Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многокритериальный синтез сигналов и устройств обработки. Учебное пособие
.pdf
00
( ), ( ), ( )
y s sy
R R R
и полагая, что полезный сигнал и помеха
2
0
( ) ( ) ( ) ( )(1 )
• • p
H G N G
0
p
22
00
1
( )( ( ) ( )) ( )(2 ( ) 1) ,
2
Џ•
H G N G H d
()
и
G
0
( ) ( ), ( ) ( ), / 2
cn
G P rect N Prect
2
0 0 0
( ) cos ( ) , /2,
c Ф
G P d
/2
/2
( ) ,
c
P G d
0
Ф
d
0, 4,9,16
p
0
p
0/cn
q P P
некоррелированы, получаем выражение для передаточной функции
ОЛФ:
. (66)
При
винеровского фильтра. Тогда выражение для СКО на выходе ОЛФ с
передаточной функцией (66) нетрудно получить в виде:
выражение (66) соответствует передаточной функции
(67)
где
– СПМ искаженного сигнала.
Исследуем влияние искажений сигнала на величину СКО (67),
полагая, что
где Pc0, Pn – мощность сигнала и помехи;
– полоса пропускания
,
ОЛФ. Форму СПМ искаженного сигнала зададим в виде
(68)
где dФ = 01; 0 – параметры СПМ Gи(). Параметр 0 описывает
неточность настройки ОЛФ относительно центральной частоты СПМ
неискаженного сигнала, а параметр dФ - изменение формы СПМ,
причем при dФ 0 Gи() Gп(). Зависимость нормированной СКО
= 2/Pcи, где
(69)
от значений параметров
соответственно при значениях параметра
1, 2, 3, 4).
При
нормированной СКО
приведенные зависимости соответствуют значениям
на выходе винеровского фильтра в случае
искажений полезного сигнала.
Анализ полученных результатов показывает, что
синтезированный ОЛФ обладает робастностью к искажениям
полезного сигнала, то есть является робастным.
Величина выигрыша зависит от отношения сигнал-шум
Так, на рис. 9, 10 приведены зависимости нормированной СКО для
и
приведена на рис. 7, 8
(кривые
.
31
винеровского фильтра:
0
p
4
p
– кривая 2 при отсутствии искажений полезного сигнала.
Кроме того, на этих рисунках построены аналогичные зависимости
при наличии искажений, связанных с неточностью настройки ОЛФ
относительно центральной частоты и формы СПМ ( кривая 3 – для
винеровского фильтра, кривая 4 - для синтезированного).
– кривая 1 и синтезированного
Рис. 7. Зависимости нормированной СКО
Рис. 8. Зависимости нормированной СКО
Из анализа рис. 9, 10 следует, что при возрастании отношения сигналшум и отсутствии искажений величина СКО на выходе
32
синтезированного фильтра увеличивается по сравнению с
c
P
n
P
3
27arccos
cos
3
2
)()(
0
2
0ppp
••
x
xGxN
,12x
p
,5.0x
0p
x
( ) ( )
••
N x G x
винеровским, а при наличии искажений – наоборот: СКО на выходе
винеровского фильтра увеличивается по сравнению с
синтезированным фильтром.
Определим в случае робастного к искажениям сигнала ОЛФ
форму СПМ помехи, которая стремится максимизировать СКО на
выходе фильтра. Для этого при условии, что СПМ сигнала
Gи() = Gп(), необходимо максимизировать СКО (67) при наличии
ограничений на средние мощности сигнала
(20) и помех
(21).
Решение уравнения Эйлера – Лагранжа в поставленной задачи имеет
вид
где
– коэффициент Лагранжа;
. Анализ потерь в СКО при
(70)
действии наиболее мешающей помехи с СПМ (70) показывает, что
синтезированный фильтр обладает низкой чувствительностью и к
действиям помех. Увеличение СКО при действии помех с СПМ (70) по
сравнению со случаем
не превышало 1 2 .
Рис. 9. Зависимости нормированной СКО
Таким образом, осуществлен МК синтез робастного к
искажениям сигнала ОЛФ, определена форма оптимальной
передаточной функции и показано, как необходимо выбирать
33
величину параметра
p
22
(0)/ ( )
n шn
qg
22
,
шn
фильтра.
