Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование систем. Системы массового обслуживания. Методическое пособие
.pdf
1
2!
a −a− =
2 10
a= a=−
12
1; 0, 5
a>0
a=1
=
m
50
1
m=50 (заяв./ час).
+a+
a
2!
2
1
, или
=
2
5
a
2
.
Корни
. Так как
→
→
, или
Следовательно, чтобы количество не обслуженных заявок в час не превосходило 10, необходимо, чтобы
каждый канал обслуживал заявки с интенсивностью не менее
50 заявок в час.
21
4. СМО С ОЖИДАНИЕМ
… … …
…
nµ
(k +1)µ
λ
Х
Х
…
λ
kµ
λ
Х
Х
Х
nµ
λ
Х
Х
…
+
=
a
= ≤≤
aa
+
−a
∑
1
0
!
(0 )
! !( )
k
k
n
kn
k
k
p kn
k nn
Если время пребывания в очереди и число мест в очереди
не ограничено, то такая система называется чистой системой
с ожиданием. Предельный стационарный режим при t → ∞ существует, если a < n, то есть «мощность» системы достаточна
для обслуживания данного потока заявок. В случае a → n очередь будет неограниченно расти, и предельного стационарного
режима не существует. Размеченный граф состояний имеет следующий вид (рис. 4.1).
0
1
Рис. 4.1. Граф системы из n + S + 1 состояний
n–1
n
n+1
n+s
n+s+1
Где состояния:
Х0 – все каналы свободны;
Х1 – один канал занят;
… … … … … … … …
Х
– n – 1 канал занят;
n–1
Хn – n каналов занято;
Х
– n каналов занято и одна заявка находится в очереди;
n+1
Х
– n каналов занято и s заявок находится в очереди.
n+s
Система имеет бесконечное число состояний. Для получения
нужных формул необходимо рассмотреть СМО с ожиданием
как предельное состояние СМО смешанного типа с ограничением на длину очереди при увеличении длины очереди в пределе
до бесконечности. (Обоснование будет изложено позже.)
Предельные вероятности состояний определяются по формулам:
22
, (4.1)
+
+
+
=
a
=
aa
+
−a
∑
1
0
!
! !( )
ns
s
ns
n
kn
k
nn
p
k nn
a
=
η
a+ a
−η
(, )
(, ) (, )
1
k
Pk
p
Rn Pn
la
nn
kn
η
=1n
−a
1
= 2n
или
, (4.2)
где
η= =
aη
Pk
p
+
ns
=
Rn Pn
(, )
a+ a
(, ) (, )
.
, (4.3)
s
, (4.4)
η
−η
1
m
Формулы (4.3) и (4.4) имеет смысл применять при n ≥ 5.
Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется
по формуле
+
1
n
a
2
a
!1
n
+
1
+
−η
(1 )
−a
2
! !( )
a
1
,
(4.5)
. (4.6)
η
−η
или
nn
=
s
n
aa
∑
=
0
k
(, )
Pn
=
s
a+ a
(, ) (, )
Rn Pn
⋅−
k nn
В частности, при
при
получим
получим
2
a
s ; (4.7)
=
3
a
=
s
2(4 )
; (4.8)
2
−a
23
при
= 3n
l=1
m=
1
3
l
a= =m3
012 3 4
4
15
0
4
1
0
9 27 9 27
1; 3; ; ; ;
0! 1! 2! 2 3! 6 2 4! 8
3 81 9 9 27 131
; 13
!( ) 4 !(4 3) 8 ! 2 2 8 8
131 81 212 53
26,5 .
! !( ) 8 8 8 2
nk
k
kn
k
nn k
k nn
+
=
+
=
aaa a a
= = = = = =
aa
= = =++++ = ⇒
−a −
aa
⇒ + = += ==
−a
∑
∑
получим
4
=
s (4.9)
6(3 )( 4 6)
a
2
−a a + a+
.
Задача 1. Рассматривается работа автозаправочной стан-
ции (АЗС), на которой имеются четыре заправочных колонки
(n = 4). Заправка одной машины длится в среднем 3 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся
в заправке бензином. Число мест в очереди практически не ограничено. Все машины, вставшие в очередь, терпеливо дожидаются своей очереди, так как на другие АЗС находятся на большом
расстоянии.
Определить, существует ли стационарный режим обслужива-
ния; если да, то найти:
1) вероятности p0, p1, p2, p3, p4, p5, p6;
2) вероятность наличия очереди Роч;
3) среднюю длину очереди s ;
4) среднее число занятых колонок k ;
5) вероятность занятости колонки Р
зан
;
6) среднее время ожидания машины в очереди очt ;
7) среднее время простоя колонки;
8) среднее время, потраченное на процедуру заправки;
9) среднее число машин, находящихся на АЗС.
Решение.
;
;
; n = 4; a < n. Следовательно,
стационарный предельный режим при t →∞ существует.
