Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надежность информационных систем. Лабораторный практикум-1
.pdf
Так как вероятности безотказной работы всех элементов одинако-
Э12
Э11
Э22
Э21
Э32
Э31
Э42
Э41
Э40
вы, вероятность отказа основной группы элементов равна вероятности
отказа остальных групп элементов. Надежность системы в 1 варианте
выше, так как вероятность безотказной работы каждого элемента в
обеих системах равна 0,1 отказ/год. В 1 варианте в системе резервируется каждый элемент цепи в отдельности, а во втором варианте – цепь в
целом. В результате этого система в 1 варианте сможет работать даже
при выходе из строя максимум 8 элементов при условии, что в каждой
группе случается не более 2 отказов. Но система в 1 варианте может
выйти из строя и при отказе 3 элементов, в этом случае все элементы
должны принадлежать одной группе. Во втором варианте для выхода
из строя системы достаточно отказа 3 элементов: по одному любому
элементу в каждой ветви.
Задача 2
Рассчитайте в течение года:
1. Вероятность отказа основной цепи.
2. Вероятность безотказной работы системы.
3. Интенсивность отказов системы, представленной на рис. 17, если
элементы отказывают независимо друг от друга.
Основная цепь содержит 4 элемента. Количество резервных цепей
равно двум. Вероятность безотказной работы каждого элемента равна
0,1 отказ/год. Интенсивность отказов элемента равна 0,001 отказов
в год.
Рис. 17. Система с постоянным общим резервированием
4. Проверьте, будет ли подчиняться экспоненциальному закону
безотказность системы при параллельном соединении элементов.
5. Как вы думаете, надежность какой системы выше: на рис. 17 или
на рис. 16? Объясните свое решение.
41
6. Рассчитайте интенсивность отказов системы, если известно, что
интенсивность отказов элементов в этой системе равна 0,001 отказов в
год и она подчиняется экспоненциальному закону.
Пример решения:
Дано:
P
=0,1;
ig
λ
=0,001;
ig
n = 4;
m = 4.
Найти: Pi0(t), Qi0(t), Pc(t), λc(t).
Решение:
Qi0(t), Pc(t), λc(t)
P
= 0,1Qig= 1 – P
ig
= 0,9.
ig
Элементы основной цепи: Э10, Э20, Э30, Э40.
Элементы первой цепи: Э11, Э21, Э31, Э41.
Элементы второй цепи: Э12, Э22, Э32, Э42.
n = 4, m = 2. Общее число резервных элементов равно m·n.
1. Рассчитаем вероятность безотказной работы основной цепи:
Pi0(t) =
=
= 0,14= 0,0001.
2. Рассчитаем вероятность отказа основной цепи:
Qi0(t) =1 – Pi0(t) = 1 – 0,0001 = 0,9999.
3. Определим вероятность безотказной работы системы:
Pc(t) = 1 – Qc = 1 – q
n
(t) = 1 – 0,99993 = 1 – 0,9997 = 0,0003.
ц
4. Проверим, будет ли безотказность системы подчиняться экспоненциальному закону при параллельном соединении элементов системы, если каждый из этих элементов подчиняется экспоненциальному
закону.
42
При экспоненциальном законе:
;
Pc(t) = 1 – Q
(t) = 1 – (1 –
c
Pc(t) = 1 – (1 – 2,72
(t) = (1 –
-0,001·1)2+1
= 1 – (1 – 2,719)3 = 1 – (–1,719)3 =
(t);
m+1
)
= 1 – (1 – 2,72
;
-λ·365)2+1;
= 1 –(–5,0795) = 6,0795, где t = 1 год.
Из расчетов видим, что вероятность безотказной работы системы
равна числам, которые находятся за пределами ограничений для вероятности (0 ≤ P ≤ 1). Это подтверждает, что экспоненциальный закон
при параллельном соединении не работает.
5. Вероятность безотказной работы системы в 1 варианте равна
Pc(t) = 0,0053935, а во втором варианте Pc(t) = 0,0003. Проведенные
расчеты подтверждают выводы, сделанные в первом варианте: надежность системы при раздельном резервировании элементов выше, чем
при общем резервировании.
