Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование. Учебное пособие
.pdf
Таблица П1
Варианты нулевой гипотезы в зависимости от особенностей гистограммы
Гистограмма Особенность Нулевая гипотеза
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1234567
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1234567
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1234567
Гистограмма
асимметрична,
наблюдается
«острая» левая
часть и «плавная» правая
часть
Гистограмма
относительно
симметрична с
явно выраженным карманом с
максимальным
числом «попаданий» случайной величины
Гистограмма
похожа на
«шум»
Экспоненциальный
закон. Параметр закона
распределения определяется как величина,
обратно пропорциональная среднему
арифметическому статистических данных
случайной величины
Нормальный закон распределения, параметры
которого (математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение) определяются с помощью, например, функций MS Excel
СРЗНАЧ() и СТАНДОТКЛОН()
Равномерный закон
распределения, параметры закона определяются как максимальное и минимальное
значение, которое принимает случайная величина
12
10
8
6
4
2
0
123456789101112
Гистограмма
имеет два выраженных пика
71
В данном случае имеет
место суперпозиция
законов распределения
случайной величины
Окончание табл. П1
Гистограмма Особенность Нулевая гипотеза
12
10
8
6
4
2
0
123456789101112
25
20
15
10
5
0
12345678
Гистограмма
имеет редко
встречающиеся
события
Гистограмма
имеет один
очень «высокий» и несколько «маленьких»
столбиков
Редко встречающиеся
события исключают из
рассмотрения и перестраивают гистограмму
с учетом уменьшения
области изменения
случайной величины
Редко встречающиеся
события исключают из
рассмотрения и перестраивают гистограмму
с учетом уменьшения
области изменения
случайной величины
В некоторых случаях можно проверить несколько гипотез. Следует
понимать, что аналитическое описание закономерности изменения
случайной величины «в природе» не существует. Это только абстрактная модель, которая используется для исследования. Модели могут
быть разными, и их может быть несколько. Критерий согласия позволяет выбрать наиболее близкую статистическим данным модель описания
случайной величины.
В табл. П2 представлены часто встречающиеся ситуации выбора
критерия согласия и рекомендуемые для использования в расчетах
критерии согласия.
Ситуация выбора критерия согласия Решение
Имеется несколько групп статистических данных, собранных в разных
условиях. Вопрос: можно ли объединить эти данные в одну группу?
Критерий Смирнова (определяет
степень принадлежности статистических данных одной генеральной
совокупности)
72
Таблица П2
Окончание табл. П2
Ситуация выбора критерия согласия Решение
Имеются статистические данные об
объекте исследования, а также сведения о теоретических значениях количественных параметров закона распределения случайной величины
Имеются только статистические данные об объекте исследования, сведения о теоретических значениях количественных параметров закона распределения случайной величины отсутствуют
Критерий Колмогорова (используется функция распределения случайных величин с заданными теоретическими значениями количественных параметров закона распределения)
Критерий Пирсона (используется
функция плотности распределения
случайных величин с рассчитанными на основе статистических
данных значениями количественных параметров закона распределения)
73
Приложение 3
Z
Z
Z
Z
Z
X
ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Построение системы уравнений можно (но не обязательно) начать
с расчета величины, определяющей решение вопроса. Это величина
очереди деталей у каждого станка в момент t. Величину очереди
)1(Zt
можно рассчитать как разницу между общим числом пришед-
оч
ших к данному станку деталей
1().
t
ным станком деталей
() (11 –1).()
tZ t Z t
оч общ обр
Полученное уравнение имеет вид
обр
Аналогичным образом рассчитывается величина очереди деталей в
момент t ко второму станку:
оч общ обр
Далее следует записать уравнения, позволяющие определить все
величины, входящие в правую часть уравнений для расчета
и
)2(.Zt
оч
Число пришедших к первому станку деталей к моменту t можно
определить, используя уравнение для расчета уровней вида
() ()111.()*
ttZ tX t t
общ общ вх
бой именно уровень, поскольку она накапливается с течением времени
и не изменяется при переводе объекта в состояние покоя (в состоянии
покоя все темпы в объекте равны нулю). В правой части уравнения к
значению числа пришедших деталей в предыдущий момент
добавляется новое число пришедших деталей, определяемое как произведение интенсивности прихода деталей
личину интервала Δt.
