Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многокритериальный синтез сигналов и устройств обработки. Учебное пособие
.pdf
Т.е. оптимальными сигналами в этом случае являются сигналы с
линейной частотной модуляцией (ЛЧМ). Сигналы с данной формой
СПМ обладают высоким УБЛ и требуют использования весовой
обработки в приемном устройстве. Более общей характеристикой
разрешающей способности по времени является введенная
Уэстерфильдом ПРВ.
Использование рассмотренных выше сигналов,
синтезированных исходя из одного основного критерия, возможно
только после детального анализа свойств этих сигналов. К сожалению,
такой анализ отсутствует в большинстве из перечисленных выше
работ по синтезу сигналов за исключением [11,17]. В частности,
отсутствует анализ возможности получения предельных характеристик
синтезируемых сигналов при наличии искажений в трактах приема и
передачи. Тем не менее, синтезированные по одному из ряда основных
критериев сигналы могут использоваться в качестве порождающих
между некоторыми сигналами в функциональном пространстве.
Предложенная в [6,11] гипотеза близости позволяет получить
практически реализуемые сигналы, свойства которых максимально
приближены к желаемым.
Как отмечено в [11], в общем случае вопрос выбора критерия
качества сигналов является трудным и спорным. По этой причине
значительно возрастает роль конструктора, его знаний и опыта.
Обычно предпочтение отдается критерию, позволяющему получить
решение в аналитической форме. Критерии максимума отношения
сигнал-помеха или минимума СКО применяются только потому, что
требуют простых выкладок [2]. В настоящее время в ряде работ [25,26]
признано целесообразным использование в качестве критерия
оптимизации объекта синтеза критерий "эффективность-затраты".
Здесь под затратами понимаются технические или экономические
потери, связанные с получением заданной эффективности. Так, в СС
основным показателем качества может являться удельная скорость
передачи сообщения, а затраты могут оцениваться коэффициентом
энергетической эффективности.
Основные показатели качества сигналов, используемых в РЛС и
СС, должны вытекать из статистического анализа систем. Но могут
быть критерии, которые непосредственно не связаны со
статистической постановкой задачи синтеза системы. Так, основным
показателем качества РЛС, осуществляющей обнаружение объекта,
является отношение сигнал-шум, однозначно связанное с
вероятностью правильного обнаружения [5], а дополнительным уровень боковых лепестков ФН. Данный критерий необходимо
11
использовать для устранения маскирующего действия близких по
дальности объектов. Если РЛС должна осуществлять обнаружение и
измерение параметров объекта, то основными критериями качества
выступают отношение сигнал-шум и дисперсия точности оценки
измеряемого параметра. Особый интерес вызывают алгоритмы синтеза
оптимальных по многим критериям сигналов, обеспечивающие
изменение структуры полученных в зависимости от наблюдаемой
ситуации и решаемых РТС задач. Как отмечается в [11], примером
подобных РТС являются РЛС, которые при помеховой обстановке, в
условиях жесткой регламентации времени синтеза, оптимизируют
структуру зондирующего сигнала.
Проведенный анализ работ по синтезу сигналов и устройств
обработки, используемых в различных РТС, позволяет сделать
следующие выводы:
-основным методом синтеза сигналов, обеспечивающим
получение потенциальных характеристик, является вариационное
исчисление;
-синтез сигналов по одному показателю качества часто
приводит к нереализуемым сигналам или резко ухудшает другие
характеристики;
-выбор показателей качества синтезируемых сигналов должен
быть связан с постановкой задачи синтеза оптимальной РТС и ее
функциональных возможностей;
-синтез оптимальных сигналов целесообразно осуществлять с
учетом требований практической реализуемости и принадлежности к
заданному классу сигналов;
-для синтеза сигналов, наилучших с точки зрения нескольких
показателей качества, необходимо использовать методы МК
оптимизации.
