Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование систем. Системы массового обслуживания. Методическое пособие
.pdf
ляют 2000·0,4 = 800 руб. Затраты на содержание помещения для
l⋅ = ⋅ =
ремонта 300 руб. Прибыль за 1 ч равна 800 – 300 = 500 руб.
Прибыль за 1 смену 500·8 = 4000 руб.
2. В случае одноканальной СМО вероятность обслуживания
заявки Р
обс
= 1 – 0,021 = 0,979. Число обслуженных за 1 ч заявок
обс
0,5 0, 979 0,48 95P . Платежи клиента за 1 ч в среднем со-
ставляют 2000·0,4895=979 руб. Затраты на содержание помещений для ремонта 2·300 = 600 руб. Прибыль за 1 ч равна 979 – 600 =
= 379 руб.
Прибыль за 1 смену 379·8 = 3032 руб.
Вывод. Мы видим, что прибыль в случае работы двух помещений для ремонта будет меньше, чем в случае работы одного помещения для ремонта. Слишком мал поток входящих заявок для
двухканальной системы.
31
6. СМО СМЕШАННОГО ТИПА
= =
m
об об
1
[]t MT
λ
…
…
µ
nµ
λ
Х
Х
…
λ
nµ
λ
Х
Х
Х
nµ+mν
λ
Х
Х
…
2µ
Х
= =
=
a
= ≤≤
aa a
+
+b
∑∑
∏
01
1
!
(0 )
!!
()
k
k
l
nm
kn
l
kl
i
k
p kn
kn
ni
С ОГРАНИЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ
В ОЧЕРЕДИ
Рассмотрим СМО с п каналами. На вход системы поступа-
ет простейший поток заявок с плотностью l. Время ожидания
заявки в очереди Тож распределено по показательному закону
со средним значением = =
ож ож
[]t MT
показательное со средним значением
метр n полностью аналогичен параметрам l и m. Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди.
Пусть максимальное число мест в очереди ограничено
и равно т. В этом случае система имеет т + n + 1 состояние.
Размеченный граф состояний выглядит следующим образом
(рис. 6.1).
1
. Время обслуживания
n
. Пара-
0
1
Рис. 6.1. Граф системы с ограничением времени ожидания
2
Можно составить уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга для предельного стационарного режима при t → ∞, вероятности состояний, полученные из этих уравнений запишутся так:
32
n–1
в очереди
n
n+1
n+m–1
n+m
, (6.1)
=
+
= =
=
aa
+b
= ≤≤
aa a
+
+b
∏
∑∑
∏
1
01
1
!
()
(1 )
!!
()
ns
s
i
ns
nm
kn l
l
kl
i
n
ni
p sm
kn
ni
ln
a= =l b= =n
mm
об об
;tt
a
= ≤≤
+dγ− dγ
a+ a⋅
dγ
(, )
(0 )
( ,) (,)
(, ) (, )
(,)
k
Pk
P kn
Rm R
Rn Pn
P
+d γ
Ps
P sm
al m
γ= = d= = d−
bn b n
; ; целое ч исло.
nn
+dγ− dγ
( ,) (,)
Rm R
, (6.2)
где
.
Параметры a и b выражают соответственно среднее число за-
явок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки. Данные
формулы достаточно громоздки и требуют большой вычислительной работы. Поэтому их можно записать в другом виде:
( ,)
a⋅
(, )
Pn
= ≤≤
+
ns
Rn Pn
a+ a⋅
(, ) (, )
dγ
(,)
P
Rm R
+dγ− dγ
( ,) (,)
P
dγ
(,)
(1 ),
, (6.3)
(6.4)
где
Если d не является целым, то вычисление можно провести для
двух ближайших к величине d целых чисел и произвести между
ними линейную интерполяцию.
Средне число занятых каналов определяем по формуле
a − a+ ⋅ a
( 1,) (,)
Pn n Pn
=
Вероятность обслуживания заявки Р
k
Rn Pn
a+ a⋅
(, ) (, )
( ,) (,)
Rm R
P
+dγ− dγ
dγ
(,)
P
обс
dγ
(,)
=
. (6.5)
mlk
.
33
Если число мест в очереди не ограничено (т → ∞), то формулы
→∞
+d γ =( ;) 1
lim
m
Rm
упрощаются с учетом того, то
.
Если заявки, попавшие в очередь, не покидают ее, а терпеливо дожидаются обслуживания (n = 0, а значит, и b = 0), то формулы (6.1) и (6.2) превращаются в формулы (5.1), (5.2), которые
мы рассматривали в п. 5).
Если при этом длина очереди не ограничена (т → ∞), то получим формулы (4.1), (4.2), так как система превращается в чистую систему с ожиданием (см. п. 4).
