Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика решение задач статики твердого тела. Учебное пособие
.pdf
– площадь прямоугольника
11
6 (9 6)7 7535 ; 4 456,7 .
3
⋅ ⋅⋅
ππ π
33 3
= 6a · 4a= 24a2 = 24 · 52 = 600 см2;
A
2
– площадь полукруга
= – 0,5π(1,5а)2 = – 1,125π · а2 = – 1,125π · 52 ≈ – 88,3 см2.
A
3
Поскольку полукруг вырезается из пластины, то, в соответствии с методом отрицательных площадей, его площадь принимается отрицательной.
3. Определяем координаты центров тяжести составных ча-
стей пластины относительно выбранных координатных осей.
Центр тяжести прямоугольного треугольника находится на
пересечении перпендикуляров, восстановленных к катетам из
точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла:
x a aa a y a
1 11
= + ⋅ - = =⋅= = ⋅ = ⋅⋅≈
см см
3 33
Центр тяжести прямоугольника:
= 3a = 3 ⋅ 5 = 15 cм; y2 = 2а = 2 ⋅ 5 = 10 cм.
x
2
Центр тяжести полукруга (см. табл. 4.4):
= + = = ⋅=
4 4 (1, 5 ) 4 1,5 5
ra
= = = ≈
y
3
см2 1,5 3,5 3,5 5 17,5 ;xa a a
см
3,2 .
Результаты размещаем в табл. 4.6.
Расчеты координат центра тяжести несимметричной пластины
Номер
составной
части пла-
стины
1 35 6,7 150 5250 1005
2 15 10 600 9000 6000
3 17,5 3,2 – 88,3 – 1545,3 – 282,6
∑ – – 661,7 12704,7 6722,4
Координаты центра
тяжести i-й состав-
ной части пластины
, см yi, см
x
i
Площадь
i-й состав-
ной части
пластины Ai,
см
2
Статические моменты
инерции i-й составной
части пластины
= Aixi,
S
yi
3
cм
Таблица 4.6
Sxi = Aiyi,
3
см
81
4. Теперь находим координаты центра тяжести пластины:
y
3
Ax
∑
S
y
x
= = = = ≈
C
A AAA
S Ay Ay Ay
xi
y
= = = = ≈
C
A AAA
ii
Ax Ax Ax
i
=
1 11 22 33
3
A
i
∑
i
=
1
3
Ay
∑
ii
=
1 11 22 33
3
A
i
∑
=
1
i
++
++
123
++
++
123
12704,7
661,7
672 2, 4
661,7
см
19,2 ;
см
10, 2 .
Ответ: центр тяжести пластины находится в точке C
(19,2 см; 10,2 см).
Пример 4.8. Определить координаты центра тяжести несим-
метричного сечения, составленного из двутавра № 12 (приложе-
ние 1) и швеллера № 14 (приложение 2) и показанного на рис. 4.9.
h
= 14 см
2
x
2
xC
= 1,67 см
C
= 5,8 см
2
b
C
= 12 см
1
h
b
= 6,4 см
1
2
C
1
0
y
2
y
C
y
Рис. 4.9. Расчетная схема по определению координат центра
тяжести несимметричного сечения, составленного из двутавра
№ 12 и швеллера № 14
82
x
Решение
222 2
22
1. Определяем площади составных частей заданного сечения:
– площадь двутавра № 12 по таблице из приложения 1:
= 14,7 см2;
A
1
– площадь швеллера № 14 по таблице из приложения 2:
= 15,6 см2.
A
2
2. Выбираем систему координат. В целях упрощения дальнейших вычислений ось y совместим с осью симметрии двутавра, а ось x проведем через центр тяжести двутавра.
3. Определяем координаты центров тяжести составных частей сечения относительно выбранных координатных осей:
– центр тяжести двутавра № 12 (точка C
лом координат, т.е. x
= 0, y1 = 0;
1
) совпадает с нача-
1
– центр тяжести швеллера № 14 имеет координаты:
hb
21
= -= - =- =
x
2
=+= + =
yx
20
h
1
14 6, 4
12
7 3, 2 3, 8 ;
1,67 7,67 .
