Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надёжность систем автоматического управления технологическими процессами. Учебно-методическое пособие
.pdf
всего периода работы системы [8]. Все элементы соединены постоян-
1
( ) ( )
m
cj
j
Q t Q t
1
( ) 1 1 ( )
m
cj
j
P t P t
1
1
( ) ( ),
( ) 1 1 ( ) ,
m
c
m
c
Q t Q t
P t P t
1
1
1
( ) ( ) ,
( ) (1 ) ,
( ) 1 (1 ) ,
11
.
1
t
j
tm
c
tm
c
m
tc
i
P t P t e
Q t e
P t e
m
i
но, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается.
Вероятность отказа системы Qc(t), состоящей из m параллельных
элементов определяется формулой
, (3.3)
где Qj(t) – вероятность отказа j-го элемента.
Вероятность безотказной работы такой же системы:
, (3.4)
где Рj(t) – вероятность безотказной работы j-го элемента.
Если все элементы системы обладают одинаковой надёжностью
Р
(t) = Р(t) при j = 0, 1, …, m, то
i
(3.5)
При экспоненциальном законе надёжности отдельных элементов
имеем:
Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов. Схема
общего резервирования показана на рис. 3.1. Основная цепь содержит
n элементов. Число резервных цепей равно m, т. е. кратность резервирования равна m.
(3.6)
Рис. 3.1. Схема общего резервирования
51
Определим количественные характеристики надёжности системы
1
( ) ( ),
n
j ij
i
P t P t
1
( ) 1 ( )
n
c ij
i
Q t P t
01
( ) 1 ( )
mn
c ij
ji
Q t P t
01
( ) 1 1 ( )
mn
c ij
ji
P t P t
( ) ( )
ij i
P t P t
1
1
( ) 1 ( )
m
n
c ij
i
Q t P t
1
1
( ) 1 1 ( )
m
n
c ij
i
P t P t
()
i
t
i
P t e
0
1
( ) 1
m
t
c
Q t e
0
1
( ) 1 1
m
t
c
P t e
0
1
n
i
i
с общим резервированием (резервные цепи включены постоянно).
Запишем вероятность безотказной работы j-й цепи:
(3.7)
где Рij(t), j = 0, 1, 2, …, m; i = 1, 2, 3, …, n – вероятность безотказной
работы элемента с номером ij.
Вероятность отказа j-й цепи:
. (3.8)
Вероятность отказа системы с общим резервированием:
. (3.9)
Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием:
. (3.10)
Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую
надёжность, т. е.
. (3.11)
Тогда:
; (3.12)
. (3.13)
Рассмотрим экспоненциальный закон надёжности, т. е.
. (3.14)
В этом случае формулы (3.12), (3.13) примут вид:
, (3.15)
, (3.16)
где λ0 – интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов.
, (3.17)
52
Частота отказов системы с о6щим резервированием:
00
0
()
( ) ·( 1)· 1
m
tt
c
c
dP t
f t m e e
dt
00
0
0
1
·( 1)· 1
()
()
()
11
m
tt
c
c
m
t
c
m e e
ft
t
Pt
e
0
0
1
1
m
tc
j
mT
j
. (3.18)
Интенсивность отказов системы с общим резервированием:
. (3.19)
Среднее время безотказной работы резервированной системы:
, (3.20)
где Т0 = 1/λ0 – среднее время безотказной работы нерезервированной
системы.
Задачи для решения на практических занятиях
Задача 29. Система состоит из 10 равнонадёжных элементов,
среднее время безотказной работы элемента mt = 1000 ч. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надёжности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадёжны.
Необходимо найти среднее время безотказной работы системы mtc, а
также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов λс(t) в момент
времени t = 50 ч в следующих случаях: а) нерезервированной систе-
мы; б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.
Задача 30. В системе телеуправления применено дублирование
канала управления. Интенсивность отказов канала λ = 10-2 1/ч. Рассчитать вероятность безотказной работы Рс(t), среднее время безотказной работы mtc, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов λс(t)
системы при t = 10 ч.
