Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Надёжность систем автоматического управления технологическими процессами. Учебно-методическое пособие
.pdf
Вероятностный анализ надёжности технических систем заключа-
N
tntP)(
)(*
N
tnN
tQ)()(*
ется в основном в определении конкретных значений показателей
надёжности. При этом распределение вероятностей безотказной работы технических систем от момента включения до момента отказа, которое называется обычно математической моделью безотказности, у
различных технических систем различно. Другими словами, время
между соседними отказами для элементов, узлов, блоков, подсистем и
систем является непрерывной случайной величиной, которая характеризуется определенным законом распределения, зависящим и от «периодов жизни» технических систем (см. рис. 2.1), и от её отдельных
узлов, блоков и т. д., и от типа самой технической системы в целом.
Исходя из изложенного, рассмотрим наиболее часто используемые для расчета надёжности технической системы законы распределения, характеризующие непрерывные случайные величины.
2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
НАДЁЖНОСТИ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ
ОБ ОТКАЗАХ ИЗДЕЛИЯ
Вероятность безотказной работы по статистическим данным об
отказах оценивается выражением:
, (2.1)
где n(t) – число изделий, не отказавших к моменту времени t;
N – число изделий, поставленных на испытания;
Р*(t) – статистическая оценка вероятности безотказной работы
изделия [8].
Для вероятности отказа по статистическим данным справедливо
соотношение:
,
где N–n(t) – число изделий, отказавших к моменту времени t;
Q*(t) – статистическая оценка вероятности отказа изделия.
11
(2.2)
Частота отказов по статистическим данным об отказах определя-
tn
tn
tf
)(
)(*
)(
)(
)(*
tnn
tn
t
N
i
it
t
N
m
1
1
*
.
1
1
*
N
tiср i
i
m nt
N
ется выражением:
,
(2.3)
где Δn(t) – число отказавших изделий на участке времени (t, t+Δt);
f*(t) – статистическая оценка частоты отказов изделия;
Δt – интервал времени, за который определяется частота отказов.
Интенсивность отказов по статистическим данным об отказах
определяется формулой
,
(2.4)
где n(t) – число изделий, не отказавших к моменту времени t;
Δn(t) – число отказавших изделий на участке времени (t, t+Δt);
λ*(t) – статистическая оценка интенсивности отказов изделия.
Среднее время безотказной работы изделия по статистическим
данным оценивается выражением:
,
(2.5)
где ti – время безотказной работы i-го изделия;
N – общее число изделий, поставленных на испытания;
mt* – статистическая оценка среднего времени безотказной работы
изделия.
Для определения mt* по формуле (2.5) необходимо знать моменты
выхода из строя всех N изделий. Можно определять mt* из уравнения:
, (2.6)
где ni – количество вышедших из строя изделий в i-м интервале
времени;
t
ср.i
= (t
i-1+ti
)/2;
m = tk/Δt ;
Δt = t
t
– время начала i-го интервала;
i-1
i+1
– ti;
ti – время конца i-го интервала;
tk – время, в течение которого вышли из строя все изделия;
Δt – интервал времени.
12
Дисперсия времени безотказной работы изделия по статистиче-
N
i
tit
mt
N
D
1
2
*)(
1
1
*
Δti, ч
ni
Δti, ч
ni
Δti, ч
ni
0–5
1
30–35
4
60–65
3
5–10
5
35–40
3
65–70
3
10–15
8
40–45
0
70–75
3
15–20
2
45–50
1
75–80
1
20–25
5
50–55
0
−
−
25–30
6
55–60
0
−
−
ским данным определяется формулой
,
(2.7)
где Dt* – статистическая оценка дисперсии времени безотказной ра-
боты изделия.
Задачи для решения на практических занятиях
Задача 1. На испытание поставлено 1000 однотипных датчиков
тока, за 3000 часов отказало 80 датчиков. Требуется определить P*(t),
Q*(t) при t = 3000 ч.
Задача 2. На испытание было поставлено 1000 однотипных
датчиков тока. За первые 3000 часов отказало 80 датчиков, а за интервал времени 3000–4000 часов отказало еще 50 датчиков. Требуется
определить статистическую оценку частоты и интенсивности отказов датчиков тока в промежутке времени 3000–4000 часов.
