Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многокритериальный синтез сигналов и устройств обработки. Учебное пособие
.pdf
ограничении (21). То есть задача МК синтеза СПМ N(x) может быть
15 2
max ( , ), min ( , ) ,
mm
N
N
N h N hII
2
2
12
2
()
0,
( ) ( )
m
nn
m
Gx
x
G x N x
2
12
1
( ) ( ) 1 , 0.5,
mm
nn
N x G x x
x
22
12
maxminmin ( ) ( ).
m c n c n n c n
нG
N
P P P
22
maxminmin minminmax
н G G н
NN
поставлена как задача
где функционалы I15(N, hm), I2(N, hm) описываются выражениями (30) и
(23) и при ограничении (21). Уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид
(31)
где n1, n2 - множители Лагранжа. Решение уравнения (31) равно
(32)
где множители Лагранжа находятся подстановкой (32) в функционалы
(21), (23). Формы СПМ помехи Nm(x), максимизирующие СКО при
qn = Pc/Pn = 1, Gm(x) = rect(x) (x 0.5) и отношении эффективных
полос сигнала и помехи n = 2c/2n = 0.7; 1; 1.4, приведены на рис. 3,
кривые 1, 2, 3 соответственно.
Подставляя СПМ Nm(x) в выражение для СКО (30), получаем
нижнюю цену игры
(33)
Пользуясь соответствующей методикой, нетрудно показать
справедливость равенства
(34)
Рис. 3. Формы СПМ помехи
21
Рис. 4. Зависимости относительной ошибки ОЛФ
2
0
22
1
maxminmin / ( ).
c n c n
нG
N
P P P P
2 2 2
0 1 0 1
/
2
1
и тем самым доказать существование седловой точки в игре при
чистой цене, равной
.
Таким образом, оптимальной стратегией оператора СПИ
является выбор СПМ сигнала Gm(x) и коэффициента передачи ОЛФ
(29), а стратегия оператора СПП определяется выражением (32).
В частном случае, при значении параметра oc = 1/12,
оптимальной стратегией СПИ и СПП является тождество
G0(x) = N0(x) = rect(x), обеспечивающее цену игры
(35)
Рассмотрим влияние параметров qn = Pc/Pn и n = 2c/2n на
величину относительной ошибки
(36)
(рис. 4). Из анализа приведенных зависимостей следует, что при n = 1
цена игры максимальна и равна
Nm(x) при qn = 1 увеличивает эффективность СПИ на 40 % при n = 0.6
и на 48 % при n = 1.4. Отклонение отношения сигнал-помеха от
значения qn = 1 приводит к уменьшению эффективности СПИ.
Предложенный подход позволяет в условиях ограниченной априорной
информации о параметрах СПИ и СПП осуществить МК синтез систем
оптимальной линейной фильтрации, обеспечивающих максимальный
выигрыш в цене игры при различии форм СПМ сигнала и помехи на
входе ОЛФ. Такой выбор формы СПМ сигнала в СПИ можно
. Отличие по форме СПМ Gm(x) и
22
осуществить, применяя оптимальное линейное предыскажение и
0 0 0 1 0
( ) ,s t s t s t s t
0
n
st
01
,
0
1
корректирование.
4. Многокритериальный синтез робастного
к искажениям сигнала и оптимального по критерию
максимума отношения сигнал-шум линейного
фильтра
В пп. 2, 3 рассматривались возможности преодоления
априорной неопределенности, связанной с ограниченностью сведений
об активных помехах, на основе теоретико-игрового метода МК
синтеза сигналов. Другая проблема, возникающая в СС и РЛС,
заключается в отсутствии априорных сведений относительно
характера искажений полезного сигнала.
При практической реализации ОФ необходимо учитывать
различные ограничения, которые отсутствуют на этапе
проектирования.
Обычно задача синтеза СФ, обеспечивающего максимальное
отношение сигнал-шум, рассматривается при предположении о точно
известной форме спектра S(w) полезного сигнала и СПМ шума N(w). В
реальных условиях данные характеристики отличаются от своих
номинальных значений.
