Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность информационных систем. Лабораторный практикум-1
.pdf
Лабораторная работа № 8
Расчет надежности систем в режиме облегченного резерва
1. Цели и задачи работы
Закрепить теоретические знания и получить навыки решения задач
по определению надежности систем при облегченном резерве, в режиме ненагруженного резерва, среднего времени безотказной работы системы с облегченным резервом.
Теория для решения задач
Определим плотность (частоту) отказов fc(t) системы с облегчен-
ным резервированием.
Имеем:
fc(t) = λ0 e
–λ0t
t)i –
t
t)i-1
]. (3)
Определим интенсивность отказов λс(t) системы с облегченным ре-
зервированием.
где
.
t
,
(4)
При λ1 = 0 имеем режим ненагруженного (холодного) резерва. Вероятность отказа резервированной системы с ненагруженным резервированием определяется соотношением
(5)
где I – элемент в цепи, а m – кратность.
Вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом определяется формулой
51
(t) = 1 – (t) =
. (6)
Среднее время безотказной работы системы с ненагруженным резервом рассчитывается по формуле
=
(t)dt =
. (7)
Определим плотность (частоту) отказов fc(t) системы с ненагру-
женным резервом:
=
=
. (8)
[7]. (9)
Получив значения
системы
(t) с ненагруженным резервом:
(t) = –
и
(t), рассчитаем интенсивность отказов
2. Содержание работы
Задача 1
Рассчитайте вероятность безотказной работы системы и среднее
время безотказной работы системы с облегченным резервированием, если известно, что система состоит из 30 элементов, в одной цепи 10 последовательно соединенных однородных элементов c вероятностью безотказной работы элемента Pi = 0,9, кратность резервирования равна 2.
Интенсивность отказа резервного элемента в режиме недогрузки до момента их включения в работу равна 0,01, а интенсивность отказа резервного элемента в состоянии работы составляет 0,03. Рассчитайте интенсивность отказов системы при облегченном режиме резервирования.
52
Пример решения задачи
Дано:
Pi(t) = 0,9;
n = 30;
i = 10;
m = 2;
λ1 = 0,01;
λ0 = 0,03.
Найти: Pс(t) за год, mtc, λc.
Решение:
В режиме облегченного резерва резервные элементы находятся в
режиме недогрузки до момента их включения в работу. Пусть λ1 – интенсивность отказа резервного элемента в режиме недогрузки до момента их включения в работу, λ0 – интенсивность отказа резервного
элемента в состоянии работы.
Рис. 21. Облегченное резервирование
Среднее время наработки на отказ системы, работающей в режиме
облегченного резерва (рис. 21), определяется по формуле
где .
53
mtc =
, где k =
= 0,333;
mtc =
= 33,33 · [ (1) +(
)+ (
)] =
= 33,33 · [1+1/3,663+ 1/3,996] = 66,66 · (1+ 0,273 + 0,25) =
= 66,66 · 1,523 = 101,523.
Интенсивность отказов системы, работающей в режиме облегченного резерва, определяется по формуле (9):
где
.
t
],
Точные выражения для расчета надежности систем в режиме облегченного резерва довольно объемны и неоднозначны, однако при
экспоненциальном распределении наработки справедлива следующая
формула:
P =
λ(λ+
=
,
где λ – интенсивность отказа резервного элемента в режиме недогрузки
до момента их включения в работу, λ0 – интенсивность отказа резервного элемента в состоянии работы, l – кратность резервирования.
P
=
c
) =
) =
= 1,33333 · 0,04^3 = 1,33333 · 0,00064 = 0,000853312.
Задача 2
Радиопередатчик имеет интенсивность отказов λ0 = 0,4·10
-3
1/час.
Его дублирует такой же передатчик, находящийся до отказа основного
передатчика в режиме ожидания (в режиме облегченного резерва). В
этом режиме интенсивность отказов передатчика λ1 = 0,06·10
-3
1/час.
Требуется вычислить вероятность безотказной работы передающей сис-
54
темы в течение времени t = 100 час., а также среднее время безотказной
работы mtс, частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов λс(t) [7].
