Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование систем. Системы массового обслуживания. Методическое пособие
.pdf
Решая полученное уравнение, получим a*1 = 1, a*2 =
−
1
2
−
1
2
=
обс
1
2
t
обс
1
2
t
m= =
l
=
aa
= =
aaa
a
+a+++
∑
4 234
0
!!
1
2 6 24
!
kk
k
i
i
kk
p
i
122 5 7
. Так
как a* > 0, то a*2 =
чим l=
1; m* = l; m* = 20.
m
*
не удовлетворяет условию задачи. Полу-
Итак, интенсивность обслуживания, при которой теряется
менее 20% заявок, должна быть m≥*20 заявок в час.
Задача 4. Станция противовоздушной обороны (ПВО) име-
ет 4 ракетные установки (4 канала наведения). Каждый канал
может наводить одну ракету на одну цель. Среднее время наведения и уничтожения цели – 30 с. Поток целей простейший
с плотностью l = 4 цели в минуту. Станцию можно считать системой с отказом, так как цель, по которой наведение не началось в момент, когда она вошла в зону действия станции ПВО,
вообще остается не атакованной. Найти следующие характеристики станций:
1) рi – вероятность того, что занято i каналов;
2) р
– вероятность уничтожения цели;
обс
3) вероятность прорыва цели к объекту;
4) k – среднее число занятых каналов;
5) с какой интенсивностью должны работать два канала, чтобы доля прорвавшихся через станцию ПВО объектов осталась
на прежнем уровне.
Решение. Рассмотрим время в минутах.
Дано: п = 4;
Найдем
1) Воспользуемся формулой
4
Найдем
∑
i
=
0
; l = 4.
; 2
a= =m.
i
a
=++++ + + =
! 6 24 3 3
i
8 16 4 2
.
.
41
Следовательно, = = = = =
0123 4
122 4 2
;;; ; .
7 7 7 21 21
=
=
∑
4
0
1
k
k
p
21 21
=a⋅ = ⋅ = ≈
обс
19 38
2 1, 81
21 21
kp
a
=
+a +a
*
2
**
2
2
21
1
+−
a = ≈ a = < ⇒a
1 22
2 62 2 62
0, 61; 0
17 17
pppp p
Контроль:
.
2) Вероятность уничтожения цели
р
= 1 – p4 = 1 – =
обс
3) Вероятность прорыва цели к объекту равна =
4) Среднее число занятых каналов
2 19
.
2
p
.
4
21
.
5) Обозначим вероятности состояний двухканальной системы
*
*
р
, р
0
*
; р
.
1
2
Пусть m – интенсивность работы канала для двухканальной
системы (то есть количество объектов, на которые канал наводит
ракету за 1 мин). Пусть la=
системы остается с прежней плотностью l = 4. Цель прорывается
к объекту в случае, если заняты все каналы, то есть p4 = p
. Поток целей для двухканальной
*
m
*
*
, или
2
.
После преобразований получим квадратное уравнение
2
17a
– 4a* – 4 =0. Решая это уравнение, получим
*
не удовлетворяет условиям задачи.
Найдем m* из уравнения la=
= ≈46,56
.
*
; =
m
*
0,61
Сравним результаты. В четырехканальной системе каждый
канал за минуту наводил ракеты на 2 цели. В двухканальной
системе, которая обладает той же степенью надежности защиты объекта, интенсивность работы канала должны составлять
6,56 целей в минуту, то есть возрасти более чем в три раза.
42
0,61
4
, откуда m* =
m
*
8. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
1. Гарантийная мастерская принимает заказы на ремонт
по одному телефону. Среднее число заказов за 1 ч – 2п. Среднее
время оформления заявки – т мин. Считается, что если клиент
позвонил, а телефон занят, то он обратится в другую мастерскую (система без очереди). Найти основные характеристики
СМО: 1) р0, р1; 2) р
менятся соответствующие показатели, если подключить второй телефон. Определить, с какой интенсивностью должны работать два работника, чтобы доля потерь заявок была: а) менее
10%; б) менее 5%.
