Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математического моделирования и обработки данных в медицине. Учебно-методическое пособие.pdf
ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Медицинский университет «РЕАВИЗ»
М.А. Барулина
ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ В МЕДИЦИНЕ
Учебно-методическое пособие
Самара
2022
1
УДК 615+615.14+615.2(02)
Б 26
Рецензенты:
доктор медицинских наук, профессор В.В. Масляков;
доктор физико-математических наук Д.В. Кондратов
Барулина М.А.
Б 26 Основы математического моделирования и обработки данных в
медицине: учебно-методическое пособие. – Самара: Медицинский университет «Реавиз», 2022. − 63 с.
В учебно-методическом пособии «Основы математического моде-
лирования и обработки данных в медицине» изложены принципы применения математических методов и цифровых технологий в медицине,
основные положения описательной и индуктивной статистики в приложении к медико-биологическим исследованиям. Пособие содержит
справочные данные для проведения статистической обработки результатов научных исследований.
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ме-
дицинских вузов, изучающих дисциплины «Медицинская информатика», «Основы алгоритмизации, мировые информационные ресурсы, медико-биологическая статистика», «Научная деятельность». Пособие будет полезно для студентов старших курсов, ординаторов и аспирантов,
занимающихся научно-исследовательской работой, а также для широкого круга медицинских и фармацевтических работников.
УДК 615+615.14+615.2(02)
© Медицинский университет «Реавиз», 2022
© Барулина М.А., 2022
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................... 5
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
И ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В МЕДИЦИНЕ ...................................... 6
Цифровые технологии в медицине .......................................................... 6
Зачем нужна математическая статистика в медицине ........................... 8
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ......... 9
Понятие выборки и генеральной совокупности ................................... 10
Типы статистического исследования ..................................................... 14
Типы данных и их особенности .............................................................. 15
ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА. ОСНОВНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ .................................................................................. 17
Среднее значение ..................................................................................... 17
Стандартное отклонение и дисперсия ................................................... 17
Стандартная ошибка ................................................................................ 19
Минимум, Максимум, Размах вариации ............................................... 19
Медиана ..................................................................................................... 19
Математическое ожидание...................................................................... 20
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ ..... 21
Понятие нормального распределения .................................................... 21
Функция плотности вероятности и функция распределения .............. 21
Стандартное нормальное распределение .............................................. 23
Построение графика нормального распределения ............................... 24
Квантили нормального распределения .................................................. 27
ИНДУКТИВНАЯ СТАТИСТИКА ............................................................ 30
Нулевая гипотеза ...................................................................................... 30
Проверка статистических критериев ..................................................... 33
Доверительные интервалы ...................................................................... 35
Гипотеза о генеральной средней нормального распределения ........... 36
Случай 1. Дисперсия генеральной совокупности известна ........ 37
Случай 2. Дисперсия генеральной совокупности не известна ... 38
ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ И ПРИМЕРЫ ИХ
ПРИМЕНЕНИЯ ........................................................................................... 39
Критерий Шапиро-Уилка ..................................................................... 39
3
Категориальные данные. критерий Пирсона ................................ 41
Числовые данные. t-критерии Стьюдента .......................................... 43
Числовые данные. Критерий Манна-Уитни ....................................... 47
Приложение 1. Таблица значений функции Лапласа .............................. 53
Приложение 2. Критические точки распределения Стьюдента ............. 55
Приложение 3. Критические точки распределения ........................... 57
Приложение 4. Критические точки критерия Стьюдента ....................... 58
Приложение 5. Критические значения U-критерия ................................. 60
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................... 63
4
ВВЕДЕНИЕ
Многие технологические достижения, которые используются в настоящее
время в медицине, являются результатом совместных усилий ученых, инженеров
и математиков. Математические методы (теория вероятности и статистика) широко применяются в медицинской и фармацевтической практике. Это инструменты анализа экспериментальных данных и клинических наблюдений, и математического обобщения полученных результатов. Модели, созданные с помощью математического аппарата статистики, используются в диагностических целях в системах поддержки принятия решения врачами, для решения классификационных задач, разработки новых и корректировки старых протоколов лечения
пациентов, для постановки новых научных гипотез. Поскольку проникновение
математических и цифровых методов в медицину достигло высокого уровня, современный врач не может позволить себе в них не разбираться.
В связи с этим освоение компьютерных технологий и математической
статистики стало обязательным в образовательных организациях медицинского
профиля. А необходимым этапом формирования профессиональных компетенций будущего врача и фармацевта является освоение принципов применения
методов описательной и индуктивной статистики и математического моделирования в медико-биологических исследованиях.
Данное учебно-методическое пособие знакомит студентов с понятиями,
гипотезами и критериями математической статистики, содержит примеры их
использования в научно-практической деятельности врача. В пособии также
приведены справочные данные для проведения статистической обработки результатов экспериментов.
Подробное описание понятий и критериев математической статистики
позволит студентам медицинских вузов, ординаторам, аспирантам, а также
всем заинтересованным медицинским и фармацевтическим работникам, не
имеющим серьезной математической подготовки, освоить различные виды статистической обработки результатов медико-биологических исследований и
применить их в научной работе и практической деятельности.