см
см
Результаты размещаем в табл. 4.7.
Таблица 4.7
Расчеты координат центра тяжести несимметричного сечения,
составленного из двутавра № 12 и швеллера № 14
Координаты центра
Номер
элемента
составного
сечения
1 0 0 14,7 0 0
2 3,8 7,67 15,6 59,3 119,7
∑ – – 30,3 59,3 119,7
тяжести i-го элемен-
та составного сечения
, см yi, см
x
i
Площадь
i-го элемента
составного се-
чения Ai, см
Статические моменты
инерции i-го элемента
составного сечения
2
S
= Aixi,
yi
3
cм
Sxi = Aiyi,
Теперь находим координаты центра тяжести составного сече-
ния:
cм
3
83
2
Ax
=
2
1
i
3a
R = a
∑
i
∑
=
∑
i
=
1
∑
1
2
=
2
ii
A
1
Ay
ii
A
i
Ay Ay
i
Ax Ax
+
11 2 2
+
12
+
11 22
+
12
59,3
30, 3
119,7
30, 3
см;
2, 0
см
4,0 .
S
y
x
= = = = ≈
C
A AA
S
xi
y
= = = = ≈
C
A AA
Ответ: центр тяжести сечения, составленного из двутавра
№ 12 и швеллера № 14, находится в точке C (2,0 см; 4,0 см).
Пример 4.9. Определить положение центра тяжести симме-
тричного сечения, размеры которого заданы на рис. 4.10. Из-
вестна величина а.
2a
r = 0,5a
Рис. 4.10. Исходная расчетная схема по определению положе-
ния центра тяжести симметричного сечения
Пример 4.10. Определить положение центра тяжести несим-
метричного сечения, размеры которого заданы на рис. 4.11. Из-
вестна величина а.
2a
2a
Рис. 4.11. Исходная расчетная схема по определению положе-
ния центра тяжести несимметричного сечения
84
R = a
a
r = 0,5a
4.4. Расчет координат центра тяжести
∑∑∑
1 11
; ;.
n nn
i ii
C CC
xyz
V VV
однородного объемного твердого тела
Однородное объемное твердое тело, имеющее объем V, рассматриваем состоящим из n частей, представляющих собой однородные тела объемами V
Тогда координаты центра тяжести рассматриваемого тела нахо-
дятся следующим образом:
Объем вырезаемой части тела подставляется в эти формулы
отрицательным (метод отрицательных объемов).
В тех случаях, когда объемы и координаты центров тяжести
составных частей однородного твердого тела могут быть определены точно, приведенные выше формулы дают точные значения
координат центра тяжести всего тела. Если же объемы и координаты центров тяжести составных частей не удается вычислить
точно, то приведенные выше формулы будут приближенными.
При решении задач на определение положения центра тяжести однородного твердого тела существенную роль играет удачный выбор осей координат.
Если в твердом теле имеется плоскость симметрии, то одну из
осей координат следует направить перпендикулярно к ней, так
как центр тяжести лежит в плоскости симметрии.
Если в твердом теле имеется ось симметрии, то одну из координатных осей следует совместить с осью симметрии, так как
центр тяжести лежит на оси симметрии.
При определении объемов и координат центров тяжести составных частей однородных твердых тел следует пользоваться
табл. 4.8.
с координатами центров тяжести (xi, yi, zi).
i
Vx Vy Vz
i i i i ii
= = =
= = =
85
Таблица 4.8
z
x
C
= = =
222
CCC
bac
xyz
z
C
= = =
2 33
CC C
h ab
xy z
2
;;
рой – параллельные прямоугольные
треугольники:
рой – параллельные прямоуголь-
ные треугольники:
V = 0,5abh,
где a, b – катеты прямоугольного
треугольника
Центр тяжести любого параллеле-
пипеда – точка пересечения диаго-
налей.
Для прямоугольного параллелепи-
педа:
V = abc,
где a, b , с – ребра прямоугольного
параллелепипеда
y
;;
Центр тяжести призмы, основания
Для призмы, основания которой
которой параллельны, находится
посередине отрезка, соединяющего
центры тяжести площадей основа-
ний призмы.