Рис. 10. Зависимости нормированной СКО
6. Совместный синтез сигнала и фильтра по критериям
максимума отношения сигнал-шум+помеха
и минимума эффективной ширины спектра
Покажем, что совместный синтез сигнала и фильтра,
проведенный по критериям максимума отношения сигналшум+помеха и минимума эффективной ширины спектра, приводит к
робастным с точки зрения искажений сигнала фильтрам.
Представляет интерес задача совместного синтеза сигнала и
фильтра по критерию максимума отношения сигнал-шум+помеха и
минимума эффективной ширины спектра сигнала.
Рассмотрим задачу совместного синтеза сигнала и фильтра при
максимизации отношения сигнал-шум+помеха
(71)
и минимизации эффективной ширины спектра сигнала 2β, которая
определяется через отношение (71), здесь
помехи соответственно. Полагаем, что помехой является
последовательность сигналов, имеющих ту же форму, что и заданный
сигнал, но со случайными амплитудами и моментами прихода.
Представим суммарный сигнал на выходе фильтра в виде
– дисперсии шума и
(72)
34
где ak, tk – амплитуда и время прихода k-го помехового сигнала; gш(t) –
1
(0) ( ) ( ) ,
2
g S j H j d
2
22
0
1
( ) ( ) ,
2
nn
S j H j d
2 2 2
0 р
,
n – a a
k
a
2
1
( ) .
2
c
P S j d
2
2
0
( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) 0,
n co
N H j S j H j S j
co
2
2
00
( ) 0.5 ( )/ ( ) ( ) .
co n
H j S j N S j
2
22
01
( ) ( ) ( )
nC
S j H j S j
20
( ) 0.5 ( ) 0,
CC
S j H j
шумовой сигнал на выходе фильтра, который считается стационарным
и гауссовским процессом. Аналогично определим сигнал на выходе
фильтра в точке фиксации t = 0 как
(73)
дисперсию шума
(74)
и дисперсию помехи
(75)
где
– дисперсия последовательности
.
При введенных выше обозначениях задача совместного синтеза
сигнала и фильтра может быть поставлена как задача минимизации
функционалов
I(s,h)={I20(s,h),I2(s,h)}, (76)
где функционал I20(s,h)=
, I2(s,h) определяется соотношением
(17), а в качестве дополнительных условий используются функционал
(73) и условие нормировки
(77)
Вначале, решая уравнение Эйлера – Лагранжа относительно
передаточной функции, определяем уравнение для стационарных
точек оптимального приемного фильтра при заданном сигнале
где
– множитель Лагранжа. Из уравнения (78) нетрудно получить
(78)
оптимальную передаточную функцию фильтра при заданном сигнале
(79)
Аналогично, решая уравнение Эйлера – Лагранжа относительно
спектра сигнала S(jw), получаем уравнение для стационарных точек
оптимального сигнала при заданном фильтре
(80)
35
где
1c
2c
2
22
0 0 2 1 0
( ) 0.5 ( ) / (
C C C
S j H j H j
2 2 2
2
00
( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) 0,
nC
N H j s j H j S j H j
2 2 2 2
22
0 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
n C C
S j H j S j S j
0
0.5 ( ) ( ) 0.
C
S j H j
2
2
00
2
21
0.5
( ) ( ) ( )
CC
S j N N
2
0
( ) ( ), /2S j rect
2
2 2 2
2
0 2 1 2 1 0
0.5
()
()
C C C C
Hj
N
co
1c
2c
, / 2N rect
,
– множители Лагранжа. Из уравнения (80) можно
получить спектр оптимального сигнала S(jw) при заданном фильтре
. (81)
Для нахождения совместного решения задачи (76),
оптимизирующего как сигнал, так и фильтр, умножим уравнение (78)
на H(jw), а уравнение (80) на S(jw):
(82)
(83)
Из уравнений (82), (83) видно, что:
S(jω)H(jω)=S(jω)H(jω). (84)
Тогда, вычитая (82) из (83), получаем соотношение, связывающее
оптимальные передаточную функцию фильтра и СПМ сигнала:
H0(jω)2 = (lC2+l
2
ω
)S0(jω)2/ N(ω). (85)
C1
Для определения формы СПМ оптимального спектра сигнала
при оптимальном фильтре подставим (85) в выражение (82) и с учетом
(84) получим
. (86)
Отметим, что СПМ оптимального сигнала в этом случае имеет вид
. Для получения передаточной функции
оптимального фильтра при оптимальном сигнале подставим (86) в
соотношение (85):
Множители Лагранжа
,
,
в выражениях (85), (86), (87)
. (87)
находятся из ограничивающих условий, которые задаются ЛПР.