Аналогичным образом рассчитывается число пришедших к моменту t деталей ко второму станку:
*)2( .
tt
вх
Число обработанных деталей к моменту t можно определить, используя уравнение для расчета уровней. В правой части уравнения к
значению числа обработанных деталей в предыдущий момент
добавляется новое число обработанных деталей, определяемое как
и числом обработанных дан-
)1(Zt
общ
() (22–2).()
tZ tZ t
Эта величина представляет со-
)1(Xt
в момент t на ве-
вх
()22()
ttZ t
общ общ
оч
общ
обр
)1(Zt
)1(Zt
)1(Zt
74
произведение интенсивности обработки деталей
Z
Z
Z
() () (–1 1 .)1*tZ t t Z t X t t
величину интервала
обр обр вых
)1(Xt
в момент t на
вых
Аналогичным образом рассчитывается число обработанных заявок
на втором станке:
ZtX tt
обр обр вых
(()2()22*.
Входной темп поступления деталей к первому станку определяется
как
1
()
Xtt
вх
1, если 12и 1,
0, в противном случ
() () ()
Zt Z t Xt
оч оч вх
ае,
т. е. если выполняются два условия: пришла деталь на обработку
() 1Xt
вх
чем очередь ко второму станку, или очереди равны
и очередь деталей на обработку к первому станку меньше,
() ()12.
tZt
оч оч
В противном случае входной темп поступления деталей к первому
станку равен нулю.
Аналогичным образом рассчитывается темп поступления деталей
ко второму станку:
2
()
Xtt
вх
1, если 12и 1,
0, в противном с
() () ()
ZtZ t Xt
оч оч вх
лучае.
Деталь обрабатывается на первом станке в течение k1 шагов моделирования (временных тактов). Следовательно, в момент t может быть
закончена обработка той детали, которая поступила в объект исследования за k1 тактов до момента t, т. е. входной темп поступления заявок
1* 1.()Xtk t
в момент
должен быть равен единице:
1()*tk t
вх
Если очередь к первому станку деталей была меньше, чем ко второму
станку, или они равны –
tk t Z tk t
оч оч
то эту де-
()()11* 21*,
таль будет обрабатывать первый станок (правило выбора станка определяется в объекте исследования производственным регламентом). Таким образом, выходной темп обработки деталей первым станком в момент
()tt
будет равен единице, т. е. очередная деталь обработана,
если оба выше заданных условия (соотношение очередей и приход
детали на обработку) выполнены в момент
1* ).(tk t
В противном
75
случае выходной темп обработки деталей первым станком в момент
Z
Z
()tt
будет равен нулю, т. е. или деталь в момент
пришла и входной темп
1* 0,()Xtk t
вх
или очередь деталей на
1()*tk t
не
обработку к первому станку была больше, чем ко второму станку.
1, если 11* 21*
1 и 1* 1,
Xt Xtkt
() ( )
вых вх
()()
tk t Z tk t
оч оч
0, в противном
случае.
Аналогичным образом рассчитывается выходной темп обработки
деталей на втором станке:
1, если 12* 22*
2 и
Xt Xtkt
() ( ) 2* 1,
вых вх
()()
tk t Z tk t
оч оч
0, в противном случае.
Входной темп прихода деталей в момент t равен
заявка пришла, в противном случае входной темп
вх
вх
1(,)Xt
если
0(.)Xt
Время
прихода определяется датчиком случайных чисел с заданным законом
распределения.
()
Xt
вх
1, если заявка пришла в момент ,
0, если заявка не пришла в момент .
t
t
Число тактов обработки деталей первым и вторым станком соответственно определяется как
11/, 2 2/,k Т tk Т t
где Т1 и Т2 –
время обработки детали первым или вторым станком. Этот расчет выполняется только один раз перед началом моделирования с помощью
динамической модели.
76
Приложение 4
ПРИМЕР АНАЛИТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ
ДЛЯ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМОЙ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ
СИСТЕМЫ
Этот метод используется для расчета надежности как восстанавливаемых, так и невосстанавливаемых систем. Закон распределения
надежности (вероятности безотказной работы или восстановления)
системы и ее элементов должен быть только экспоненциальным:
tt
Pt e P t e
или () () .
обсл
Определим надежность конкретной системы методом дифференциальных уравнений.
Пусть система состоит из n-однотипных элементов, из которых z
основных и x резервных элементов n = z + x. При выходе из строя основного элемента на его место ставится резервный элемент. Система
прекращает функционирование, когда число отказавших элементов
будет равно х + 1.
