Моделирование систем. Системы массового обслуживания. Методическое пособие

4. СМО с ожиданием ......................................................... 22

5. СМО с ожиданием и с ограничением на длину очереди ....... 28

6. СМО смешанного типа с ограничением времени

ожидания в очереди ......................................................... 32

7. Задачи оптимизации СМО .............................................. 35

8. Задачи для самостоятельного решения ............................ 43

Заключение .................................................................... 46

Библиографический список ............................................... 47

Данное учебное пособие представляет собой руководство к изучению марковских случайных процессов и систем массово­го обслуживания в объеме, достаточном для целого ряда дисци­плин, для студентов, обучающихся по направлению подготовки

09.03.01 «Информатика и вычислительная техника». Особен­ностью пособия является то, что в нем для решения задач воз­можно активное использование компьютера (офисная програм­ма EXCEL). В параграфах 1–2 излагаются основные положения теории марковских случайных процессов и систем массового обслуживания. Параграфы 3–6 посвящены типичным приме­рам систем массового обслуживания. В параграфе 7 приводятся примеры и инструкции по решению более сложных задач. Для закрепления материала в параграфе 8 предлагаются задачи для самостоятельного решения.

В самых разных областях практики возникает необходи­мость в решении своеобразных вероятностных задач, связан­ных с работой так называемых систем массового обслуживания (в дальнейшем – СМО). Примерами таких систем могут служить телефонные станции, ремонтные мастерские, справочные бюро, билетные кассы, парикмахерские, магазины и т.п. Каждая си­стема состоит из какого-то числа обслуживающих единиц, ко­торые будем называть «каналами» обслуживания. СМО могут быть как одно-, так и многоканальными.

Работа СМО состоит в выполнении поступающего на нее пото­ка требований или заявок. Заявки поступают одна за другой в не­которые случайные моменты времени. Обслуживание поступив­шей заявки продолжается какое-то, вообще говоря, случайное время, после чего канал освобождается и снова готов к обслужи­ванию следующей заявки. В качестве характеристик эффектив­ности обслуживания – в зависимости от условий задачи и це­лей исследования – могут применяться различные величины и функции, например количество заявок, обслуженных системой за единицу времени (за 1 час, день, неделю, месяц), средний про­цент заявок, получающих отказ и покидающих систему необслу­женными; среднее время простоя отдельных каналов и системы в целом; среднее число занятых каналов; среднее число заявок, находящихся в очереди; вероятность того, что поступившая за­явка будет немедленно принята к обслуживанию и т.п. Каждая из этих характеристик описывает с той или другой стороны сте­пень приспособленности системы для выполнения потока заявок или, другими словами, ее пропускную способность.

Существует множество задач оптимизации СМО по критери­ям получения максимальной прибыли и расчета необходимого числа персонала.

2) с ожиданием, т.е. в случае, если все каналы заняты, то за­явка становится в очередь и ждет своей очереди неограниченно по времени и независимо от длины имеющейся очереди;

Примерами могут служить поток вызовов на телефонной стан­ции; поток покупателей в магазине; поток автомобилей, требую­щих ремонта, подъезжающих к автосервису, поток автомобилей, проезжающих по автодороге и т.п. В последнем случае, если про­пускная способность дороги не соответствует числу подъезжаю­щих автомобилей, то очередь может неограниченно возрастать и необходимо уменьшить число подъезжающих автомобилей.

1. Поток случайных событий называется стационарным, если вероятность попадания некоторого числа событий на уча­сток времени длиной t зависит только от длины участка и не за­висит от того, где на оси Оt он расположен.

2. Поток случайных событий называется потоком без после- действия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

3. Поток случайных событий называется ординарным, если вероятность попадания на достаточно малый участок Dt двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятно­стью попадания одного случайного события.

Пусть Т – промежуток времени между двумя соседними собы­тиями в простейшем потоке.

Закон распределения случайной величины Т – показатель­ный. Тогда функция распределения имеет вид

(t > 0). (1.2)

Система Х называется системой с дискретным числом состо­яний Х1, Х2, …, Хn, …, если переход из одного состояния в дру­гое осуществляется мгновенно. Возможные состояния системы изображаются с помощью так называемого графа состояний, на котором изображены состояния и возможные переходы. На рисунке 2.1 изображен граф системы, имеющей 3 состояния и возможные переходы из Х1 в Х2, из Х1 в Х3, из Х3 в Х2, из Х3 в Х1. Состояние Х2 – состояние без выхода. На рисунке 2.2 изо­бражен граф системы, имеющей четыре состояния.