Таким образом, осуществлен совместный синтез сигнала и
фильтра по критерию максимума отношения сигнал-шум+помеха и
минимума эффективной ширины спектра. Показано, что
синтезированный в данном случае ОЛФ является робастным к
искажениям полезного сигнала, а оптимальные сигналы имеют СПМ,
отличающуюся по форме от прямоугольной, при СПМ помехи
.
36
7. Многокритериальный синтез оптимальной весовой
ˆ
()R
22
ˆ
ˆ
( ) ( ) ( ) .
jf
S f R w e d
2
ˆ ˆ ˆ
( ) [ ( ) ( )], ( ) [( ( ) [ ( )]) ]b f E G f G f D f E G f E G f
функции при спектрально-корреляционном анализе
априорно неизвестных сигналов
Кроме недостатка разложения Карунена – Лоэва, связанного с
высокой чувствительностью ошибки конечномерной аппроксимации к
искажениям базисных функций, имеются и другие ограничения
практического характера. Кроме того, априорная информация о виде
КФ, необходимая для определения базисных функций, может
отсутствовать или быть весьма ограниченной. Для устранения этого
недостатка предлагается использовать такой класс КФ, который в
наихудшем случае обеспечивает величину квадрата нормы ошибки
аппроксимации, не превышающую заданного значения. Другой путь
связан с асимптотическими свойствами разложения Карунена - Лоэва.
Для сглаживания оценки СПМ применяют весовую обработку,
умножая оценку КФ
на корреляционное окно w(t):
(88)
При этом весовую обработку можно проводить как во временной, так
и в частотной областях. Для анализа обеих составляющих ошибки
оценивания необходимо располагать априорной информацией
относительно параметров корреляционного окна и СПМ исследуемого
процесса. Ни одно из известных типовых окон нельзя считать
оптимальным с точки зрения минимума ошибки оценивания СПМ.
В связи с вышеизложенным рассмотрим задачу синтеза
оптимальной весовой функции, обеспечивающей минимальное
значение ошибки оценивания СПМ при спектрально-корреляционном
анализе СП.
Синтез оптимальной весовой функции требует введения
показателей качества, позволяющих минимизировать ошибку
оценивания СПМ сигнала ∆f, которая определяется выражением
∆(f)=b2(f)+D(f), (89)
где
- дисперсия
оценки, G(f), - точное значение и оценка СПМ, E[...] - символ
усреднения по множеству.
Регулярную составляющую ошибки оценивания СПМ можно
представить в виде
37
( ) ( )[ ( ) 1]exp[ 2 ] ,b f R w j f d
( ) ( ) ( ) ( ) ,b f G f W f f df G f
2
0
( ) ( ) ( ) ( ) / 2b f G f f f W f f df
0f
( ), (0)G f R
,0ff
2
0
(0) ( ) ,T w x dx
(90)
(91)
где W(f) - спектральное окно. Из выражений (90), (91) следует, что
ошибка смещения зависит как от вида R(t), G(f), так и от формы
сглаживающих окон w(t), W(f).
При представлении G(f) и R(t) первыми тремя членами ряда
Тейлора в окрестностях точек f=f и t=0 получим
(92)
при весовой обработке в частотной области, а в случае
(93)
при весовой обработке во временной области, здесь
вторые производные G(f) и R(t) по f и t в точках разложения
.
Из анализа выражений (92), (93) следует, что показателем
качества, непосредственно влияющим на величину регулярной
составляющей ошибки оценивания, является параметр
(94)
-
спектрального или корреляционного окна w0(x).
На величину флюктуационной составляющей ошибки
оценивания
D(f) G2(f)T(0)/T, f>1/Dt (95)
наибольшее влияние оказывает параметр окна
(96)
где T - длительность реализации, Dt - ширина корреляционного окна.
