Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование систем. Системы массового обслуживания. Методическое пособие
.pdf
Каждый член равен плотности потока событий, переводяще-
() () () ( ) (),
=
=
∑
1
1
n
k
k
p
()
k
dp t
dt
=
=
∑
1
() 1
n
k
k
pt
го систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того
состояния, откуда исходит стрелка. Например, для системы Х
с размеченным графом (см. рис. 2.3) система дифференциальных
уравнений будет
()
dp t
1
dp t
=l − l +l
dt
()
2
=l +l +l − l +l
dt
()
dp t
3
=l − l +l
dt
()
dp t
4
=l+l−l
dt
() ( ) (),
pt pt
2,1 2 1,2 1,3 1
pt pt pt pt
1,2 1 3,2 3 4,2 4 2,1 2,4 2
() ( ) (),
pt pt
1,3 1 3,2 3,4 3
() () ().
pt pt pt
2,42 3,43 4,24
Число уравнений можно уменьшить на 1, если учесть, что
p1(t) + p2(t) + p3(t) + p4(t) = 1.
Начальные условия для интегрирования такой системы отражают состояние системы в начальный момент. Если, например,
при t = 0 система была в состоянии pk, то pk(0) = 1; pi(0) = 0, где
i ≠ k.
Предельным режимом для системы Х называется случайный
процесс, устанавливающийся в системе при t ⇢ ∞. Если число состояний системы конечно, нет состояний без выхода, то предельный режим существует и характеризуется предельными вероят-
ностями p1, p2, …, pn
Чтобы найти pk, приравниваем нулю левые части дифферен-
циальных уравнений (полагаем
ную систему линейных алгебраических уравнений. К ним добав-
ляем нормировочное условие
.
= 0) и решаем получен-
.
11
Для системы Х предельный режим будет определяться систе-
l − l +l =
l +l +l − l +l =
l − l +l =
l+l−l=
+++=
2,1 2 1,2 1,3 1
1,2 1 3,2 3 4,2 4 2,1 2,4 2
1,3 1 3,2 3,4 3
2,42 3,43 4,24
1234
( ) 0,
( ) 0,
( ) 0,
0,
1.
pp
ppp p
pp
ppp
pppp
мой алгебраических уравнений
Пример. Имеется система с тремя состояниями. Среднее чис-
ло переходов из одного состояния в другое за единицу времени
указано в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Среднее число переходов из одного состояния в другое за единицу времени
Переходы Число переходов за единицу времени
1→2 8
2→1 2
2→3 5
3→1 1
3→2 4
Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова–Эрланга. Для стационарного режима составить систему линейных уравнений и найти вероятности состояний системы.
Решение. Граф состояний системы имеет следующий вид
(рис. 2.4).
12
Рис. 2.4. Граф состояний системы
Система дифференциальных уравнений Колмогорова–Эрланга:
1 23
213
8 () 2 () (),
7 () 8 () 4 (),
pt pt pt
++=
() () () 1.
= = ≠(0) 1; (0) 0;
ij
p p ij
− + +=
−++ =
−+ =
++=
1 23
213
32
123
8 2 0,
7 8 4 0,
4 5 0,
1.
p pp
ppp
pp
ppp
dp
1
=−+ +
dt
dp
2
dt
pt pt pt
=−++
dp
3
=−+
4 () 5 ().
pt pt
dt
32
Кроме того, всегда выполняется условие нормировки:
pt pt pt
123
Для решения конкретной задачи необходимо задать началь-
ные условия:
.
Для стационарного режима получим систему линейных урав-
нений Колмогорова–Эрланга:
Заметим, что число уравнений больше числа неизвестных, но
последнее уравнение значимо, его исключать нельзя. Решая систему, получим
3
=
p
p
p
,
1
19
8
=
,
2
19
8
=
.
3
19
13
3. СМО С ОТКАЗАМИ
m=
об
1
t
(k+1)µ
…
2µ
λ
µ
λ
Х
Х
3µ
λ
Х
(k–1)µ
λ
…
λ
kµ
λ
Х
Х
λ
Х
(n–1)µ
λ
nµ
λ
Х
Х
−=
−
= −l +m
=− l+m +l + m
………………………………
=− l+ m +l + + m
………………………………
=− m +l
0
01
1
10 2
11
1
()
() (),
()
( ) () () 2 (),
()
( ) () () ( 1) (),
()
() ().
k
kk k
n
nn
dp t
pt pt
dt
dp t
pt pt pt
dt
dp t
kpt ptk pt
dt
dp t
np t p t
dt
Работа СМО с отказами определяется следующими параме-
трами (рис. 3.1):
1) число каналов n;
2) l – плотность потока входящих в систему заявок;
3) m – плотность потока обслуженных одним непрерывно за-
нятым каналом заявок.