Решение:
В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Под-
ставляя в формулу для вычисления
(t) =
где
=>
(t) значение m = 1, получим:
=
=>
.
Тогда
P
c
(t) =
. (10)
Подставляем в формулу (10) исходные данные из задачи:
P
c
(t)=
=
= 0,96[1+6,67 – 6,67·1,006] = 0,96· [7,67 – 6,71] = 0,96·0,96 = 0,9216.
Рассчитаем mtс:
,
час.
Рассчитаем fc(t):
fc(t) = –
= λ0 e
λ0
–λ0t
Перепишем (10) в виде
(t) =
t
t
] =
(1 –
=
t
) +
t
(1 –
).
t
.
t
] =
55
Подставляем полученные ранее формулы для f
для расчета . Получим:
(t) и
c
(t) в формулу
=
.
3. Порядок выполнения работы
1. Проверка усвоения необходимого теоретического материала.
2. Объяснение преподавателем порядка и процесса выполнения за-
дач лабораторной работы.
3. Получение задания на выполнение работы в электронном виде
по локальной сети.
4. Выполнение работы.
5. Получение зачета по работе.
6. Запись домашнего задания [10].
4. Теоретический и справочный материал
1. Лекции 5-8: Надежность взаимосвязанных элементов системы.
2. http://nadegnost.narod.ru/lection6.html#f
56
Лабораторная работа № 9
Определение доверительных границ параметра биномиального
распределения с помощью принципа Клоппера – Пирсона.
Точечная оценка
1. Цели и задачи работы
Закрепить знания классификации методов статических испытаний
надежности. Разобраться в задачах определительных испытаний. Получить навыки в определении точечной оценки вероятности отказа изделия Q(t) = m(t) / N в течение времени t. Получить навыки определения точечной оценки вероятности отказа изделия Q(t) в доверительных
границах (интервалах), определения доверительных границ. Провести
контрольное тестирование по ранее пройденному материалу и оценить
уровень знаний студентов по ранее пройденному материалу. Закрепить
теоретические знания и закрепить навыки студентов в решении задач.
Теоретический материал для решения задач
Для обозначения планов испытаний будем применять символику с
тремя позициями: количество испытываемых изделий, способ замены
отказавших изделий, правило окончания испытаний. Возможны такие
планы: [N, Б, Т]; [N, В, T]; [N, Б, r]; [N, В, r]; [N, Б, (Т, r)]; [N, В, (Т, r)]
и др.
Чаще всего применяются следующие четыре типа плана:
план [N, В, Т], испытываются n элементов, каждый отказавший
элемент заменяется новым, испытания проводятся в течение фиксированного времени;
план [N, Б, Т], испытываются n элементов, отказавший элемент
выводится из наблюдения, испытания проводятся в течение фиксированного времени T;
план [N, В, r], испытываются n элементов, каждый отказавший
элемент заменяется новым, испытания проводятся до получения r-го
отказа;
57
план [N, Б, r], испытываются n элементов, отказавший элемент
выводится из наблюдения, испытания проводятся до получения r-го
отказа [9].
Пусть для некоторых изделий с неизвестной функцией распределения наработки до первого отказа определяющим показателем надёжности является вероятность отказа изделия Q(t) в течение времени t. Как
было показано в предыдущем разделе, в таких условиях прогнозирование вероятности отказа в течение времени, превышающего время испытаний, невозможно. Поэтому выбираем план [N, Б, t], где длительность испытаний Т равна времени эксплуатации изделия t. Устанавливая на испытания N одинаковых изделий и проверяя их работоспособность через время t, определяем число отказавших изделий т. Тогда точечной оценкой вероятности отказа является частота Q(t) = m(t) / N.
Согласно закону больших чисел, при увеличении N точечная оценка Q(t) сходится по вероятности к оцениваемой Q(t). Следует, однако,
отметить, что при испытаниях надёжности далеко не всегда удаётся установить большое число изделий. Кроме того, для высоконадёжных изделий Q(t) обычно очень мало. В этих условиях дисперсия оценки получается неприемлемо большой и точечная оценка становится неудовлетворительной. Поэтому кроме точечной оценки используют доверительные интервалы [9].