Таким образом, представляет интерес задача МК синтеза
робастного к искажениям сигнала и оптимального по критерию
максимума отношения сигнал-шум линейного фильтра. Пусть на входе
линейного стационарного фильтра с импульсной характеристикой h(t)
действует сумма искаженного сигнала s(t) и стационарного шума n(t)
y(t) = s(t) + n(t). (37)
При предположении о малой величине искажений представим
искаженный сигнал на входе фильтра в виде
где s
(t) - полезный (неискаженный) сигнал;
0
полезного сигнала;
коэффициентом
задержке сигнала, а член с коэффициентом
с расширением длительности сигнала. Тогда отношение сигнал-шум
(по напряжению) на выходе фильтра при наличии искажений
полезного сигнала равно
(38)
- n-я производная
- постоянные коэффициенты. Член с
в выражении (38) определяет случайную ошибку в
- искажения, связанные
23
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,
шш
g t g t g t
d t d t d t
(39)
щ
( ) /
ш
d t g t
0 0 0
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp ,
2
g t h s t d H S j t d
0 0 1 0
( ) ( ) ( ) ( )g t h s t s t d
2
0 1 0
1
( ) ( )exp ,
2
j H S j t d
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
2
щш
h t h R t dt d H N d
0 16 0 17
( , ) ( , ), ( , ) ,hIII s h s h s
16 0 0 0 17 0 0 0 0
( , ) 1 ( ), ( , ) ( ) ( )d t d t d tII s h s h
где g(t), g0(t) – искаженный и неискаженный сигнал; ш –
интенсивность шума на выходе фильтра; d0(t) = g0(t)/
– отношение
сигнал-шум на выходе фильтра при отсутствии искажений;
– изменение отношения сигнал-шум, вызванное
искажениями
(40)
(41)
(42)
где R
(t-) – корреляционная функция шума. Как следует из анализа
ш
выражения (39), необходимо определить такую передаточную
функцию H() фильтра, которая обеспечит максимум отношения
сигнал-шум d0(t) при минимуме d(t). Таким образом, задача МК
синтеза робастного к искажениям ОЛФ может быть поставлена как
задача минимизации функционалов
(43)
где
момент времени, при котором сигнал на выходе фильтра g(t) достигает
максимального значения. Как известно, решение данной задачи
состоит в том, что отыскивается минимум одного показателя качества
при фиксированном значении другого. В силу принципа взаимности
изопериметрических задач получающиеся при минимизации (43)
рабочие поверхности совпадают. Решение анализируется при всех
возможных значениях фиксированного показателя качества. В
результате с помощью ЛПР производится отбор решений,
удовлетворяющих обоим показателям качества.
Нетрудно показать, что поставленная задача является
вариационной задачей нахождения стационарной точки функционала
24
, t0 – фиксированный
0 0 0 1 0
( ) ( ),
ш ш ш
Ф g t g t
(44)
2*
0 0 1 2 0 0
( ) exp ( ) / ( ),H j j t S N
*
00
( ) ( )SS
0, 1, 2
2
22
0 0 1
()
()
( ) ,
( ) ( )
S
S
g t d
NN
2
2
22
1 2 0 1
( ) ( )
2
( ) ( )
щ
SS
NN
2
4
2
0
()
,
()
S
d
N
2 2 2 2 2
0 0 1 0 0 1 2 0 1 0
( ) ( ) 2 ,
c c c
d t d t
2
22
0
()
c
Sd
2
4
0
()
c
Sd
22
0
( ) ( ) / 2S S E
0 0 0
( ) 2 /d t E N
где ш0, ш1 – множители Лагранжа. Решая уравнение Эйлера –
Лагранжа, можно получить оптимальную передаточную функцию
фильтра, робастного к искажениям полезного сигнала:
(45)
где
сигнала, а значения коэффициентов
- комплексно-сопряженный спектр полезного
определяются
требованиями к d(t0) и d(t0).
Исследуем характеристики ОЛФ с передаточной функцией
H0() в случае наличия и отсутствия искажений полезного сигнала.
При отсутствии искажений сигнала на выходе ОЛФ интенсивность
шума определяется соотношениями
(46)
(47)
полученными при предположении о сходимости интегралов (40), (41),
(42). Если СПМ шума N() = N0, то отношение сигнал-шум на выходе
фильтра равно
(48)
где
,
,
,
.