1) Вероятности pi:
Используя формулу (4.1), находим
24
= = = = =⋅=
= =⋅=
= ⋅=⋅=
= ⋅=
012
34
5
5
2
6
6
2
1 2 3 6 92 9
;; ;
53 53
53 53 2 53 53
22
9 27 2 27
;;
53 8 53 212
3 2 81 2 81
(одна машина в о ч ереди);
53 32 53 848
4!4
3 2 729
(две машины в о череди).
53 3392
4!4
ppp
pp
p
p
2) Вероятность наличия очереди
1( )1 .
= ⋅=≈
−
5
2
3 2 81
1,53.
53 53
3
44! 1
4
s
l
4
n
l
1
−
=⋅=
m
зан
пр
зан
1
1
1(мин)
Р
t
Р
4
n
P ppppp
=− ++++ =− ++++ =
оч 0 1 2 3 4
2 6 9 9 27 75
53 53 53 53 212 212
3) Среднее число машин, находящихся в очереди, можно най-
ти по формуле (4.5)
4) Так как Р
= 1, то среднее число занятых колонок
обс
P
обс
= =a=
k
3.
m
5) Вероятность занятости колонки
3
k
= =
Р
зан
.
6) Среднее время ожидания машины в очереди
1, 5 3
s
= = =
t .
оч
7) Среднее время простоя колонки
так как = =
Р
зан
3
k
.
1, 5 3
,
25
8) Среднее время пребывания машины у АЗС равно
m= =
обс
1
2
t
2
l
a= =m2
=≈=≈=≈=≈
012 3
12 2 8
0,111; 0,222; 0,222; 0,148.
9 9 9 54
pppp
= 0, 89 (з аявк и).s
l
a= =m0,9
3 + 1,53 = 4,53 мин.
9) Среднее число машин, ожидающих заправки или заправля-
ющихся, +=4,53.ks
Задача 2. На вход трехканальной системы с неограниченным
временем ожидания поступает простейший поток заявок с плотностью l = 4 (четыре заявки в час). Среднее время обслуживания
одной заявки =
30 мин.t Определить, существует ли устано-
обс
вившийся режим обслуживания; если да, то найти вероятности
состояний p0, p1, p2, p3; вероятность наличия очереди и среднюю
длину очереди s .
Решение. Имеем
, так как
1
(ч)
;
=
t
обс
n = 3; a < n. Значит, установившийся (стационарный) режим существует. По формуле (4.1) находим
Вероятность наличия очереди роч = 1 – (р0 + р1 + р2 + р3) ≈ 0,297.
Средняя длина очереди определяется по формуле (4.5) или
(4.6):
Задача 3 (о минимизации суммарных затрат). Универмаг
доставляет товары собственным автотранспортом и принимает
привезенный товар. В среднем каждый час в универмаг привозят товар. Разгрузка одного автомобиля в среднем продолжается 54 мин. За 1 час простоя автомобиля в очереди в ожидании разгрузки необходимо выплатить 150 руб. За 1 час
простоя пункта приема товара необходимо выплатить 120 руб.
Определить оптимальное число пунктов приема товара таким
образом, чтобы суммарные выплаты за простой автотранспорта в очереди и выплаты за простой пунктов приема товара
были минимальными.
Решение. Мы имеем СМО с ожиданием. l=1 ; 54 мин = 0,9 ч;
= ⇒m= =
0,9
t
обс
1 10
0,9 9
;
.
;
26
Среднее число простаивающих каналов
= −Dnk
=a=a
обс
обс
= −aDn
= = + = −a +( ) 120 150 120( ) 150Z Zn D s n s
=1n
−a
1
= = ⋅+ ⋅ =+ =
−
2
0,9
(1) 120 0,1 150 12 1215 1227
1 0, 9
ZZ
= 2n
= = ⋅+ ⋅ = + =
−
3
2
0,9
(2) 120 1,1 150 132 17,139 149,139
2(4 0,9 )
ZZ
= 3n
= = ⋅+ ⋅ =
= 2n
Но
kP , так как =
Следовательно,
.
1P для чистой СМО с ожиданием.
Рассмотрим функцию целочисленного аргумента
. Для нахождения миниму-
ма методы дифференциального исчисления применять нельзя.
2
При
,
s ,
=
a
.
При
имеем
=
s
2(4 )
a
−a
3
,
2
.
;
Z(2) < Z(1).
Продолжим далее.
4
При
имеем a=
(3) 120 2,1 150
ZZ
=+=
s
6(3 )( 4 6)
252 252,005.
6 2,1 10, 41
2
−a a + a+
6(3 0,9)(0, 9 4 0, 9 6)
− +⋅ +
0,6561
⋅⋅
;
0,9
4
2
Z(3) > Z(2). Следовательно, минимум достигнут при числе
пунктов приема товара
. Суммарные выплаты за простой
автотранспорта в очереди и выплаты за простой пунктов приема
товара Z(2) = 49,139 руб.