Параметр T(0) характеризует относительное уменьшение дисперсии
D(f), вызванное сглаживанием.
Задача МК синтеза оптимальной весовой функции может быть
поставлена как задача минимизации следующих функционалов:
38
I(w0)={I1(w0), I2(w0)}, (97)
0
( ) 1 ,w x dx
4
0
( ) / 80 ,x w x dx
6
0
( ) .x w x dx
ff
3
2
02
0
( ) , [ 0.5; 0.5] ,
n
n
n
w x C x x
6
21 20
6
22 20
6
23 20
10
37.6321 13.7626 541.901 21.2890 ,
163840
10
541.901 165.151 9289.901 397.394 ,
163840
10
1703.12 484.444 31791.5 1430.62 .
163840
CC
CC
CC
22
20 20 21 21 20 22
(0) / 6 [ 2 ]/80
щ
F T C C C C C C
где функционалы I1(w0), I2(w0) описываются соотношениями (96),
(94). В качестве других дополнительных условий используется
условие нормировки весовой функции
(98)
а также условия
(99)
(100)
Условия (99), (100) в меньшей степени, чем параметры (94) и (96),
определяют форму весового окна, но значительно влияют на уровень
боковых лепестков. Эти условия необходимы, так как при анализе
сильно изрезанных спектров наличие значительных боковых лепестков
W(f) приводит к смещению оценок G(f) на других частотах
Таким образом, через условия (99), (100) косвенно вводится
ограничение на уровень боковых лепестков весового окна. Не меняя
общности задачи, полагаем, что область существования x ограничена
пределами x [-0.5; 0.5].
Решая уравнение Эйлера - Лагранжа и определяя с помощью
условий (94), (98)... (100) множители Лагранжа, получаем решение
задачи в виде
.
где
Если w0(x)=w(t), то T(0) имеет физический смысл нормированной
эквивалентной шумовой полосы (ЭШП), используемой в цифровом
спектральном анализе:
39
(101)
2
22 23 20 23 21 22 23
/5623 [ ]/ 2304 / 53248.C C C C C C C
(102)
g, дБ
ЭШП
МПП, дБ
С
20
β
0
h
-10.5
-16.1
-22.9
-31.9
-39.0
-42.8
-46.1
-48.7
1.380
1.017
1.059
1.185
1.296
1.358
1.417
1.534
5.38
3.96
3.32
3.05
3.06
3.09
3.13
3.25
0.890
1.145
1.320
1.579
1.750
1.844
1.932
2.100
0.111111
0.083333
0.067751
0.052181
0.044092
0.040355
0.037269
0.032051
1.6450
1.0500
0.7781
0.5054
0.3794
0.3233
0.2812
0.2129
Спектральное окно, соответствующее корреляционному окну,
(101), имеет вид
W(f)=[C20+C21/4+C22/16+C23/64]sinw/w+[C21/2 + C22/4+3C23/32]cosw/w2–
–[C21/2+3C22/4+15C23/32]sinw/w3– [3C22/2 + 15C23/8] cosw/w4 +[3C22/ 2+
+ 45C23/8]sinw/w5 + [cosw/w6 – sinw/w7]45C23/4. (103)
Исследование весовой функции (101) проводилось в области
существования коэффициентов C20, b0, h, обеспечивающих
минимальный УБЛ g спектрального окна (103). Оптимизация
проводилась методами наискорейшего пуска. Результаты расчетов
параметров β
линиями) и в табл. 1.
Таблица 1. Результаты расчетов параметров
и T(0) от УБЛ g приведены на рис. 11 (сплошными
0
Кроме того, в табл. 1 приведен такой существенный при
цифровом спектральном анализе параметр, как максимальные потери
преобразования (МПП).
Как следует из рис. 11, синтезированная весовая функция (101)
позволяет в широких пределах менять уровень боковых лепестков, а
также значения ЭШП и параметра β0 в зависимости от требований к
среднеквадратической ошибке оценивания СПМ сигнала.
Для выбора конкретных параметров весовой функции (101)
(рис. 12) при введенных выше допущениях представим
среднеквадратическую ошибку оценивания D(f) в виде
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]