Определим потери в отношении сигнал-шум
Q = [d0(t0) - d(t0)] / d0(t) и УБЛ при использовании ОЛФ с передаточной
функцией H0() вместо передаточной функции СФ для сигнала с
равномерной СПМ в полосе S()2 = const и 2 = 0. В этом случае,
с учетом нормировок, коэффициенты фильтра равны 1 = 15Ф-2.25;
25
0 = 15(12Ф - 1)/2, где коэффициент Ф = 0.05 0.083. При
Ф = 0.083 ОЛФ переходит в СФ, в этом случае Q = 0 дБ и УБЛ
= -13.5 дБ. Зависимости потерь Q и УБЛ от значения коэффициента
Ф приведены на рис. 5.
Проанализируем характеристики сигнала на выходе ОЛФ при
наличии искажений. Полагаем, что СПМ полезного сигнала s0(t)
описывается функцией Хэмминга, а искажения происходят в
результате пропускания сигнала через некоторый фильтр,
изменяющий эффективную полосу частот 2
использовалась при анализе искажений сигнала в СФ методом парных
эхо. На рис. 6 представлены зависимости УБЛ сигналов на выходе СФ
(кривая 1) и ОЛФ (кривая 2) от значения коэффициента
= (c - co)/co, где 2co - номинальное значение эффективной полосы
частот. Соответствующим подбором коэффициента Ф удается при
некотором увеличении УБЛ сигнала обеспечить более низкую
чувствительность фильтра к вносимым искажениям. Как следует из
анализа рис. 6, при изменении эффективной полосы частот более чем
на 1 % предпочтительно применение ОЛФ вместо СФ. Этим
обстоятельством доказана низкая чувствительность синтезированного
ОЛФ к искажениям полезного сигнала.
. Аналогичная методика
c
Рис. 5. Зависимости параметров сигнала на выходе ОЛФ
Определим в случае робастного к искажениям ОЛФ форму СПМ
помехи, которая стремится минимизировать отношения сигналпомеха, и форму СПМ сигнала, максимизирующую это отношение.
Как и в п. 2, считаем, что разработчику ОЛФ неизвестна форма СПМ
26
аддитивной помехи. Тогда при оптимальной передаточной функции
2*
01 0 1 0
( ) exp ( )H j t S
2 2 2 2
0 1 0 1
2 ( ) ( ) ( )( ) .
c
q E N f G f f df
22
01
( ) ( )( )N f G f f df
2 2 2 4
01
( ) ( )( ) .N f df G f f df
22
01
( ) ( )( ) .N f G f f
фильтра, робастного к искажениям полезного сигнала,
, (49)
Рис. 6. Зависимости УБЛ сигнала
получим отношение сигнал-помеха (по мощности) в виде
(50)
Применяя к знаменателю выражения (50) неравенство Буняковского –
Шварца, имеем
(51)
Равенство в выражении (51) достигается при условии
В отличие от СФ, как следует из выражения (52), СПМ наиболее
мешающей помехи не совпадает по форме с СПМ сигнала. При
выполнении условия (52) отношение сигнал-помеха (50) примет
минимальное значение
(52)
27
2 2 2 2 4
1 0 1 0 1
min 2 ( ) ( )( ) .
c
N
q q E G f f df
2 2 2 2 2
2 0 1 0 1
2 ( ) ( )( ) .
c
q E G f f df
2 2 4
1 0 1
( )( )
n
T G f f df
1,0,)()(
2
ndffGf
n
S xS,x
nn
4
22
0 1 0 1
( ) ( ) / ,
y
G f A A f f
2
22
01
01
24
01
()
maxmin 2 ( )
()
c
N
G
A A f df
qE
f
Определим выигрыш в отношении сигнал-помеха при воздействии на
ОЛФ с передаточной функцией (49) наиболее опасной для СФ помехи
с СПМ N0(f) = G0(f) по сравнению со случаем, когда справедливо
условие (52). Как нетрудно показать, отношение сигнал-помеха в этом
случае равно
(53)
ОЛФ, робастный к искажениям полезного сигнала, обладает более
высокой помехоустойчивостью по отношению к наиболее опасной для
СФ помехе с СПМ N0(f) = G0(f).