Задача 3. На испытание поставлено N = 400 изделий. За время
t = 3000 ч отказало 200 изделий, т. е. n(t) = 400 – 200 = 200. За интервал
времени (t, t+Δt), где Δt = 100 ч, отказало 100 изделий, т. е. Δn(t) = 100 ч.
Требуется определить Р*(3000), P*(3100), f*(3000), λ*(3000).
Задача 4. На испытание поставлено 6 однотипных изделий. По-
лучены следующие значения ti (ti – время 6езотказной работы i-го
изделия): t1 =280 ч; t2 = 350 ч; t3 =400 ч; t4 =320 ч; t5 =380 ч; t6 =330 ч.
Определить статистическую оценку среднего времени безотказ-
ной работы изделия.
Задача 5. В результате наблюдения за 45 образцами электро-
оборудования получены данные до первого отказа всех 45 образцов, сведенные в табл. 2.1. Требуется определить mt*.
Таблица 2.1
13
Задачи для самостоятельного решения
Вариант
N
t1, ч
Δn1
t2, ч
Δn2
Вариант
N
t1, ч
Δn1
t2, ч
Δn2
1
100
4000
50
4100
20
11
900
5000
79
515
30
2
150
4500
45
4800
22
12
100
5500
65
560
33
3
200
5000
55
5200
34
13
120
6000
33
630
27
4
250
5500
60
5750
31
14
186
6500
44
672
15
5
300
6000
38
6150
28
15
210
6580
49
663
25
6
400
6500
42
6600
21
16
256
7000
51
705
31
7
500
6580
64
6900
16
17
330
4000
57
413
28
8
600
7000
70
7100
35
18
390
4500
71
474
18
9
700
4000
75
4200
19
19
550
5000
67
518
25
10
800
4500
61
4750
27
20
680
5500
83
573
13
Вариант
N
t, ч
Δn
Вариант
N
t, ч
Δn
1
100
4000
50
11
489
5800
18
2
130
4300
19
12
510
5900
25 3 220
4600
27
13
567
6000
13 4 180
4750
30
14
590
6100
22
5
260
4900
33
15
614
6300
34
6
290
5000
27
16
640
6450
31 7 313
5150
15
17
685
6550
28 8 365
5300
25
18
700
6800
21 9 398
5500
31
19
730
6950
16
10
430
5670
28
20
784
7000
35
Задача 6. На испытание поставлено N однотипных изделий. За
время t1 отказало Δn1 изделий. За интервал времени t1 – t2 отказало
ещё Δn2 изделий. Требуется определить f*(t), λ*(t) при t = t1. Численные значения исходных данных по вариантам приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Задача 7. На испытание поставлено N однотипных изделий. За
время t отказало Δn изделий. Требуется определить P*(t) и Q*(t)
при заданном t. Численные значения исходных данных по вариантам приведены в табл. 2.3.
Таблица 2.3
14
Задача 8. На испытание поставлено N однотипных изделий.
Вариант
N
t1, ч
t2, ч
t3, ч
t4, ч
t5, ч
t6, ч
t7, ч
t8, ч
t9, ч
t10, ч
1
8
537
553
501
830
734
902
680
928
2
7
746
874
549
611
691
749
758 3
6
760
601
557
732
785
760 4 5
951
653
971
684
967 5
9
997
682
741
846
562
843
946
690
870 6
10
508
593
921
596
557
736
612
582
805
615
7
5
521
711
745
915
619 8
6
540
761
707
811
852
595 9 7
975
852
659
743
955
591
855 10
8
744
905
555
775
977
927
520
591
11
9
881
585
730
957
552
773
506
692
649
12
10
759
801
686
790
834
708
891
880
972
664
13
5
938
721
909
789
749 14
6
619
913
797
821
927
607
15
7
731
805
691
865
604
585
810
16
8
809
967
863
678
753
666
841
809
17
9
671
822
991
619
992
668
660
932
820 18
10
763
796
663
812
568
507
665
797
546
531
19
5
702
922
713
612
656 20
6
695
965
853
609
819
671
Получены следующие значения времени отказа каждого из изделий.
Требуется определить статистическую оценку среднего времени
безотказной работы изделия mt*. Численные значения исходных
данных по вариантам приведены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Задача 9. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре
было зарегистрировано n отказов. Известно время восстановления
каждого отказа (табл. 2.5). Требуется определить среднее время вос-
становления аппаратуры mtв*. Численные значения исходных данных
по вариантам приведены в табл. 2.5.