В интересах постановки задачи МК синтеза сигналов и
устройств обработки рассмотрим формы представления основных
показателей качества и особенности использования аппарата
вариационного исчисления в задачах многокритериальной
оптимизации.
2. Теоретико-игровой метод многокритериального синтеза
спектральной плотности мощности сигналов при
неизвестном спектре помех
Одним из путей преодоления априорной неопределенности
является применение теории игр, являющейся математической
основой теории конфликтных ситуаций. При теоретико-игровом
12
подходе рассматриваются интересы двух или более сторон,
/2
2
/2
2 ( ) ( ) ,
f
f
q E G f N f df
преследующих различные цели. Анализ отдельно взятых конфликтных
ситуаций зависит от методики формализации задачи и обычно
затруднен из-за ряда специфических особенностей. Наиболее
подробно разработан математический аппарат теории игр для так
называемых парных игр с нулевой суммой. Так как интересы игроков в
этом случае прямо противоположны, то выигрыш одного является
проигрышем другого. При этом стратегией каждого игрока является
обеспечение наилучшего результата в предположении, что противник
стремится сделать этот результат наихудшим. Наиболее полная
классификация разделов теории игр содержится в соответствующей
литературе. В настоящее время теоретико-игровые методы нашли
широкое применение в задачах теории автоматического управления и
при синтезе РТС.
В реальной ситуации на стратегии игроков при конфликтном
взаимодействии между РТС и СПП накладывается ряд ограничений,
определяющих свойства сигналов и активных помех. В связи с этим
представляет интерес анализ влияния различных ограничений класса
сигналов и помех на цену антагонистической игры.
Рассмотрим возможность использования теоретико-игрового
подхода при МК синтезе спектральной плотности мощности (СПМ)
сигналов. Полагаем, что ситуация конфликтного взаимодействия
между РЛС и СПП сводится к независимому выбору формы СПМ
сигнала и активных помех. В качестве платежной функции,
позволяющей оценить работоспособность РЛС, используем отношение
сигнал-помеха, полученное при предположении, что приемный фильтр
согласован только с сигналом. Кроме того, предполагается, что ведется
одношаговая игра с нулевой суммой между РЛС и СПП в нормальной
форме. В качестве чистых стратегий в этом случае используются
различные формы СПМ сигнала G(ω) и помех N(ω). Целью игры
является поиск оптимальных стратегий игроков, в данном случае
формы СПМ сигнала и помех, а также цены игры. Отметим, что при
согласованной фильтрации и ограничении класса сигналов НЧМ
сигналами форма СПМ определяет вид частотной характеристики
приемного фильтра.
При неизвестной форме СПМ аддитивной нормальной помехи
приемный фильтр может быть согласован только с сигналом и
отношение сигнал-помеха определяется соотношением
(1)
13
где E - энергия отраженного сигнала, f - полоса приемного фильтра.
12
0 0 0
12
( ) ( )q q G x N x dx
12
2
0 01
12
min ( ) .
N
q q G x dx
12
2
0 01
12
()
п
T G x dx
При выводе соотношения (1) предполагалось, что мощность теплового
шума много меньше мощности активных помех, излучаемых СПП. С
учетом условий нормировок СПМ сигнала и помех
(2)
соотношение (1) можно представить в виде
, (3)
где x = f / Df, q0 = 2E/Р
, Р
- мощность помехи на входе приемного
n
n
фильтра. Выбором формы N0(x) СПП стремится минимизировать
отношение сигнал-помеха (3), а РЛС выбором формы СПМ G0(x)
максимизировать это отношение.
Для СПМ наиболее мешающей помехи N01(x) = G01(x) функция
выигрыша (3) принимает минимальное значение
(4)
Форма СПМ G01(x) в выражении (4) определяет значение функции
выигрыша при наиболее неблагоприятной помехе.