Далее, аналогично п. 2, определим при наиболее мешающей
помехе, воздействующей на ОЛФ, форму СПМ сигнала,
максимизирующей отношение сигнал-помеха (52). Для этого
необходимо обеспечить минимум функционала
(54)
при наличии ограничений. Если ограничения можно представить как
функционалы
, (55)
то решение уравнения Эйлера – Лагранжа имеет вид
где A0, A1 - коэффициенты, определяемые из ограничивающих
условий (55). При использовании сигналов с СПМ (56), обработка
которых осуществляется в ОЛФ, обеспечивается максимальное
отношение сигнал-помеха
при действии самой мешающей помехи с СПМ (52).
Таким образом, осуществлен МК синтез робастного к
искажениям сигнала ОЛФ и определена для этого случая форма СПМ
наиболее мешающей помехи, а также форма СПМ наиболее
помехоустойчивого сигнала.
28
(56)
(57)
5. Многокритериальный синтез робастного
()
s
R
n
R
sn
R
()
s
R
ht
00
( ) ( ) ( ),s t s t s t
0
()st
0
()t
0
( ) ( ) ( ) ( )t h y t d s t
к искажениям сигнала и оптимального по критерию
минимума средней квадратической ошибки
линейного фильтра
Как известно, наряду с критерием максимума отношения
сигнал-шум, наиболее часто применяемым при синтезе РЛС, в СС
широко используется критерий минимума СКО. Основные отношения
для ОФЛ, синтезированного по критерию СКО, получены при
предположении, что сигналы, помехи и характеристики каналов связи
являются стационарными гауссовскими. Кроме того, известны
корреляционные функции (КФ) сигнала
функция их взаимной корреляции
, шума
, а также
. В реальной ситуации
возможны искажения полезного сигнала как в процессе формирования,
так и при передаче по линиям связи. Эти искажения, априорно
неизвестные разработчику ОФЛ, приводят к изменению КФ
и
увеличению СКО. По этой причине, как и при синтезе ОФЛ, по
критерию максимума отношение сигнал-шум целесообразно наряду с
основным критерием минимума СКО использовать некоторый
дополнительный критерий, позволяющий повысить устойчивость ОФЛ
к искажениям сигнала. Вид этого дополнительного критерия зависит
от особенностей решаемой задачи.
Рассмотрим задачу МК синтеза робастного к искажениям
сигнала и оптимального по критерию СКО линейного фильтра.
Полагаем, что на вход стационарного линейного фильтра с
импульсной характеристикой
поступает аддитивная смесь
стационарных гауссовских сигнала s(t) и помехи n(t)
y(t) = s(t) + n(t). (58)
Зададим искажения полезного сигнала s0(t) в виде
(59)
где
учитывающий уровень искажений. В этом случае, как нетрудно
показать, ошибка восстановления сигнала
равна
– производная полезного сигнала;
– коэффициент,
на выходе фильтра
29
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h s t n t d s t h s t d
0
( ) ( ) ,tt
0
()t
()t
0
()H
0
()t
()t
2
0
2
22
0 p
Ф
p
00
( ) ( ) ( ) ( ),
y p s sy
h R R d R
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),
y s sy
R y t y t R s t s t R s t y t
00
( ) ( ) ( ).y t s t n t
(60)
где
ошибка, обусловленная искажениями сигнала. Из выражения (60)
следует, что задача синтеза робастного к искажениям сигнала ОЛФ
сводится к нахождению вида оптимальной передаточной функции
- ошибка при отсутствии искажений,
- дополнительная
фильтра, обеспечивающего минимизацию функционала:
(61)
где функционалы определяются как средние
значения СКО
и
:
где G.(w) – СПМ полезного сигнала s
задачи находится аналогично п. 4 путем минимизации одного
показателя качества при фиксированном значении другого. В силу
принципа взаимности этих задач получающиеся при минимизации
(t). Решение поставленной
0
или
рабочие поверхности совпадают. С помощью ЛПР
производится отбор решений, удовлетворяющих обоим показателям
качества. Как следует из вышеизложенного, поставленная задача
является вариационной задачей нахождения стационарной точки
функционала
где
- множитель Лагранжа. Искомая импульсная характеристика
, (64)
h0(t) ОЛФ является решением интегрального уравнения вида
где
Используя теорему Винера – Хинчина для КФ
30
(65)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]