Абсолютно достоверными границами для неизвестной вероятности
Q(t) являются 0 и 1. Всякое сужение интервала (0, 1) связано с риском
совершить ошибку, состоящую в неверном заключении о том, что Q(t)
находится между новыми границами. В зависимости от того, как происходит сужение интервала (0, 1), различают двусторонний и односторонние интервалы [9].
Двусторонним доверительным интервалом для неизвестной и
неслучайной величины вероятности Q(t) называют интервал (Qн, Qв)
со случайными границами, зависящими от исхода статистического эксперимента и такими, что вероятность покрытия этим интервалом неизвестного числа Q(t) не меньше заданной вероятности δ, называемой до-
58
верительной вероятностью, или коэффициентом доверия:
P (Qн ≤ Q ≤ Qв) [9].
Вероятность противоположного события, т.е. того, что Q(t) окажется в интервале (0, Qн) или (
Qв, 1), называется уровнем значимо-
сти и равна 1 – . Уровень значимости можно представить в виде
суммы вероятностей:
P(0 Q
Q
н
)
P(Q
Q 1) [9].
в
Обычно ' и " выбирают одинаковыми, так что
' = " = / 2 = (1 – δ) / 2.
Односторонними (верхним и нижним) доверительными интервалами называют соответственно интервалы (0, Qв) и (Qн, 1) – такие, что
P
(0 Q
Q
в
) ;
P(Q
Q 1) [9].
н
Здесь уровень значимости = 1 – выражает вероятность того,
что число Q(t) попадёт в интервал (
Qв, 1) при верхнем интервале и в
интервал (0,
Qн) – при нижнем.
Доверительную вероятность нельзя выбирать слишком малой, так
как снижается доверие к полученным границам и увеличивается риск
сделать неверное заключение. Нельзя выбирать её и слишком близкой
к единице, так как чем ближе к единице, тем шире границы для неизвестной вероятности. Опыт использования статистических методов
показывает, что для практических целей достаточно брать из диапазона 0,8–0,95. Иногда коэффициент доверия увеличивают до значения
0,98 или 0,99.
Правила вычисления
Q
н
и
Q
были предложены в начале 30-х го-
в
дов XX в. английскими статистиками Клоппером и Пирсоном. Поскольку испытания различных образцов одного и того же изделия происходят независимо друг от друга, число m отказавших за время t изделий распределено по биномиальному закону с параметрами N и Q, т.е.
вероятность отказа ровно m изделий из N определяется формулой
P
m
m
C
Qm(1 – Q)
N
N – m
.
59
Вероятность же отказа не более m изделий составляет
i
Q
·
i·
(1 –Q)
N – i
(11)
.
P
mƒ(m,
Q, N
)
Здесь m – варианта, а N и Q – параметры распределения.
Функция (11) является ступенчатой функцией m, изменяющейся от
нуля до единицы при увеличении m от нуля до N [9].
Два уравнения, изображенные ниже, называют уравнениями Клоппера – Пирсона. Они могут быть использованы для определения доверительных границ:
Учитывая, что
(1 – Qн)
писать:
При m = 0 нижняя граница
(1 – Qв)N = Y
/
=1 –
Отсюда
(1 – Qв)
Q
N – i
= Y/ – уравнение Клоппера, (12)
N – i
= Y// – уравнение Пирсона [9]. (13)
i
(1 – Q)
(1 – Qн)
Q
н
=
N – i
= 0, а верхняя получается из (12):
1, вместо (13) можем за-
N – i
= 1 – Y//.
(1 – ) =
(15)
(14)
2. Содержание работы
Задача 1
При испытании 10 персональных компьютеров в течение 1000 часов не обнаружили ни одного отказа. Найти доверительные границы
для вероятности безотказной работы ПК в течение 1000 часов при коэффициенте доверия, равном 0,9 [9].
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]