Задача 31. Нерезервированная система управления состоит из
n = 5000 элементов. Для повышения надёжности системы предпола-
гается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно
оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной
работы системы Рс(t) = 0,9 при t =10 ч, необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении
отсутствия последействия отказов.
53
Задачи для самостоятельного решения
Вариант
n
mt, ч
t, ч
Вариант
n
mt, ч
t, ч
1
10
570
84
11
9
640
50
2
9
780
64
12
7
550
83 3 6
660
45
13
9
770
42 4 6
990
62
14
6
520
43 5 7
730
64
15
10
650
68
6
10
500
41
16
10
750
68 7 7
760
75
17
9
640
98
8
7
710
57
18
8
980
47 9 5
840
62
19
7
890
79
10
7
740
93
20
6
1000
40
Вариант
λ10-3, 1/ч
t, ч
Вариант
λ10-3, 1/ч
t, ч
1
3.89
11
11
0.48
17
2
6.42
10
12
1.97
16
3
9.24
19
13
1.36
15
4
7.64
18
14
9.08
14
5
8.33
10
15
6.45
14
6
4.82
18
16
6.45
10
7
1.51
10
17
0.88
16
8
6.39
16
18
7.98
11
9
3.85
19
19
7.53
14
10
3.95
20
20
4.27
15
Задача 32. Система состоит из n равнонадёжных элементов, сред-
нее время безотказной работы элемента составляет mt. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надёжности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадёжны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы mtc, а также
частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов λс(t) в момент времени t,
в следующих случаях: а) нерезервированной системы; б) дублированной системы при постоянно включенном резерве. Численные значения
исходных данных по вариантам приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Задача 33. В системе телеуправления применено дублирование
канала управления. Канал характеризуется интенсивностью отказов λ.
Рассчитать вероятность безотказной работы Рс(t), среднее время безотказной работы mtc, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов λс(t)
системы для заданного момента времени t. Численные значения исходных данных по вариантам приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
54
3.5. РАСЧЁТ НАДЁЖНОСТИ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ
0
1
1
( ) 1 1 1
!
m
i
t
t
i
c
i
a
Q t e e
i
1
0
0
1
i
i
j
aj
0
1
1
( ) 1 ( ) 1 1
!
m
i
t
t
i
cc
i
a
Р t Q t e e
i
1
0
0
11
()
1
m
tc c
i
m P t dt
ik
0
1 1 1
1
1
0
11
0
( ) 1 1 1
! ( 1)!
mm
ii
t
t t t
ii
c
ii
aa
f t e e e e
ii
С ЗАМЕЩЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ В РЕЖИМЕ ОБЛЕГЧЁННОГО
(ТЕПЛОГО) И НЕНАГРУЖЕННОГО (ХОЛОДНОГО) РЕЗЕРВА
В этом случае резервные элементы работают в облегчённом режиме до момента их включения в работу. Надёжность резервного элемента в этом случае выше надёжности основного элемента, так как резервные элементы находятся в режиме недогрузки до момента их
включения в работу.
Вероятность отказа резервированной системы с облегчённым резервированием определяется соотношением:
, (3.21)
где
. (3.22)
Здесь λ1 – интенсивность отказа резервного элемента в режиме недогрузки до момента включения его в работу;
λ0 – интенсивность отказа резервного элемента в состоянии
работы;
m – кратность резервирования или количество резервных
элементов.
Вероятность безотказной работы системы с облегчённым резервированием определяется формулой
. (3.23)
Определим среднее время безотказной работы системы с облегчённым резервированием:
где
k = λ1 / λ0. (3.25)
Определим частоту отказов fc(t) системы с облегчённым резервированием:
55
, (3.24)
. (3.26)
Определим интенсивность отказов λс(t) системы с облегчённым
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
()
( 1)!
( ) 1
()
11
!
m
i
t
i
t
i
c
c
m
i
t
i
c
i
a
e
ft
i
te
a
Pt
e
i
1
0
0
( ) 1
!
i
m
t
c
i
t
Q t e
i
1
0
0
( ) 1 ( )
!
i
m
t
cc
i
t
P t Q t e
i
0
0
1
()
tc c
m
m P t dt
0
1
0
()
()
!
m
t
m
c
c
dP t
f t t e
dt m
0
1
0
0
0
()
()
()
!