Умение планировать и осуществлять статистически достоверные иссле-
дования необходимо для медицинских работников, занимающих научной деятельностью в контексте доказательной медицины.
5
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
И ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В МЕДИЦИНЕ
Цифровые технологии в медицине
Широкое внедрение цифровых, в том числе информационных и телеком-
муникационных технологий, позволит предоставлять различные услуги населению быстро, качественно, точечно и полно. Сокращение времени на необязательную коммуникацию, увеличение производительности труда, доступ к актуальной и значимой информации – только часть причин, которые могут обусловить переход нашей страны к четвертой промышленной революции. Как известно, четвертая промышленная революция может быть охарактеризована, как
синтез материальной и виртуальной реальностей (физических процессов и
цифровых технологий), имеющий глубокий интеграционный эффект для производителей и потребителей продукции на всех этапах ее жизненного цикла и на
всех стадиях передела, приводящий к существенной индивидуализации продукции при одновременном резком повышении гибкости массового производства, гибридизации процессов производства продукции и ее сервисного обслуживания.
В Указе Президента РФ от 9 мая 2017 г. № 203 «О Стратегии развития
информационного общества в Российской Федерации на 2017–2030 годы» [1]
информационные системы и информационно-телекоммуникационные сети в
сфере здравоохранения отнесены к объектам критической информационной
инфраструктуры. Также в этом документе одной их основных задач применения информационных и коммуникационных технологий для развития социальной сферы, системы государственного управления, взаимодействия граждан и
государства является реализация проектов по повышению доступности качественных медицинских услуг и медицинских товаров.
Надо отметить, что задачи по обеспечению высококвалифицированной
медицинской помощью стояли перед государствами и раньше [2]. И попытки
их решить с использование актуальнейших технологий начались задолго до
XXI века. Согласно В.А. Владзимирскому [2] можно выделить следующие периоды в цифровизации медицине:
1850–1920 гг. – ранний экспериментальный период: единичные экспери-
менты по передаче медицинской информации посредством телекоммуникаций,
первые шаги по интеграции диагностических приборов и средств связи, эпизо-
6
ды применения телеграфной связи в военно-полевой медицине и в экстренных
ситуациях;
1921–1954 гг. – период первичной систематизации: крупные эффектив-
ные телемедицинские сети на основе радиосвязи, являющиеся основным инструментом медицинской помощи экипажам морских судов и населению изолированных территорий (в сочетании с санитарной авиацией), эксперименты по
передаче биологической информации по каналам связи, видеотрансляции;
1955–1979 гг. – период масштабного применения: расцвет крупных эф-
фективных телемедицинских сетей на основе интерактивной видеоконференцсвязи и транс телефонной электрокардиографии (в том числе с автоматизированной интерпретацией); революция знаний в физиологии благодаря широкому
внедрению инструментов биорадиотелеметрии; формирование мобильной телемедицины на основе спутниковой связи; научные исследования в сфере эффективности с последующей разработкой концепции и методологии телемедицины;
1981 г. по настоящее время – период смены технологий и постепенного
перехода к современной клинической телемедицине: модернизация методологии на фоне персонализации компьютерной техники, развития Интернета, появления цифровой диагностики.
Использование цифровых технологий уже привело к созданию новых
форм взаимодействия как внутри самих медицинских учреждений, так и их
взаимодействия с пациентами [3], [4]. К таким новым формам можно отнести,
например:
1. Электронный документооборот (электронные медицинские карты,
электронные рецепты и больничные).
2. Телемедицина (дистанционные диагностические консультации, уда-
ленное обучение специалистов, удаленный контроль за ходом проведения оперативных вмешательств, биомониторинг).
3. Медицинские базы данных.
4. Медицинские интернет и мобильные приложения.
В настоящее время разработаны и выпущены для практического исполь-
зования мощные предиктивные системы помощи принятия решения для врачей
и управляющего медицинского персонала. При разработке таких предиктивных
систем требуется использование и теории вероятности, и статистики, и методов
BigData, DataScience, машинного обучения, элементов искусственного интеллекта и др. [5], [6], [7]. Многие технологические достижения, которыми врачи
пользуются каждый день, являются результатом совместных усилий ученых,
7
инженеров и математиков. Одно из повсеместных применений математики в
медицине – это использование теории вероятности и статистики для проверки
эффективности новых лекарств или процедур или для оценки выживаемости
онкологических больных, проходящих определенное лечение.
Поэтому можно сказать, что проникновение математических и цифровых
методов в медицину достигло такого уровня, что врач уже не может позволить
себе не разбираться в этих методах.
Зачем нужна математическая статистика в медицине
Результат любого измерения зависит от множества случайных факторов:
прямоты рук экспериментатора, погрешности измерения, хаотичного движения
молекул жидкости и т.д. Если измерить пациенту температуру несколько раз, то
показания будут немного отличаться. Особенно это будет заметно, если каждое
измерение проводить другим градусником.