Задача 10. В результате наблюдения за N образцами радиоэлек-
тронного оборудования, которые прошли предварительную 80-часовую приработку, получены данные до первого отказа всех образцов,
сведенные в табл. 2.6. Необходимо определить mt*.
15
Таблица 2.5
Вариант
n
t1,
мин.
t2,
мин.
t3,
мин.
t4,
мин.
t5,
мин.
t6,
мин.
t7,
мин.
t8,
мин.
t9,
мин.
t10,
мин.
1
6
13
25
15
25
17
13 2 7
28
27
25
13
24
27
25 3
8
28
21
28
26
23
26
22
15 4 9
29
30
26
14
20
20
11
11
27 5
10
16
26
27
11
21
29
16
28
21
28 6 5
13
17
30
19
28
7
6
22
12
15
28
12
19 8 7
11
12
27
22
30
19
15 9
8
17
28
13
11
27
19
15
20
10
9
14
17
13
27
15
21
26
19
24 11
10
17
18
29
17
23
11
29
22
19
23
12
5
23
24
15
14
20 13
6
29
19
19
18
18
27
14
7
18
20
24
18
21
28
22 15
8
28
15
27
24
20
29
14
23
16
9
20
14
13
20
21
25
22
23
24
17
10
29
19
24
18
26
29
15
11
14
19
18
5
21
21
17
20
27 19
6
13
16
27
24
28
19
20
7
13
29
12
21
29
14
19
Δti, ч
ni по вариантам
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
N
108
76
78
106
112
100
104
108
92
72
0–10
12
12 6 0
20
18
16 2 16 2 10–20
16 4 4
18
16
12 4 4
10 2 20–30
0 8 10
14 4 16
10
18
10
16
30–40
14
16 2 18 8 20 8 18 6 8
40–50
20 8 2 4 18 2 14 6 2
6
50–60
4 8 12
18
16
20
20
18
18
14
60–70
18 2 18 8 10 6 14
12 6 12
70–80
14 8 8
20 8 4
10
12
18
4
80–90
10
10
16 6 12 2 8
18 6 8
90–100
4 2 2
18 6 0 6 20
10
20
Таблица 2.6
16
Окончание табл. 2.6
Δti,ч
ni по вариантам
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
N
104
92
74
76
80
110
98
84
60
102
0–10
4 6 6
12 0 12
16
18 0 12
10–20
8 2 10
10 0 14
10 2 8
18
20–30
16
14
14
16
16
10
12
14
16
20
30–40
16 2 4 2 14
14 8 6 2 8
40–50
18
18
16 6 18
20 0 10
16
4
50–60
8
12
10 6 8
14
16 2 12
18
60–70
18
14 6 2 2 14
14 4 0
16
70–80
12
18 0 8 4 6 6 12 4 0
80–90
4 6 8
14
18 6 16
16 2 6
90–100
4
18 8 20 2 20
14 8 8
6
0
()
0
( ) 1 ( )
t
t
t dt
P t e f t dt
( ) 1 ( )Q t P t
( ) ( )
()
dQ t dP t
ft
dt dt
()
()
()
ft
t
Pt
0
()
t
m P t dt
2.3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЁЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ
Выпишем формулы [8], по которым определяются количествен-
ные характеристики надёжности изделия:
; (2.8)
; (2.9)
; (2.10)
; (2.11)
. (2.12)
При изучении надёжности технических устройств наиболее часто
применяются следующие законы распределения времени безотказной
работы: экспоненциальный, усеченный нормальный, Релея, Гамма,
Вейбулла, логарифмически-нормальный.
В табл. 2.7 приведены выражения для оценки количественных
характеристик надёжности изделий при указанных законах распределения времени их безотказной работы.
17
Из выражений для оценки количественных характеристик
надёжности видно, что все характеристики, кроме средней наработки до первого отказа, являются функциями времени.
Рассмотренные критерии надёжности позволяют достаточно полно
оценить надёжность невосстанавливаемых изделий. Они также позволяют оценить надёжность восстанавливаемых изделий до первого
отказа. Наличие нескольких критериев вовсе не означает, что всегда
нужно оценивать надёжность изделий по всем критериям.
Наиболее полно надёжность изделий характеризуется частотой
отказов f(t). Это объясняется тем, что частота отказов является
плотностью распределения, а поэтому несёт в себе всю информацию о случайном явлении – времени безотказной работы.