Величина m обратно пропорциональна среднему времени об-
служивания одной заявки:
,
где обt = M[Tоб]; Tоб – случайное время обслуживания.
0
1
2
Рис. 3.1. Граф состояний n-канальной системы
Рассмотрим размеченный граф состояний n-канальной СМО
с отказами. Состояние Хk (1 ≤ k ≤ n) соответствует занятости ровно К каналов из n.
Отсюда получаем дифференциальные уравнения для вероятностей состояний (уравнения Колмогорова–Эрланга):
14
k–1
k
k+1
n–1
n
Эту систему обычно интегрируют при начальных условиях:
= = = =
0
1
() () ()
()
0; 0; ; 0; ; 0,
kn
dp t dp t dp t
dp t
dt dt dt dt
−=
11
l
10
pp
= −l + l + m =
m
l
l
= −l + +l =
mm
m
201
2
2
0
0 00
2
1
[ ( )]
2
1
[ ].
2
2
ppp
p
p pp
p0(0) = 1;
pk(0) = 0 (k > 0) – в начальный момент все каналы свободны.
При t → ∞ существует предельный (установившийся, стацио-
нарный) режим. В этом случае
то есть система дифференциальных уравнений Колмогорова–Эрланга заменяется однородной системой линейных алгебраических уравнений:
−l + m =
pp
01
− l+m +l + m =
( ) 2 0,
……………………
− l+ m +l + + m =
( ) ( 1) 0,
kp p k p
……………………
− m +l =
np p
n
∑
k
=
p
k
0
nn
0,
pp p
10 2
kk k
0,
−
1
=
1.
(3.1)
Последнее уравнение обозначает, что сумма вероятностей
всех состояний равна 1.
Начальные условия для стационарного режима не важны: pk
не зависят от того, сколько каналов было занято в начальный
момент времени.
Решим систему. Из первого уравнения (3.1) имеем
=
. (3.2)
m
Из второго с учетом (3.2)
Аналогично из третьего с учетом (3.2) и (3.3)
(3.3)
15
mm m
22 2
22 3
[ 2] ,
pp
pp
=
=
∑
0
1
n
k
k
p
pp
aa
!!
kk
kk
=
a
a
= =
a
a
∑
0
(; )
!
,
(; )
!
k
k
n
k
k
Pk
k
p
Rn
k
=
aa
a= a=
∑
0
(;) ; (;)
!!
n
kk
k
Pk Rn
kk
1
p pp p
= − + + m=
3 00 0
ll l
3
mm
2 2 3!
3
p
l
0
и вообще, для любого k ≤ n
k
l
=
k
k
.
(3.4)
0
k
!
m
Введем обозначение l= am и назовем величину a приведенной
плотностью потока заявок. Здесь a – среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки.
Действительно, la= =l
m
k
Тогда a=
k
.
0
!
k
Используем формулу
Подставив выражения a=
nn n
= = =
p pp
∑∑ ∑00
k
= = =
00 0
kk k
откуда
Окончательно для pk получим
p
t .
k
0
об
.
k
в эту формулу, получим
0
!
k
1,
(3.5)
1
=
∑
k
(3.5*)
.
n
k
a
k
!
0
=
(3.6)
где
16
, или P(k;a) = R(k;a) – R(k–1;a).
Значения функции R(k;a) могут быть найдены по таблице.
a −a
aa
(;) ( 1;)
11 .
l
= = a
m
обс обс
,kP P
−a
a −a
= =
a
зан
( 1; )
(; )
k Rn
P
n nR n
=
зан
1
м
t
Для нахождения указанных сумм можно также использовать
программу MS Excel или свободные программы Open Office Calc
или Libre Office Calc. Последние программы можно использовать на операционных системах Linux или Windows.
При малых n вероятности pk несложно вычислить непосредственно.
Вероятность того, что заявка будет обслужена (не получит отказа), выражается формулой
=−=− =
pp
обс
Pn Rn
n
Rn Rn
(; ) (; )
(3.7)
Найдем остальные характеристики СМО.
Среднее число занятых каналов k определим из равенства
mk = lР
обс
,
где справа и слева стоит плотность потока обслуженных заявок.
Откуда
или
( 1; )
Rn
= a
k
(; )
Rn
.
a
(3.8)
Выражение для k можно найти и из формулы
n
=
k kp ,
∑
k
=
0
k
где pk определены раньше.