Для иллюстрации того, как математическая статистика может быть ис-
пользована для анализа случайных величин, приведем классический пример
анализа следующей ситуации: ученики младших классов в городе Н страдают
ожирением.
Исследователю Федору необходимо определить, есть ли отклонения по
весу у учеников младших классов. Для этого ему требуется определить средний
индекс массы тела школьников и среднюю долю школьников с лишним весом.
Город большой, школ много, и детей, обучающихся в начальной школе
очень и очень много, обозначим их общее количество через N. Это генеральная
совокупность. Для того чтобы решить поставленную задачу, Федору нужно
взвесить и измерить рост каждого школьника, потом вычислить среднее значение индекса массы тела в этой генеральной совокупности. Это займет очень
много времени, и вряд ли Федор справится с задачей до того, как школьники
перейдут из начальной школы в старшую. Поэтому Федор, который знаком со
статистикой, отобрал школьников, которые хорошо характеризуют всю совокупность, то есть собрал репрезентативную выборку. Это значит, что выборка
должна быть достаточно велика, школьников так 500-1000, отбор должен осуществляться равномерно – из каждой школы, отбор должен быть случайным.
Чтобы отбор был случайным используются разные приемы, самой простой из
них – это выбор «вслепую», не видя самого школьника, а просто выбрав какието имена из списка. Обязательно должны быть учтены и другие факторы, которые могут повлиять на случайность отбора. В частности, важно знать, а одно-
8
родна ли генеральная совокупность? Так, если известно, что комплекция
школьников в каких-то школах сильно от других школ, то ситуацию в этих
школах следует изучать отдельно.
Итак, Фёдор по всем правилам отобрал школьников, и теперь дело за ма-
лым – взвесить и измерить каждого отобранного школьника и вычислить выборочную среднюю. При этом очевидно, что чем больше объем выборочной совокупности, тем полученное значение будет точнее приближать генеральную
среднюю. Но если начать увеличивать выборку в два, три и большее количество
раз, то будут получаться выборочные средние, которые мало отличаются от уже
рассчитанного значения. Это доказано эмпирически, в результате огромного
количества реально проведённых исследований.
Теперь Федору нужны точные критерии, какое значение индекса массы
тела можно считать ожирением, а какую – нормой. Имея такую информацию,
посчитав количество таких школьников в выборке, и определив их долю в выборке, Федор может распространить это значение доли на всю совокупность
помидоров.
Таким образом, нет никакого практического смысла тратить силы, время,
деньги, нервы на исследование большей выборки и тем более, всей генеральной
совокупности.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Статистика в медицине является одним из инструментов анализа экспе-
риментальных данных и клинических наблюдений, и математического обобщения полученных результатов. Модели, созданные с помощью математического
аппарата статистики, используются в диагностических целях в системах поддержки принятия решения врачами, для решения классификационных задач,
разработки новых и корректировки старых протоколов лечения пациентов, для
постановки новых научных гипотез. Хорошо разработанные к настоящему времени математические методы и критерии статистики реализованы в специальном программном обеспечении для статистического анализа. Но использование
таких статистических программ также предполагает знание основных методов
и этапов статистического анализа, их последовательности, необходимости и достаточности [8].
Важнейшими задачами математической статистики в медико-
биологических исследованиях являются:
9
1. Построение функции распределения, приближенно описывающую рас-
пределение некоторой величины в выборке и, соответственно, в генеральной
совокупности.
2. Формулировка статистической гипотезы, ее подтверждение или опро-
вержение с помощью статистических критериев.
3. Корреляционный анализ, позволяющих установить связь между двумя
случайными величинами по их измерениям.
4. Дисперсионный анализ, планирование эксперимента, статическое мо-
делирование процессов.
Основным объектом статистики являются данные. Данные – результат
некоторого количества измерений каких-либо величин у некоторой выборки.
Например, такими величинами могут быть вес, рост, пол, возраст, температура,
биохимические показатели крови и мочи, и так далее у пациентов, поступающих в стационар с определенным диагнозом. Данные этих пациентов попадают
в статистическую выборку, и результаты анализа этих данных будут распространены на всех пациентов с таким же диагнозом, которые в данном случае
будут представлять генеральную совокупность.
Понятие выборки и генеральной совокупности
Вообще под генеральной совокупностью понимается суммарная чис-
ленность объектов наблюдения (люди, домохозяйства, предприятия, населенные пункты и т.д.), обладающих определенным набором признаков (пол, возраст, доход, численность, оборот, диагноз и т.д.), ограниченная в пространстве
и времени. Примеры генеральных совокупностей
• Все жители Саратовской области (2.42 млн человек на 2020 год)
• Все переболевшие COVID-19 (9,8 млн человек по декабрь 2021 года)
• Все больничные организации (5,2 тыс. на 2019 год)
• Все врачи, независимо от их специализации (714 100 человек на 2019 г.)
и т.д.
Выборка (Выборочная совокупность) – это часть объектов из генераль-
ной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение
обо всей генеральной совокупности. Для того чтобы заключение, полученное
путем изучения выборки, можно было распространить на всю генеральную совокупность, выборка должна обладать репрезентативной.
10