!
mm
t
c
c
i
m
c
i
f t t
te
Pt
t
m
i
резервированием:
. (3.27)
При λ1 = 0 имеем режим ненагруженного (холодного) резерва.
Вероятность отказа резервированной системы с ненагруженным резервированием определяется соотношением:
. (3.28)
Вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом определяется формулой
. (3.29)
Определим среднее время безотказной работы системы с ненагруженным резервом:
. (3.30)
Определим частоту отказов fc(t) системы с ненагруженным резервом:
. (3.31)
Определим интенсивность отказов λс(t) системы с ненагруженным резервом.
. (3.32)
Задачи для решения на практических занятиях
Задача 34. Система состоит из 10 равнонадёжных элементов,
среднее время безотказной работы элемента mt = 1000 ч. Предполага-
ется, что справедлив экспоненциальный закон надёжности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадёжны.
56
Необходимо найти среднее время безотказной работы системы mtc, а
Вариант
n
λ, 1/ч
t, ч
m
Вариант
n
λ, 1/ч
t, ч
m
1
12
0,002
120 1 11
11
0,003
100 1 2
9
0,003
140 2 12
20
0,004
65 2 3
10
0,004
60 3 13
12
0,005
110 3 4
15
0,005
53 4 14
14
0,006
75 4 5
20
0,006
70 5 15
21
0,007
40 5 6
32
0,007
12 1 16
8
0,008
85 1 7
7
0,008
80 2 17
21
0,009
20 2 8
18
0,009
17 3 18
12
0,007
27
3
9
13
0,001
90 4 19
10
0,002
55
4
10
16
0,002
105 5 20
15
0,001
145
5
также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов λс(t) в момент
времени t = 50 ч в следующих случаях: а) нерезервированной системы; б) дублированной системы при частично нагруженном резерве.
Задача 35. В системе телеуправления применено «холодное» дубли-
рование канала управления. Интенсивность отказов канала λ = 10–2 1/ч.
Рассчитать вероятность безотказной работы системы Рс(t) при
t = 10 ч, среднее время безотказной работы mtc, частоту отказов fc(t),
интенсивность отказов λс(t) системы.
Задачи для самостоятельного решения
3адача 36. Система состоит из n равнонадёжных элементов, каждый
из которых характеризуется средней интенсивностью отказов λ. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надёжности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадёжны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы, частоту отказов и интенсивность отказов для момента времени t в следующих
случаях: а) нерезервированной системы; б) системы с частично
нагруженным резервом при m дублирующих каналах. Численные
значения исходных данных по вариантам приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
3адача 37. В системе диспетчеризации для передачи телеметри-
ческих данных применяется устройство, которое состоит из основного передатчика, с интенсивностью отказов λ и m резервных передат-
57
чиков, работающих в облегченном режиме, для которых интенсив-
Вариант
λ, 1/ч
λ0, 1/ч
t, ч
Вариант
λ, 1/ч
λ0, 1/ч
t, ч
1
0,008
0,0008
60
11
0,003
0,0002
11
2
0,003
0,0006
190
12
0,004
0,00025
12
3
0,004
0,0007
130
13
0,005
0,00027
13
4
0,005
0,0002
100
14
0,006
0,00045
14
5
0,006
0,0003
220
15
0,007
0,00088
15
6
0,007
0,00071
160
16
0,008
0,00077
16
7
0,008
0,0006
250
17
0,009
0,00095
17
8
0,009
0,00085
80
18
0,007
0,00037
18
9
0,001
0,00018
240
19
0,002
0,00015
19
10
0,002
0,0002
170
20
0,001
0,0002
20
Вариант
λ10-5, 1/ч
t, ч
m
Вариант
λ10-5, 1/ч
t, ч
m
1
120
330 1 11
125
730 1 2
91
470 2 12
123
280 1 3
135
980 2 13
101
250 2 4
77
690 2 14
119
330
3
5
114
750 1 15
114
320 2 6
87
970 1 16
136
940
3
7
92
880 2 17
79
240
2
8
122
630 2 18
136
390
1
9
141
20 1 19
123
280
2
10
63
270 1 20
131
610
2
ность отказов составляет λ0. Требуется определить вероятность безотказной работы устройства и время наработки до первого отказа без
резервирования и при кратности резервирования m = 1, m = 2, m =3
при заданной величине времени t. Численные значения исходных
данных по вариантам приведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
3адача 38. В электроприводе имеется элемент, характеризуемый
интенсивностью отказов λ. С целью повышения показателей надёжности организован «холодный» резерв с хранением на складе m резервных
элементов с такими же показателями надёжности. Требуется определить вероятность безотказной работы, время наработки до первого отказа, частоту и интенсивность отказов системы без резервирования и с
резервированием для заданного момента времени t. Численные значения исходных данных по вариантам приведены в табл. 3.5.