Определим форму СПМ G01(x), максимизирующей выражение
(4) при определенных требованиях к свойствам сигнала. К сигналам,
применяемым в РЛС, предъявляются противоречивые требования по
обеспечению заданной разрешающей способности, неоднозначности и
точности оценки параметров, которые могут рассматриваться как
показатели качества сигналов. Менее распространены такие
показатели качества, как потери в разрешающей способности,
вызванные искажениями сигнала, неравномерность СПМ, задающая
требования к частотным характеристикам приемно-передающего
тракта РЛС, коэффициент частотно-временной связи, определяющий
значение дисперсии совместной оценки дальности и скорости объекта.
С учетом выражения (4) следует, что для максимизации
отношения сигнал-помеха необходимо определить форму СПМ G01(x),
обеспечивающую минимум функционала
при заданных показателях качества сигнала. Функционал (5) с
(5)
14
точностью до постоянного множителя совпадает с выражением для
12
2
12
( ) ( , ), 1,3.
n n n
x G x dx n
x S x S
),(),,(),,(),,(),(
5421 cccc
hG hGhGhG IIII
c
hG I
3
0
2
102
,5.0,)(
n
n
n
xxCxG
0,3n
2/1
2/1
2
020
.)(minmax dxxGqq
N
G
2/1
2/1
001
)()( dxxNxGT
п
ПРВ Вудворда как один из основных показателей качества сигналов.
Следовательно, синтезированные СПМ обеспечивают минимум
функционала (5) и максимум отношения сигнал-помеха при введенных
свойствах сигнала. Для получения значений функции выигрыша
необходимо задать конкретные показатели качества сигнала. Введем
показатели качества в виде
(6)
При n = 1 функционал (6) определяет эффективную ширину спектра
сигнала, а при n = 2, 3 косвенно задает УБЛ сигнала на выходе СФ.
Тогда задача МК синтеза СПМ сигналов, обеспечивающих
максимальное отношение сигнал - помеха при наиболее мешающей
помехе, может быть поставлена как задача минимизации следующих
функционалов:
, (7)
где функционалы I1(G, hc), I2(G, hc), I4(G, hc), I5(G, h
интегральный характер. Решение поставленной изопериметрической
задачи, проведенное методами вариационного исчисления при
наличии условий нормировки (2), можно представить в виде
) имеют
c
(8)
где значения коэффициентов C1n (
заданных свойств сигнала. Нижняя чистая цена игры в данном случае
равна
Для определения верхней чистой цены игры рассмотрим
вариационную задачу минимизации знаменателя функции выигрыша
(3)
с учетом ограничений и условий нормировки (2). Как нетрудно
показать, решение поставленной изопериметрической задачи приводит
к СПМ сигнала вида
) определяются исходя из
(9)
(10)
15
3
2
03 2 24 0
0
( ) ( )
n
n
n
G x C x C N x
максимизирующей функцию выигрыша (3)
1/2
0 03 0
1/2
max ( ) ( ) ,
G
q q G x N x dx
4,0n
2/1
2/1
2
030
.)(maxmin dxxGqq
G
N
3
2
03 3
0
( ) , 0.5
n
n
n
G x C x x
3 2 24
(1 )
nn
C C C
02 03
( ) ( ) , 0.5G x G x x
maxmin minmax
NN
GG
qq
0
, 10lg
n
q дБ T
, (11)
(12)
где коэффициенты C2n (
) определяются исходя из других свойств
сигнала. Далее, используя методику [10], можно доказать, что
при N03(x) = G03(x) функция выигрыша (12) минимальна и,
следовательно, верхняя чистая цена игры равна
(13)
В этом случае выражение для СПМ (11) можно свести к виду
, (14)
где
условий удается получить равенство
. Соответствующим выбором дополнительных
(15)
и тем самым доказать существование седловой точки в игре при
чистой цене, равной
. (16)
Оптимальные стратегии РЛС и СПП задаются выражением (15)
и равенством N0(x) = G0(x).