34
7. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СМО
В настоящее время востребованы задачи оптимизации СМО
по различным критериям.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. В гипермаркете необходимо рассчитать необходи-
мое число кассиров. Если много кассиров простаивает, то такая
ситуация нерациональна. Также нерациональна ситуация, если
в очереди находится слишком много покупателей, либо в очереди покупатели находятся длительное время, что наносит вред
имиджу гипермаркета и может привести к сокращению продаж.
Также известно, что поток покупателей зависит от времени. Поэтому для решения этой задачи время работы гипермаркета необходимо разделить на части с примерно постоянным потоком
покупателей. Например, с интервалом 3, 2, 1 ч. Чем меньше промежуток времени, тем точнее будет расчет.
Для определения числа покупателей необходимы статистические данные за прошедший период: количество обслуженных
покупателей, среднее время обслуживания, средняя денежная
величина покупки. Затем рассчитать входящий поток покупателей l и решить поставленную задачу оптимизации.
Пример 2. Имеется автозаправочная станция (АЗС) с 6 топливораздаточными колонками (ТРК). Также имеются статистические данные о реализации нефтепродуктов за предыдущий
период с фиксацией времени и денежной суммы покупки. Определить, выгодно ли открыть дополнительные каналы обслуживания (ТРК) по критерию максимальной прибыли.
Задача 1. В магазине обслуживают покупателей четыре продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя – 4 мин.
Плотность потока покупателей – около двух человек в минуту. В очереди могут стоять одновременно не более 20 человек.
В среднем покупатель, вставший в очередь, ожидает 10 мин, после чего он покидает магазин.
Определить:
1) среднее число занятых продавцов;
2) среднее число покупателей, стоящих в очереди;
3) вероятность того, что все места в очереди будут заняты;
35
4) вероятность того, что покупатель будет обслужен;
=
m
1
4 [мин]
n
n=
11
10 мин
l
a= =m8
m
d= =n10
n
+dγ− dγ
a − a+ ⋅ a
dγ
= =
+dγ− dγ
a+ a⋅
dγ
−
+
dγ
= ≈
−
+⋅
( ,) (,)
( 1,) (,)
(,)
( ,) (,)
(, ) (, )
(,)
(30, 20) (10, 20)
8 (3,8) 4 (4,8)
(,)
3, 9 8,
(30, 20) (10, 20)
(4, 8) ( 4, 8)
(10,20)
Rm R
Pn n Pn
P
k
Rm R
Rn Pn
P
RR
PP
P
RR
RP
P
5) среднее время пребывания в очереди;
6) среднее время, затачиваемое на всю процедуру (стояние
в очереди и обслуживание).
Решение. Работа магазина может быть представлена как рабо-
та СМО смешанного типа. Параметры этой системы следующие:
п = 4 – число каналов обслуживания;
т = 20 – максимальное число мест в очереди;
2
1
– среднее число покупателей, приходящих в ма-
мин
l=
газин;
– среднее время обслуживания одного покупателя
11
m=
;
4 мин
1
=
10 [мин]
– среднее время ожидания покупателя в очере-
ди, после чего он покидает магазин
;
; lγ= =n20 ;
1) Среднее число занятых продавцов
то есть практически все продавцы будут заняты.
36
– целое число.
2) Среднее число покупателей, ожидающих в очереди:
[ ]
( )
[ ]
{ }
[ ]
[ ] [ ]
{ }
[ ]
a +dγ − dγ γ−d+γ dγ − +dγ
= =
dγ a+ a +dγ− dγ
−+−
= ≈
+−
≈
(, ) ( ,) (,) (,) ( ,)
(,) (, ) (, ) ( ,) (,)
(4,8) (30,20) (10,20) 10 20 (10,20) (30,20)
(10,20) (4, 8) (1,8) (30, 20) (10, 2 0)
9, 9 5 .
Pn Rm R P Pm
s
P Rn Pn Rm R
PR R P P
P R PR R
[ ]
[ ]
+
−
= =
a +d γ
= =
dγ a+ a +dγ− dγ
= ≈
+−
≈⋅
24
3
(, ) ( ,)
(,) (, ) (, ) ( ,) (,)
(4, 8) (30,20)
(10, 20) (4, 8) (4, 8) (30, 20) (10,20)
8,43 1 0 ,
nm
pp
Pn Pm
P Rn Pn Rm R
PP
P R PR R
l
ос оx
3) Вероятность того, что все места в очереди будут заняты:
то есть все места в очереди будут заняты с вероятностью менее 1%.
4) Вероятность обслуживания
s
= = ≈
t
ос
4,97 5 (ми н).
6) Среднее время, затачиваемое на всю процедуру:
+=9 (мин).
tt
Задача 2. С целью увеличения дальности беспосадочного полета производится дозаправка самолетов горючим в воздухе.
В районе дозаправки постоянно дежурят четыре самолета-дозаправщика. Если дозаправка началась, то она осуществляется
до конца и длится в среднем 10 мин. Если все дозаправщики заняты, то самолет, нуждающийся в дозаправке, может некоторое
время «ожидать» (совершать полет по кругу в районе дозаправки); среднее время ожидания – 20 мин. Если самолет не дождался дозаправки в воздухе, он садится на запасной аэродром.