27
5. СМО С ОЖИДАНИЕМ
λ
…
…
µ
nµ
λ
Х
Х
…
λ
nµ
λ
Х
Х
Х
nµ
λ
Х
Х
…
2µ
Х
= =
a
= ≤≤
aa a
+
∑∑
01
!
(0 )
!!
k
k
j
nm
kn
kj
k
p kn
kn n
p sm
И С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ДЛИНУ ОЧЕРЕДИ
Предположим, что заявка, заставшая все каналы занятыми,
становится в очередь, только если в ней находится менее т заявок. Если в очереди ровно т заявок, то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной.
Размеченный граф состояний системы представлен
на рис. 5.1.
0
1
2
Рис. 5.1. Граф системы из n + m состояний
Где состояния: Х0 – все каналы свободны, очереди нет;
Х1 – один канал занят, очереди нет;
Х2 – два канала заняты, очереди нет;
… … … … … … … …
Х
– n–1 канал занят, очереди нет;
n–1
Хn –заняты все n каналов, очереди нет;
Х
– заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;
n+1
… … … … … … … …
Х
– заняты все n каналов, m заявок стоит в очереди.
n+m
Аналогично предыдущим случаям можно составить уравнения Эрланга. При t →∞ решения данной системы примут вид
28
= ≤≤
ns
+
nm
kn
aa a
∑∑
kn n
kj
= =
01
n–1
s
n
aa
!
nn
+
!!
n
j
n+1
(1 )
n+m–1
n+m
, (5.1)
. (5.2)
Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной,
=
зан
2ч.t
m= =
обс
1
0,5
t
+
= =
++
13
1
0,2
113
p
1
5
nk
−
=⋅=
m
зан
пр
зан
1
1
0,5 (ч).
P
t
P
равна вероятности p
того, что в очереди уже стоит m заявок.
n+m
Задача 1. В автосервис поступает простейший поток заявок
(автомобилей, ремонта) с плотностью l = 0,5 автомобиля в час.
Имеется одно помещение для ремонта. Во дворе станции могут
находиться, ожидая очереди, не более трех автомобилей. Среднее время ремонта одного автомобиля
Определить:
1) вероятность того, что автомобиль, нуждающийся в ремон-
те, будет отремонтирован Р
обс
;
2) вероятности состояний системы;
3) среднее число автомобилей, находящихся в очереди;
4) вероятность занятости станции;
5) среднее время простоя станции;
6) насколько изменятся эти характеристики, если оборудо-
вать второе помещение для ремонта.
Решение. Имеем п = 1; l = 0,5;
1) По формуле (3.2) найдем вероятность того, что в очереди
находится 3 автомобиля:
Откуда Р
2) Из формул (3.1), (3.2) находим
3) Среднее число автомобилей, находящихся в очереди:
4) Вероятность занятости станции
5) Среднее время простоя станции
.
= 1 – 0,2 = 0,8.
обс
р0 = р1 = р2 = р3 = р4 =
3
=
s kp = 0×р1 + 1×р2 + 2×р3 + 3×р4 = 1,2.
∑
k
+
=
0
Р
= 1 – р0 = 0,8.
зан
= 0,2.
;la= =m1; т = 3.
29
6) Если оборудовать второе помещение, то имеем п = 2.
2 4 8 16
nk
11
47
47
−
=⋅==
m
зан
пр
зан
1
1 32
1, 0 3 ( ч)
11
Р
t
Р
47
l⋅ = ⋅ =
1
а)
= = ≈
p
+
23
+++++
11
16
111 1
1
47
0, 021,
откуда Р
= 1 – 0,021 = 0,979 (то есть удовлетворяться будут
обс
около 98% заявок).
б)
16 16 8
= = =
ppp
ppp
; ; по формуле (5.1),
012
47 47 47
421
= = =
; ; по формуле (5.2).
345
47 47 47
в) Среднее число автомобилей, находящихся в очереди:
3
=
s kp = 0×р2 + 1×р3 + 2×р4 + 3×р5 =
k
∑
=
+
0
≈ 0,23.
г) Вероятность занятости станции
=−= ≈
Рp
1 0,66.
зан 0
31
д) Среднее время простоя канала
.
Среднее число занятых каналов
зан
62
1, 3 2 .
= = ≈
k nP
Задача 2 (расчет прибыли). Пусть для СМО, рассмотренной
в задаче 1, известно, что за ремонт автомобиля клиент платит
в среднем 2000 руб. Затраты на содержание 1 помещения для ремонта составляют 300 руб. в час.
Определить прибыль за 8 ч (за смену) в случае работы одного
и двух помещений для ремонта.
Решение.
1. В случае одноканальной СМО вероятность обслуживания
заявки Р
30
обс
0,5 0, 8 0, 4P . Платежи клиента за 1 ч в среднем состав-
обс
= 1 – 0,2 = 0,8. Число обслуженных за 1 ч заявок
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]