Следует отметить, что отсутствие ограничивающих условий на
класс сигналов и помех приводит к тривиальному решению
N0(x) = G0(x) = rect(x), x 0.5. В этом случае TП0 = 1 и цена игры
максимальна. МК оптимизация при теоретико-игровом методе синтеза
сигналов, как следует из выражений (9), (13), уменьшает цену игры на
величину
(17)
по сравнению со случаем N0(x) = G0(x) = rect(x). Это уменьшение цены
игры является минимально возможным при заданных показателях
качества сигнала, так как полученная СПМ G02(x) является решением
вариационной задачи на условный экстремум функционала T
анализа полученных результатов на рис. 1 приведены зависимости
уменьшения цены игры q при СПМ сигнала G03(x) и сигнала с СПМ
. Для
П0
16
вида
4
04
( ) [ (1 )cos ], 0.5,G x k k x x
(18)
Рис. 1. Зависимости потерь цены игры
Рис. 2. Зависимости параметров сигнала
где k = 01, от УБЛ сигнала на выходе СФ [кривая 1 - ∆q при G03(x),
кривая 2 - ∆q при G04(x)]. При УБЛ = -40 дБ уменьшение цены игры
для сигналов с СПМ G03(x) составляет -1 дБ, а для сигналов с СПМ —
G04(x) - 2.5 дБ.
Аналогично вышеизложенному подходу можно получить форму
СПМ, учитывающую другие важные свойства сигнала. Так, на рис. 2
приведены зависимости УБЛ , коэффициента относительной
дисперсии оценки времени запаздывания и коэффициента
неравномерности СПМ 2 для сигнала с СПМ G20(x) от величины
уменьшения цены игры q. Как следует из анализа рис. 2, при
17
использовании сигналов с СПМ G20(x) можно получить УБЛ до -40 дБ,
потеряв в отношении сигнал-помеха 1.3 дБ. Приведенные зависимости
позволяют задать требования к таким важным параметрам сигнала, как
, , 2, в соответствии с допустимым уровнем потерь в цене игры в
условиях действия наиболее опасной помехи.
Таким образом, решена задача МК оптимизации СПМ сигнала
при одношаговой антагонистической игре РЛС и СПП. Определены
оптимальные стратегии РЛС и СПП, обеспечивающие минимальное
уменьшение цены игры при МК синтезе сигнала. Предложенный
теоретико-игровой метод МК синтеза сигналов позволит разработчику
РЛС при априорной неопределенности относительно спектра помех
оптимально выбрать форму СПМ сигнала.
3. Многокритериальный синтез систем оптимальной
линейной фильтрации в условиях конфликтного
взаимодействия
В некоторых ситуациях разработчику ОФ неизвестны
характеристики СПИ и СПП. Для этого случая получена оптимальная
стратегия операторов СПИ и СПП с точки зрения критерия минимума
СКО фильтрации сигнала, отклонение от которой одной из сторон
создает предпосылки для увеличения выигрыша другой стороны.
Обычно характеристики СПИ и СПП ограничены рядом
практических требований, приводящим к необходимости
использования при синтезе СПМ сигнала и активных помех
нескольких показателей качества. В связи с этим представляет интерес
определение стратегии СПИ и СПП на основе МК подхода,
соответственно минимизирующего или максимизирующего цену игры
в случае различия форм СПМ сигнала и помех на входе фильтра.