Таблица 3.5
58
3.6. РАСЧЁТ НАДЁЖНОСТИ СИСТЕМЫ
0
( ) ( )
m
i ij
j
Q t Q t
0
( ) 1 ( ) 1 1 ( )
m
i i ij
j
P t Q t P t
0
( ) ( )
n
ci
i
P t P t
00
( ) 1 1 ( )
nm
c ij
ij
P t P t
( ) ( )
ij
P t P t
1
( ) 1 1 ( )
n
m
c
P t P t
С ПОЭЛЕМЕНТНЫМ РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ
При поэлементном резервировании резервируются отдельно элементы системы (рис. 3.2). При этом элементы работают в равнонагруженном режиме, который, зачастую, называется «горячим», так как
безо всяких переключений готов принять на себя нагрузку от отказавших элементов. Определим количественные характеристики надёжности системы [8].
Рис. 3.2. Поэлементное резервирование в системе
Вероятность отказа i-й группы:
, i = 1, 2, 3, …, n, (3.33)
где Qij(t) – вероятность отказа элемента с номером ij на интервале
времени (0, t).
Вероятность безотказной работы j-й группы:
, i = 1, 2, 3, …, n, (3.34)
где Pij(t) – вероятность безотказной работы элемента с номером ij на
интервале времени (0, t);
mi – кратность резервирования элемента j-й группы.
Вероятность безотказной работы системы с поэлементным резервированием:
или
Для равнонадёжных элементов системы и mi = m = const имеем:
. (3.35)
, (3.36)
. (3.37)
59
Если
( ) ( )
ij i
P t P t
1
1
( ) 1 1 ( )
i
n
m
ci
i
P t P t
()
i
t
i
P t e
1
1
( ) 1 1
i
i
n
m
t
c
i
P t e
1
( ) 1 1
n
m
t
c
P t e
0
()
tc c
m P t dt
0
( 1)! 1
( 1) ( 1)...( 1)
m
tc
j
j j j
n
m
m v v v n
Элементы
Количество
элементов
Интенсивность отказов
элемента λ10-5, 1/ч
Транзисторы 1 2,16
Резисторы 5 0,23
Конденсаторы 3 0,32
Диоды
1
0,78
Катушки индуктивности
1
0,09
, (3.38)
то формула (3.35) примет вид:
При экспоненциальном законе надёжности, когда
. (3.39)
:
. (3.40)
В этом случае формула (3.7) примет вид:
, (3.41)
а среднее время безотказной работы системы определяется соотношением
. (3.42)
Подставляя (3.41) в (3.42), получим
,
(3.43)
где νj = (j + 1) / (m + 1).
Задачи для решения на практических занятиях
Задача 39. Для повышения надёжности усилителя все его элементы
дублированы. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надёжности для элементов системы. Необходимо найти вероятность безотказной работы усилителя в течение t = 5000 ч. Состав эле-
ментов нерезервированного усилителя и данные по интенсивности отказов элементов приведены в табл. 3.6.
Таблица 3.6
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]