6. Теперь рассчитаем интенсивность отказов системы. Исходя из
того, что выполняются условия для экспоненциального закона, подставим известные значения (λ0 = 0,001; m = 2; t = 1) в формулу
.
При округлении расчетов до 4 знаков после запятой по правилам
математики получим результат: λc(t) = 0,0059.
Задача 3
Рассчитайте в течение года вероятность безотказной работы системы, состоящей из трех элементов, представленной на рис. 18, если элементы отказывают независимо друг от друга. Количество резервных
элементов равно двум. Вероятность безотказной работы каждого эле-
43
мента составляет 0,1 отказ/год. Рассчитайте интенсивность отказов
системы за 1 год, если известно, что интенсивность отказов каждого
элемента в системе равна 0,001 отказа в год и она подчиняется экспоненциальному закону.
Рис. 18. Схема соединения элементов в системе
Пример решения задачи в третьем варианте.
Дано:
Pi(t) = 0,1;
λi(t) = 0,001;
λi(t) = const;
n = 3;
m = 2.
Найти: λс(t) за год.
Решение:
1. В случае, когда все элементы равнонадёжны, а отказы независимы друг от друга, будем находить вероятность отказа системы по формулам для параллельного соединения элементов, то есть
Qc(t)=
= q1(t) · q2(t) · q3(t).
Тогда вероятность безотказной работы системы:
P
1 – Q
c
3
(t) = 1 – (1 – Pi(t))3;
j
Pc(t) = 1 – (1 – 0,1)3 = 1 – 0,93(t) = 1 – 0,729 = 0,271.
Таким образом, если безотказность каждого элемента при параллельном соединении элементов подчиняется экспоненциальному закону, то безотказность системы уже не будет подчиняться этому закону,
как в случае последовательного соединения.
44
2. Рассчитаем интенсивность отказов системы по экспоненциаль-
ному закону:
;
=
λс(t) =
= 0,000000003006 = 0,3006·10-8.
3. Порядок выполнения работы
1. Проверка усвоения необходимого теоретического материала.
2. Прохождение студентами инструктажа по технике безопасности
при выполнении работы.
3. Преподаватель показывает и объясняет порядок и процесс вы-
=
полнения заданий лабораторной работы.
4. Получение задания на выполнение работы в электронном виде
по локальной сети.
5. Выполнение работы в соответствии с полученным заданием.
6. Текущий контроль преподавателем хода выполнения работы.
7. Получение зачета по работе.
8. Запись домашнего задания [10].
4. Теоретический и справочный материал
1. Лекция 5: Надежность невосстанавливаемых резервированных
систем.
2. Лекция 6: Надежность невосстанавливаемых резервированных
систем.
3. http://nadegnost.narod.ru/lection5.html#6. Надежность невосста-
навливаемых резервированных систем.
4. http://nadegnost.narod.ru/lection6.html#6.3. Общее резервирование
замещением.
45
Лабораторная работа № 7
2
4
Расчет надежности систем при ненагруженном резервировании
1. Цели и задачи работы
Закрепить теоретические знания и получить навыки решения задач
по определению надежности систем при ненагруженном резервировании.
2. Содержание работы
Решение задач.
Вариант 1
Рассчитайте вероятность безотказной работы и среднее время наработки на отказ системы, изображенной на рис. 19, если Pi = 0,85 отказ/год с кратностью, равной 2. Резервные элементы до их включения
абсолютно надежны. Основной узел содержит 3 элемента.
Рис. 19. Ненагруженное резервирование
Пример решения задачи в первом варианте.
Дано:
Pi(t) = 0,85;
n = 5;
l = 2;
λ = 0,02;
Т2 = Т4 = Т5 = 8760 час.
Найти: Pс(t) за год, T
2гр
.
46
Решение:
1
1
)!1(
1
l
i
i
q
l
Q
1
1
)1(
)!1(
1
1
l
i
i
p
l
P
1
)1(
)!1(
1
1
l
p
l
P
)!1(
)(
1
1
.2
l
t
P
l
гр
1. При ненагруженном резервировании резервные элементы последовательно включаются в работу при отказе основного, затем первого
резервного и т.д. (см. рис. 19), поэтому надежность резервных элементов зависит от момента их перехода в основное состояние. Такое резервирование в различных ТС встречается наиболее часто, так как оно,
по сути, аналогично замене отказавших элементов и узлов на запасные.