Интенсивность полетов такова, что в среднем за час в район дозаправки прибывает 24 самолета. Число самолетов, ожидающих
дозаправки в воздухе, не ограничено.
37
Определить:
11
n= =
11
0,05
20 мин
l l m⋅
∞−
la
−
=⋅=
m
зан
пр
зан
1
1
3,33 (мин).
P
t
P
1) вероятность Р
того, что самолет будет дозаправлен;
обс
2) среднее число занятых дозаправщиков;
3) вероятность того, что произвольно взятый дозаправщик бу-
дет занят;
4) среднее время простоя дозаправщика.
Решение. Данная система может быть рассмотрена как СМО
смешанного типа с параметрами:
число каналов обслуживания п = 4;
число мест в очереди не ограничено (т → ∞);
плотность потока заявок
24 1
l= =
0,4
;
60 мин
плотность потока обслуживаний
m= =
0,1
;
10 мин
плотность потока уходов из очереди
Отсюда
ло.
a= = γ= = = d= = =
4; 8; 8
mn n
0,4 4 0,1
0,05 0, 05
n
– целое чис-
По формуле (6.5) находим среднее число дозаправщиков, за-
нятых обслуживанием самолетов:
( ,8) (8,8)
4 (3,4) 4 (4,4)
PP
k
= ≈
RP
+⋅
+⋅
(4, 4) ( 4, 4)
RR
(8, 8)
P
∞−
( ,8) (8,8)
RR
(8, 8)
P
3, 0 0,
где R(∞; 8) = 1.
Вероятность тог, что самолет будет дозаправлен:
kk
P
= = ≈
обс
m
0,75.
.
Среднее время простоя дозаправщика
38
Задача 3. Рассмотрим работу телефонной справочной службы
= m= =
обс
обс
11
(ч); 60
60
t
t
=
aa
= = =
+a
a
∑
1
0
!!
( 0, 1)
1
!
kk
k
i
i
kk
pk
i
01
13 1
1414
pp
3
4
13 1
34 4
= =
зан
1
4
k
P
n
−
−
⋅
=⋅ =⋅ =⋅=
m
зан
пр
зан
1
1
1
1 1 1 34 1
4
(ч)
1
60 60 4 20
4
р
t
р
с одним каналом обслуживания (СМО с отказом). Среднее число поступающих в течение одного часа заявок равно 20. Среднее
время обслуживания одной заявки составляет одну минуту.
Найти основные характеристики СМО:
1) вероятности состояний системы р0, р1;
2) вероятность обслуживания заявки р
обс
;
3) среднее число занятых каналов k ;
4) среднее время простоя канала.
Проанализировать, как изменятся характеристики, если создать еще один канал обслуживания. Определить, с какой интенсивностью должна обслуживаться заявка каждым каналом, чтобы доля потерянных заявок составила менее 20%.
Решение.
а) Для одноканальной СМО.
Из условия п = 1; l = 20 (1/час);
. Най-
дем la= =
.
m13
1) Для нахождения р0 и р1 используем формулу
2) р
= 1 – p1 =
обс
=0,75.
3) Среднее число занятых каналов =a⋅ = ⋅ =
4) Найдем вероятность занятости канала:
(для одноканальной СМО Р
5) Найдем среднее время простоя канала:
= = = =
⇒
+a +a
kp .
зан
;
обс
= р1).
1
3
.
.
39
б) Для двухканальной СМО с отказом: п = 2; l = 20 (1/час);
m= =
обс
1
60
t
a=
1
3
=
aa
= = =
a
a
+a+
∑
22
0
!!
( 0, 1, 2)
1
2
!
kk
k
i
i
kk
pk
i
01 2
24
25
25
25
n
25
2
a
=
a
+a +
2
*
2
*
*
2
0,2
1
2
;
.
1) Состояний системы будет три: р0, р1; р2.
В этом случае
Вычислим
+a+ = + + =
11
2
a
1 1 25
.
.
2 3 18 18
Найдем = = = = = =
pp p
25 18 1 25 6 1 25 1
1:;:;:
18 25 3 18 25 18 18 25
2) р
= 1 – p2 =
обс
3) =a⋅ = =
kp .
4) = =
P
зан
обс
4
k
t−=⋅ =⋅⋅=
=0,96.
8
0,32
.
4
1
1 1 21 25 7
пр
60 60 25 4 80
25
4
(ч)
.
.
в) Заявка, поступившая в систему, теряется в том случае, если
заняты все каналы. В нашем случае р2 = 0,2. Параметр l = 20
остается, так как не зависит от внутренних характеристик системы. Новую интенсивность обслуживания обозначим m*. Тогда
la=
; a=
*
p .
2
m
*
1
Получим уравнение
40
, или 2a
*
2
+a +
*
2
2
a
*
2
– a – = 0.
*
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]