Обозначим вероятность того, что произвольно взятый канал
занят обслуживанием какой-то заявки, через Р
. Очевидно,
зан
что эта вероятность одинакова для всех каналов, следовательно,
=
k nP , откуда
зан
Среднее время занятости канала
нему времени обслуживания заявки.
. (3.9)
, то есть равно сред-
17
Среднее время простоя канала прt определим из условия
=
+
зан
зан
зан пр
t
P
tt
−
= ⋅
зан
пр зан
зан
1 Р
tt
Р
=
обс
1
мин
2
t
11
l
a= =m3
=
a
=
a
∑
0
!
!
k
k
n
k
k
k
p
k
012 3 4
0! 1! 2! 2 3! 6 2 4! 8
! 92 8 8
⋅
= == =⋅=
= =⋅=
01 2
34
8 3 8 24 9 8 36
;; ;
131 131 131 2 131 131
36 27 8 27
;.
131 8 131 131
pp p
pp
,
откуда
.
Задача 1. Интернет-магазин принимает заказы по телефону.
Имеется четыре телефонных номера. В среднем за 1 мин поступает 6 заказов. Среднее время приема заказа составляет 30 с и
распределено по показательному закону. Определить:
1) вероятности pk – занято k каналов;
2) вероятность того, что заказ будет принят;
3) среднее число занятых каналов;
4) вероятность занятости канала;
5) среднее время простоя канала.
Имеем СМО с отказами.
Решение. Число каналов n = 4;
l = 6
1
мин
;
;
m= =
t
обс
2
мин
;
.
1) Вычислим вероятности pk:
.
Имеем
aaa a a
= = = = = =
1; 3; ; ;
4
k
a
=++++ =
∑
k
=
13
k
0
откуда
18
9 27 9 27
9 9 27 131
,
(полагаем 0! = 1).
2) Вероятность того, что заказ будет принят, то есть хотя бы
131
=a=⋅=≈
обс
104 312
3 2,38
131 131
kP
= = = ≈
⋅
зан
312 78
0,59 5
131 4 131
k
P
n
−
=⋅ =⋅= ≈
зан
пр
зан
1
1 1 53 53
0,34 [с]
м 2 78 156
Р
t
Р
= =⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅ =
012 3 4
131 131 131 131 131
один телефон свободен:
р
= 1 – р4 =
обс
104
≈ 0,793.
3) Среднее число занятых каналов
.
4) Вероятность того, что произвольно взятый канал будет за-
нят:
.
5) Среднее время простоя канала
.
Замечание. Среднее число занятых каналов можно вычислить
и по формуле
n
k kp p p p p p
∑
=
0
k
=+++=≈
01234
k
24 72 108 108 312
2,38.
Задача 2. Рассматривается работа офисной телефонной станции (МиниАТС), рассчитанной на одновременное обслуживание 25 абонентов (25-канальная СМО). Вызов в офис поступает
в среднем через 6 с. Каждый разговор длится в среднем 2 мин.
Если абонент застает все линии занятыми, то он получает отказ.
Если абонент застает свободным хотя бы один из 25 каналов, то
он соединяется с нужным ему номером.
Определить:
1) вероятность обслуживания абонента;
2) среднее число занятых каналов;
3) вероятность того, что произвольно взятый канал будет
занят;
4) среднее время простоя канала.
19
Решение. n = 25; l =
11
6с
m=
11
120 с
l
−a
= = ≈
a
обс
( 1; ) (24;20)
0,95.
( ; ) (25;20)
Rn R
p
Rn R
=a=
25
n
−
=⋅≈
зан
пр
зан
1
1
37, 9 [с]
м
Р
t
Р
m
=
10 1
50 5
2!
;
a= =m20
;
.
1) Вероятность обслуживания
2) Среднее число занятых каналов
19kP .
обс
3) Вероятность того, что канал занят:
P
зан
= = =
0,76
.
19
k
4) Среднее время простоя канала
.
Из полученных данных видно, что МиниАТС достаточно загружена, но имеется некоторый резерв. Вероятность дозвониться с первого раза достаточная.
Задача 3. Для обслуживания в двухканальную СМО с отказом поступает в среднем 50 заявок в час. Необходимо рассчитать
количество заявок, обслуживаемых каждым каналом обслуживания за 1 час таким образом, чтобы количество необслуженных
заявок не превышало 10 заявок в час.
Решение. По условию
. При 10 не обслуженных заявках в час вероятность остаться
не обслуженной составляет
(заявка остается не обслуженной в случае занятости всех двух
каналов). Получим уравнение
20
l=50 (заяв./ час)
. С другой стороны,
2
a
2!
=
P
2
1
+a+
a
, la=m. Найдем
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]