа доверительного интервала (одно
или двусторонний) (см. приложение Критические точки распределения Стьюдента).
и
• После вычисления
• Для левосторонней критической области. Если
H0 на уровне значимости принимается. Если
• Для правосторонней критической области. Если
H0 на уровне значимости принимается. Если
• Для двусторонней критической области. Если
, оцениваем полученный результат.
<
>
>
, то отвергается.
<
, то отвергается.
<
, то гипотеза
, то гипотеза
<
, то гипо-
теза H0 на уровне значимости принимается. Иначе – отвергается.
38
ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ И ПРИМЕРЫ
ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Статистические критерии бывают общие и специализированные. Общие
позволяют проверить гипотезу согласия с любым законом распределения. Общие критерии согласия в свою очередь можно разделить на два типа: критерии
основанные на измерении разницы между теоретической плотностью распределения того закона распределения с которым мы проверяем согласие и эмпирической гистограммой, которую мы можем посчитать по имеющейся у нас выборке.
Критерий согласия – это статистическое правило, по которому принима-
ется или отвергается статистическая гипотеза о том, что исследуемая случайная
величина подчиняется заданному эмпирическому закону распределения, построенному на основе наблюдений, имеющихся в распоряжении исследователя.
Шаги проверки статистических гипотез следующие:
• формулируется основная гипотеза H0 и альтернативная гипотеза H1;
• выбирается статистический критерий, с помощью которого будет про-
веряться гипотеза;
• задаётся значение уровня значимости α;
• находятся границы области принятия гипотезы;
• делается вывод о принятии или отвержении основной гипотезы H0.
Критерий Шапиро-Уилка
Критерий Шапиро-Уилка является одним из самых эффективных крите-
риев проверки нормальности распределения. Для этого критерия гипотеза H0
формулируется следующим образом: Случайная величина X распределена нормально. Если выборка подчиняется нормальному распределению, то для ее анализа можно использовать мощные параметрические критерии. Если выборка не
подчиняется нормальному распределению – то можно использовать только непараметрические критерии.
Для критерия Шапиро-Уилка необходимо рассчитать статистику по фор-
муле:
W =
1
39
(
)
,
где
α
W
0,01
(–0,0148n4 + 2,1875n3 – 122,61n2 + 3257,3n + 55585)/100000
0,05
(–0,0113n4 + 1,656n3 – 91,88n2 + 2408,6n + 67608)/100000
0,1
(–0,0084n4 + 1,2513n3 – 70,724n2 + 1890n + 73840)/100000
=
=
(
– среднее выборки.
)
Коэффициенты
– линейная несмещенная оценка генеральной дисперсии,
берутся из таблиц. При практическом применении ис-
пользуются приближенные формулы [9]:
1483
=
+
(
3
,
)
+ 1
=
0.5
0.899
=
(
.4
)
,
71,6 10
+
(
1.1
,
0..
,
)
,
Критическое значение W
, зависящее от уровня значимости , может
быть взято из таблиц или определено по формулам (Таблица 4).
Таблица 4. Формулы для вычисления критического значения W
крит
Если W < W
клоняется при уровне значимости . Если W W
, то нулевая гипотеза о нормальности распределения от-
, то распределение может
быть нормальным с уровнем значимости .
Пример проверки, можно ли считать распределение нормальным, с по-
мощью критерия Шапиро-Уилка показан на Рис. 19.
Выборка состояла из = 30 элементов.
Сначала последовательно рассчитываются характеристики выборки (сред-
нее , линейная несмещенная оценка генеральной дисперсии s2, коэффициент
). Затем рассчитываются
Рассчитываются по формулам W
(
)
Полученное значение W сравнивается с W
ем вывод, что согласно критерию Шапиро-Уилка (W = 0.0033, W
данная выборка не подчиняется нормальному распределению с уровнем значи-
мости = 0.01.
40
,
,
и вычисляется значение W.
при различных (0.01, 0.05, 0.1).
. По результатам сравнения дела-
= 0.9)