Средняя наработка до первого отказа является достаточно
наглядной характеристикой надёжности. Однако применение этого
критерия для оценки надёжности сложной системы ограничено в
тех случаях, когда:
– время работы системы гораздо меньше среднего времени безотказной работы;
– закон распределения времени безотказной работы не однопараметрический, и для достаточно полной оценки требуются моменты
высших порядков;
– система резервированная;
– интенсивность отказов непостоянная;
– время работы отдельных частей сложной системы разное.
Интенсивность отказов – наиболее удобная характеристика надёжности простейших элементов, так как она позволяет более просто вычислять количественные характеристики надёжности сложной системы.
Наиболее целесообразным критерием надёжности сложной системы является вероятность безотказной работы. Это объясняется
следующими особенностями вероятности безотказной работы:
– она входит в качестве сомножителя в другие, более общие характеристики системы, например, в эффективность и стоимость;
– характеризует изменение надёжности во времени;
– может быть получена сравнительно просто расчётным путем в
процессе проектирования системы и оценена в процессе её испытания.
18
Таблица 2.7
Наименование
закона
распределения
Частота отказов
(плотность
распределения)
Вероятность
безотказной
работы
Интенсивность
отказов
Средняя
наработка
до первого отказа
Экспоненци-
альный
t
e
t
e
const
1
Нормальный
t
U
)(
)(5,0 UФ
()
1
0,5 ( )
t
U
ФU
)(1t
где
t
t
mt
U
,
U
U
dUeUФ
0
2
2
2
1
)(
,
2
2
2
1
)(
U
eU
Ф(U) – функция Лапласа, обладающая свойствами:
Ф(0) = 0; Ф(-U) = -Ф(U); Ф(∞) = 0.5.
Релея
22
2/
2
t
e
t
22
2/te
2
t
2
Гамма
(при k целом)
t
k
e
k
t
0
)!1(
)(
1
0
0
1
0
0
!
)(
0
k
i
i
t
i
t
e
1
0
0
1
00
!
)(
)!1(
)(
k
i
i
k
i
t
k
t
0
k
Логарифми-
чески
нормальный
2
1 ln
2
1
2
t
t
e
1
2
lnt
2
1 ln
2
1
2
ln
0.5
t
t
e
t
2
(ln )
2
0
1
2
t
t
e dt
Вейбулла
k
t
k
ekt
0
1
0
k
t
e
0
10k
kt
k
k
1
0
1
1
Усеченный
нормальный
2
2
1
()
2
1
2
tT
T
F
e
1
1
T
F
tT
F
tT
F
e
Tt
1
2
)(
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
T
T
T
F
e
19
Задачи для решения на практических занятиях
tt
ecectf
21
2211
)(
Задача 11. Время работы элемента до отказа подчинено экспо-
ненциальному закону распределения с параметром λ = 2,5·10-5 1/ч.
Требуется вычислить количественные характеристики надёжности
элемента P(t), Q(t), f(t), mt для t = 1000 ч.
Задача 12. Время работы элемента до отказа подчинено нор-
мальному закону с параметрами mt = 8000 ч, σt = 2000 ч. Требуется
вычислить количественные характеристики надёжности P(t), f(t),
λ(t), mt для t = 10000 ч.
Задача 13. Время работы изделия до отказа подчиняется закону
распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надёжности изделия P(t), f(t), λ(t), mt для t = 1000 ч, если параметр распределения σ = 1000 ч.
Задача 14. Время безотказной работы изделия подчиняется зако-
ну Вейбулла с параметрами k = 1,5; λ0 = 10-4 1/ч, а время работы изделия t = 100 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надёжности изделия P(t), f(t), λ(t).
Задача 15. В результате анализа данных об отказах аппаратуры
частота отказов получена в виде
.
Требуется определить количественные характеристики надёжности: P(t), λ(t), mt.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 16. Время работы элемента до отказа подчинено экспо-
ненциальному закону распределения с параметром λ. Требуется вычислить количественные характеристики надёжности элемента P(t),
Q(t), f(t), mt для времени t. Численные значения исходных данных по
вариантам приведены в табл. 2.8.
Задача 17. Время работы элемента до отказа подчинено нормаль-
ному закону с параметрами mt и σt. Требуется вычислить количественные характеристики надёжности P(t), f(t), λ(t), mt для времени t. Численные значения исходных данных по вариантам приведены в
табл. 2.9.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]