Состояния в системе будем
различать по числу отказавших элемен-
тов. Интенсивность отказа основных элементов равна . Интенсивность отказа резервных элементов
где – коэффициент, учиты-
,
вающий нагрузку резервных элементов по сравнению с нагрузкой основных элементов. Если
то резервные элементы не нагружены и
0,
в режиме ожидания не отказывают, если
испытывают в процессе работы такую же нагрузку, как и основные
элементы.
Вероятность безотказной работы элемента на интервале [t, t + t]
определяется в соответствии с первым законом надежности как
t
, .()
Pt t t e
При разложении в ряд Тейлора
1/2!() ( /3! ) tt t
23
(), Ptt t
1, то резервные элементы
получим
(), Ptt t
77
Тогда вероятность отказа элемента на интервале [t, t + t] после от-
х
Е
Е
Р
Е
х
брасывания членов в разложении в ряд Тейлора экспоненциальной
функции, в которые t входит в степени выше первой, рассчитывается
как
()( 1 .),,qttt Pttt t
Таким образом, в методе дифференциальных уравнений вероятность отказа элемента на интервале [t, t + t] равна
.t
Составим систему дифференциальных уравнений для описанной
системы. Каждое уравнение определяет вероятность нахождения системы в одном из выделенных состояний.
Система может находиться в одном из (x + 1) состояний, которые
, , ..., , ..., .{}
различаются по числу отказавших элементов
Состояние
является конечным (поглощающим).
1
EE E E
01 1
ix
Вероятность нахождения системы в момент времени (t + t) в со-
стоянии
определяется как
0
где
),(о t
()о t
– ошибка, возникающая из-за расчета вероятности
отказа элемента по формуле
00
() .
tt
1()()(( ))Р ttР tztх t
При составлении данного уравнения используются теоремы сложения и умножения вероятностей событий.
Система в момент времени (t + t) будет находиться в состоя-
нии
ностью
времени t с вероятностью
,
если в момент времени t она была в этом состоянии с вероят-
0
()Р t
и не изменила его в течение последующего интервала
0
(( )1)zt
(последнее выраже-
t
ние определяет вероятность того, что ни один из элементов в системе
не откажет на интервале времени t).
Аналогично составляются еще х уравнений. Полученная система
уравнений дополняется уравнением нормировки суммы вероятностей
всех выделенных состояний системы.
78
()()(1( ))(),
Pt t Pt z t x t o t
00
( ) ( )(1 ( ) ( 1) )) ( )( ) ( ),
Pt t Pt z t x t P t z t x t o t
11 0
...
()()(1( ())) ()(
Pt t Pt z t x i t P t z t
ii i
(1) (),
xi tot
...
1
( ) () ( ) ()
Pt tPt ztPt
xx x
11
1
x
() 1.
Pt
i
i
0
(),
ot
Для получения системы дифференциальных уравнений необходимо
каждое уравнение системы преобразовать к следующему виду (покажем это преобразование для первого уравнения):
()()
Pt t Pt
00
t
Pt z x o t
0
()( ) ( )
.
()ot представляет собой ошибку расчета вероятности нахождения
системы в одном из возможных состояний.
Затем нужно взять предел по t 0 от левой и правой части уравнения. Первое уравнение примет вид
Pt t Pt
()()
00
lim ( )( )
t
0
t
Pt z x
0
.
Окончательно система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами будет иметь вид
79
()
dP t
dP t
dt
0
dt
1
()
()( ),
Pt z x
0
() ( ( 1)) () ( ),
Pt z x P t z x
10
...
dP t
...
()
i
dt
( ) ( ( )) ( ) ( ( 1)),
Pt z x i P t z x i
ii
1
dP t
1
x
dt
()
() .
Ptz
x
Данная система дифференциальных уравнений решается при следующих начальных условиях:
PP P
01 1
x
(0) 1, (0) 0,..., (0) 0.
Для аналитического решения полученной системы дифференциальных уравнений, дающего общее решение для данного случая, используется преобразование Лапласа:
() () ,
Ps e Ptdt
st
0
() ()( ) 1,
sP s P s z x
00
() () ( ( 1)) () ( ),
sPs Psz x Psz x
11 0
...
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( 1)),
sP s P s z x i P s z x i
ii i
...
1
() () .
sP s P s z
1
xx
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]