2. Ремонт холодильников. п = 4 (п = 3); l = 10(т + п + 1) заявки в час;. t
= т + 3 мин. Обслуживание одной заявки прино-
обс
сит прибыль 10п руб. Создание нового канала обслуживания потребует 14 000 руб., эксплуатация одного канала – 2(т + п) руб.
в час. Определить показатели СМО. Найти, через сколько часов
система будет давать прибыль. Если система убыточна, определить величину убытка за 1 ч работы. Вычислить сумму прибыли
через 200(т + п) ч работы. Определить, выгодно ли подключать
четвертый телефон.
; 3) k ; 4) прt . Проанализировать, как из-
обс
3. В платной справочной телефонной службе имеется четыре телефонные линии. В справочную поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью 1 заявка в 2 мин. Ответ
на каждый вопрос длится в среднем 6 мин. За ответ на каждый
вопрос клиент платит 10 руб. Эксплуатация одного канала обслуживания составляет 30 руб./ч, создание канала обслуживания требует расхода 5000 руб. Определить чистый доход за
один час, а также через сколько часов произойдет окупаемость
системы.
4. Гарантийная мастерская принимает заказы на ремонт
по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа
заказов – 20, среднее время оформления заказа – 4 мин. Определить показатели СМО. Проанализировать, как они изменятся,
если подключить второй телефон.
43
5. Имеется СМО смешанного типа с ограничением на длину
очереди (магазин самообслуживания). Число касс (каналов обслуживания) n = 2. В среднем в магазин заходят 90 покупателей в час. Среднее время обслуживания покупателя составляет
1 мин. В очереди могут находится не более 3 покупателей (заявок).
Найти:
а) вероятности состояний системы Pk;
б) вероятность того, что покупатель будет обслужен;
в) среднее число занятых каналов;
г) среднюю длину очереди.
6. Имеется СМО смешанного типа с ограничением на длину
очереди (магазин самообслуживания). Число касс (каналов обслуживания) n = 3. В среднем в магазин заходят 60 покупателей в час. Среднее время обслуживания покупателя составляет
2 мин. В очереди могут находится не более 2 покупателей (заявок). Средняя сумма покупки составляет 120 руб. Содержание
каждой кассы составляет 250 руб. в час. Торговая наценка составляет 15%. Найти величины денежного оборота и прибыли
магазина за 1 ч работы.
7. Имеется СМО смешанного типа с ограничением на длину очереди и время ожидания заявки в очереди. Число каналов
обслуживания n = 2. В среднем в систему поступает 45 заявок
в час. Среднее время обслуживания заявки составляет 2 мин.
В очереди могут находится не более 3 заявок.
Найти:
а) вероятности состояний системы Pk;
б) вероятность наличия очереди;
в) вероятность того, что заявка будет обслужена;
г) среднее число занятых каналов;
д) среднюю длину очереди.
8. Средний интервал между поступающими в прокатный
пункт заявками и запросами на наличие определенных предметов составляет 5 мин. Принимают заявки два работника, каждый с интенсивностью 12 заявок в час. Определить, с какой интенсивностью должен работать один работник, выполняя работу
двух, чтобы доля потерянных требований осталась на прежнем
44
уровне; на сколько требуется повысить интенсивность обслуживания двум работникам, чтобы доля потерянных заявок была
менее 10%.
9. На диспетчерском пункте дежурят 4 приемщика заявок
на ремонт телерадиоаппаратуры. Заявки принимаются по телефону. В диспетчерский пункт поступает простейший поток заявок с плотностью l = 3 (заявки в минуту). Вызов, поступивший
в момент, когда все приемщики заняты, получает отказ. Средняя длительность оформления заявки – 2 мин. Найти все характеристики СМО. Определить, с какой интенсивностью должны
работать 2 работника, выполняя работу четырех, чтобы доля потерянных требований осталась на прежнем уровне.
10. Библиотека принимает заявки на книги по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа заявок – 70,
среднее время оформления заявки – 2 мин. Определить показатели СМО. Найти, как изменятся параметры системы, если заявки будут приниматься по двум телефонам и при этом доля потерянных заявок уменьшится в 2 раза по сравнению с прежним
уровнем. Определить, как изменится время пребывания заявки
в системе.