Если резервные элементы до их включения абсолютно надежны, то
для системы с ненагруженным резервированием кратности l (всего
элементов l +1)
;
,
т.е. вероятность отказа в (l+1)! раз меньше, чем при нагруженном.
Для идентичных по надежности основного и резервного элементов
;
P
= 1 –
c
· (1 – 0,85)
2+1
= 1 – 1/6 · 0,153 = 1 – 1/6 · 0,003375 =
= 1 – 0,166 · 0,003375 = 1 – 0,00056025 = 0,99943975.
При экспоненциальном распределении наработки (простейшем потоке отказов) в случае t << 1 можно воспользоваться приближенной
формулой:
.
Теперь подставим данные в задаче значения в указанные формулы.
При t = 1:
= 1 –
2гр ·P3
P
≈ 1 –
2гр
Рс = P1 · P
= 1 – 0,000001333 = 0,999998667;
= 0,1 · 0,999998667 · 0,1 = 0,00999998667.
47
2. При ненагруженном резервировании средняя наработка на отказ
1
1
0
l
i
i
TT
определяется формулой
, а для идентичных элементов T0= nT0i.
Т
=3·8760 = 26280 час. – наработка на отказ 2 группы элементов.
о2гр
Вариант 2
Рассчитайте вероятность безотказной работы ИС, изображенной на
рис. 20, с раздельным резервированием при экспоненциальном распределении наработки, если Pi = 0,9 отказов/год с кратностью, равной 2.
Резервные элементы до их включения абсолютно надежны. Основной
узел содержит 5 элементов. Определите среднюю наработку на отказ
каждой группы этой системы.
Рис. 20. Ненагруженное резервирование
Пример решения задачи во втором варианте.
Дано:
Pi(t) = 0,9;
n = 15;
l = 2;
λ = 0,02;
Т1 =Т2 =Т3 =Т4=Т5 = 8760 час.
Найти: Pс(t) за год, T
iгр
.
48
Решение:
1
)1(
)!1(
1
1
l
p
l
P
)!1(
)(
1
1
.
l
t
P
l
iгг
1
1
0
l
i
i
TT
1. Для системы с раздельным ненагруженным резервированием n
элементов с кратностью l (см. рис. 20) вероятность безотказной работы
системы будет рассчитываться по формуле
;
P
= 1 –
c
· (1 – 0,9)
2+1
= 1 – 1/6 ·0,13 = 1 – 1/6 · 0,001 =
= 1 – 0,166 · 0,001 = 1 – 0,000166 = 0,999834.
При экспоненциальном распределении наработки (простейшем по-
токе отказов) в случае t << 1 можно воспользоваться приближенной
формулой
.
Теперь подставим данные в задаче значения в указанные формулы.
При t = 1:
P
≈ 1 –
i гр
Рс = P1 · P
= 1 –
2гр ·P3
· P
4гр·P5
= 1 – 0,000001333 = 0,999998667;
= 0,9999986675 = 0,999993.
2. При ненагруженном резервировании средняя наработка на отказ
каждой группы элементов определяется формулой
, а для идентичных элементов T0 = nT0i.
Т
=3·8760 = 26280 час.
о1 гр
3. Порядок выполнения работы
1. Объяснение преподавателем порядка и процесса выполнения
заданий лабораторной работы.
2. Проверка усвоения необходимого теоретического материала.
3. Получение задач для решения в электронном виде по локальной
сети.
4. Выполнение работы в соответствии с полученным заданием.
49
5. Текущий контроль преподавателем хода выполнения работы.
6. Получение зачета по работе.
7. Запись домашнего задания [10].
4. Теоретический и справочный материал
1. Лекция 5: Надежность невосстанавливаемых резервированных
систем.
2. Лекция 6: Надежность невосстанавливаемых резервированных
систем.
3. http://nadegnost.narod.ru/lection5.html#6. Надежность невосста-
навливаемых резервированных систем.
4. http://nadegnost.narod.ru/lection6.html#6.3. Общее резервирование
замещением.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]