При решении задачи конфликтного взаимодействия операторов
СПИ и СПП предполагалось, что конструирование ОЛФ также
относится к стратегии оператора СПИ. В этой игровой ситуации при
ограничении средних мощностей или первых производных сигнала и
помехи определены оптимальные стратегии операторов СПИ и СПП,
заключающиеся в выполнении равенства G(x) = kN(x), где k коэффициент пропорциональности. Обычно рекомендуют
использовать форму СПМ вида
G0(x) = N0(x) = rect(x), x 0.5. (19)
Однако зачастую форма СПМ применяемых на практике
сигналов отличается от равномерной. Это явление связано с
18
предъявлением сигналам целого комплекса противоречивых
0
0
/2
1/2
/2 1/2
( ) ( ) ,
ff
c
ff
P G f df f G x dx
0
0
/2
1/2
/2 1/ 2
( ) ( ) ,
ff
п
ff
P N f df f N x dx
0
0
/2
1/2
2 2 3
2 2 2
/2 1/2
44
( ) ( ) ,
ff
c
cc
ff
f
f G f df x G x dx
PP
0
0
/2
1/2
2 2 3
2 2 2
/2 1/ 2
44
( ) ( ) ,
ff
п
пп
ff
f
f N f df x N x dx
PP
1/2
2 2 2
1/2
( ) ( ) ( ( ) 1) ( ) ,H x N x H x G x dx
требований, что вынуждает применять при синтезе систем ОЛФ
многокритериальный подход.
Рассмотрим задачу МК синтеза системы ОЛФ в условиях
конфликтного взаимодействия СПИ и СПП при одновременном
ограничении средних мощностей PC, PП и эффективных полос спектра
2С, 2П сигнала и помех:
(20)
(21)
(22)
(23)
где f, f0 - полоса и центральная частота СПИ и СПП, x = (f - f0)f. В
качестве платежной функции будем использовать СКО восстановления
сигнала на выходе ОЛФ.
Требуется определить форму СПМ сигнала и помех,
позволяющих при МК подходе соответственно минимизировать или
максимизировать цену игры. Полагаем, что на вход стационарного
ОЛФ поступает смесь полезного сигнала s(t) и нормальной помехи
n(t):
y(t) = s(t) + n(t). (24)
Кроме того, считаем, что стационарные сигнал и помеха
являются взаимно некоррелированными.
Тогда СКО восстановления сигнала на выходе линейного
фильтра равна [4]
где H(x) - передаточная функция фильтра. Из выражения (25) следует,
что минимизацию СКО можно проводить путем подбора формы
передаточной функции фильтра H(x) и СПМ сигнала G(x). Определим
(25)
19
форму СПМ сигнала, минимизирующую СКО (25). В этом случае, если
1/2
2
1
1/2
()
п
T G x dx
12
( , ) ( , ), ( , ) ,IIG h G h G hI
2
9 15 1
( ) 90 , 0.5,
8 2 12
m c oc oc
G x P x x
2 2 2
/4
oc c
f
1/2
2
22
1/2
min ( ) ( ) ( ) 1 ( ) .
m
G
H x N x H x G x dx
( ) ( )/ ( ) ( ) , 0.5,
m m m
H x G x G x N x x
1/2
2
1/2
( ) ( )
minmin .
( ) ( )
m
нG
m
G x N x dx
G x N x
воспользоваться неравенством Коши – Буняковского для члена,
содержащего СПМ G(x), то можно преобразовать выражение (25) к
виду
(26)
Как следует из выражения (26), для минимизации СКО 2
необходимо минимизировать функционал
(27)
при минимальной эффективной полосе 2C и Р
. Тогда задача МК
с
синтеза СПМ G(x) может быть поставлена как задача минимизации
функционалов
где функционалы I1(G, h) и I2(G, h) описываются выражениями (27),
(22) при условии нормировки (20). Решение поставленной задачи,
проведенное методами вариационного исчисления, имеет вид
где
минимизирует СКО 2 при заданном коэффициенте передачи
линейного фильтра
. Подстановка СПМ Gm(x) в выражение (25)
(28)
Далее, варьируя функционал (28) по H(x), получаем
коэффициент передачи
(29)
минимизирующий СКО:
(30)
Определим форму СПМ помехи, максимизирующей функционал (30),
при минимальной эффективной ширине спектра 2П и дополнительном
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]