11. В диспетчерский пункт завода по ремонту холодильников поступают заявки. Заявки принимаются четырьмя приемщиками по четырем телефонам. В диспетчерскую поступают
в среднем 60 заявок в час. Вызов, поступивший в момент, когда
все приемщики заняты, получает отказ. Средняя длительность
оформления заявки – 6 мин. Обслуживание одной заявки приносит прибыль 10 руб., создание одного канала обслуживания требует среднего расхода 1400 руб. Эксплуатация одного канала за
1 ч требует среднего расхода 25 руб.
Определить основные параметры системы. Найти, через
сколько часов система будет давать прибыль. Вычислить сумму
прибыли, которую дает система через 1800 ч.
45
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На сегодняшний день системами массового обслуживания называют такие системы, в которых в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание. При этом поступившие
заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении
системы каналов обслуживания.
Классическими системами, которые изучает теория массового
обслуживания и для которых более разработан математический
аппарат, являются системы с ожиданием и с отказом. Для таких
систем типично следующее: требования, поступающие в систему
на обслуживание, покидают ее только после обслуживания.
Однако на практике часто встречаются системы массового обслуживания с ожиданием, в которых имеются различные ограничения, например на время пребывания в очереди, на время
пребывания требования в системе, на длину очереди. Возможны
также различные комбинации подобных ограничений. Такие
системы массового обслуживания называются смешанными системами с ожиданием. В смешанных системах массового обслуживания требование, поступившее в систему на обслуживание
и заставшее все приборы занятыми, может покинуть систему и
не быть обслуженным. Критерии, характеризующие протекание
процесса обслуживания в системах смешанного типа, в основном
совпадают с теми, которые характерны для СМО с потерями и
без потерь. Кроме того, для СМО характерны и особые критерии
эффективности.
В данном пособии рассмотрен пример практических решений
задач различных видов СМО. Полное усвоение представленного
теоретического и практического материала позволит студенту
свободно владеть данной частью дисциплины «Моделирование
систем».
46
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Абланская Л.В. Экономико-математическое моделирова-
ние. М.: Экзамен, 2006. 798 с.
2. Бережная Е.В. Математические методы моделирования
экономических систем. М.: Финансы и статистика, 2005. 432 с.
3. Браунли К.А. Статистическая теория и методология в на-
уке и технике. М.: Наука, 1977. 408 с.
4. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское ра-
дио, 1972. 660 с.
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов
и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа; 2007. 479 с.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая ста-
тистика. М.: Высшая школа, 1998. 479 с.
7. Малышева И.А. Теория вероятностей и массового обслу-
живания. М.: Изд-во ВЗИИТ, 1988. 38 с.
8. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее
приложения. М.: Советское радио, 1971. 520 с.
9. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука,
1973. 311 с.
10. Толстых О.Д. Цепи Маркова. Системы массового обслу-
живания. Иркутск: Изд-во ИрИИТ, 1999. 204 с.
11. Трухан А.А., Кудряшев Г.С. Основы теории вероятностей
и математической статистики. ИВАИУ, 2005. 300 с.
12. Чернов В.П., Ивановский В.Б. Теория массового обслу-
живания. М.: ИНФРА-М, 1998. 158 с.
47
Учебное издание
Гончаренко Алексей Николаевич
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ.
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Методическое пособие
Научный редактор Т.А. Кравченко
Технический редактор Т.В. Суханова
Корректор Е.Н. Леонова
Верстальщик И.В. Баратова
Подписано в печать 16.09.20 Уч.-изд. л. 3
Формат 60 × 90
Национальный исследовательский
технологический университет «МИСиС»,
119049, Москва, Ленинский пр-т, 4
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»,
119049, Москва, Ленинский пр-т, 4
Тел. 8 (495) 638-44-06
Отпечатано в типографии
Издательского Дома НИТУ «МИСиС»,
119049, Москва, Ленинский пр-т, 4
Тел. 8 (495) 638-44-16, 8 (495) 638-44-43
1
/
16
Электронная версия
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]