Для призмы, основания кото-
h,
– площадь основания;
осн
осн
параллельны:
V = A
где A
h – высота.
Для призмы, основания кото-
y
b
b / 3
Объемы и координаты центров тяжести некоторых однородных твердых тел
0
a
0
a
a / 3
86
Однородное твердое тело Объем Координаты центра тяжести
Прямоугольный параллелепипед
b
c
– прямоугольные треугольники
Прямая призма, основания которой
h
x
z
y
x
0
h
С
z
C
z
z
h
z
C
z
y
x
R
0
h
С
z
C
V Rh
= = =0; 0;
CCC
xyz
z
h
z
y
x
R
h
0
z
C
С
A
z
y
x
R
0
h
С
z
C
V Ah
= = =0; 0;
4
CCC
xyz
Продолжение табл. 4.8
Центр тяжести расположен посере-
дине отрезка, соединяющего центры
тяжести оснований цилиндра (для
прямого цилиндра этот отрезок яв-
h,
– площадь основания;
осн
осн
Для любого цилиндра:
V = A
где A
h – высота.
2
h
ляется его высотой).
Для круглого прямого цилиндра:
,
2
= π
где R – радиус основания; h – вы-
Для круглого прямого цилиндра:
сота
Центр тяжести пирамиды находится
на отрезке, соединяющем верши-
ну пирамиды с центром тяжести
площади ее основания (для прямой
,
– площадь основания;
осн
осн
3
1
=
Для любой пирамиды:
где A
пирамиды этот отрезок является ее
высотой). Расстояние от центра тя-
h – высота
жести пирамиды до центра тяжести
площади ее основания равно одной
четверти названного отрезка.
h
Для прямой пирамиды:
Однородное твердое тело Объем Координаты центра тяжести
Круглый прямой цилиндр
y
С
0
xR
Прямая пирамида
y
C
z
С
0
x
87
z
y
x
R
h
0
z
C
С
A
z
R
3
V Ah
V Rh
= = =0; 0;
4
CCC
xyz
z
h
z
A
V Rh
= =0; 0;
= -
AC R
=- -- - =
z Rh R
=- - =-+
48 48
Rh Rh
Продолжение табл. 4.8
h
h
3;42
h
3
42
55
CC
C
Центр тяжести круглого конуса на-
ходится на отрезке, соединяющем
вершину конуса с центром тяжести
площади его основания (для пря-
мого круглого конуса этот отрезок
является его высотой). Расстояние
от центра тяжести круглого кону-
са до центра тяжести площади его
основания равно одной четверти
названного отрезка.
Для прямого круглого конуса:
,
– площадь основания;
осн
осн
1
=
Для любого конуса:
Круглый прямой конус
Однородное твердое тело Объем Координаты центра тяжести
где A
h – высота.
,
2
3
1
= π
Для круглого прямого конуса:
h
где R – радиус основания конуса;
h – высота
y
C
z
0
С
Центр тяжести находится на оси
2
2,3
x
Шаровой сектор
xy
симметрии:
= π
где R – радиус шара; h – высота
шарового сегмента, соответствую-
y
С
0
щего шаровому сектору
R
C
x
88
z
x
z
z
y
x
R
0
z
C
С
A
= =0; 0;
z
h
A
=π-
V h Rh
= =0; 0;
3 (2 );4 (3 )
-
4 (3 )
Окончание табл. 4.8
3
=
C
zR
CC
xy
Центр тяжести находится на оси
симметрии:
8
2
-
-
Rh
CC
xy
Центр тяжести находится на оси
симметрии:
Rh
= ⋅
АС
Rh
(4 )
⋅-
hRh
=
C
z
3
2,3
= π
VR
где R – радиус шара
R
y
С
0
(3 ),
2
3
1
где R – радиус шара; h – высота
шарового сегмента
y
R
С
0
x
Половина шара
Однородное твердое тело Объем Координаты центра тяжести
C
Шаровой сегмент
C
z
89
Пример 4.11. Найти положение центра тяжести симме-
z
z
C
тричного однородного объемного твердого тела, показанного на
рис. 4.12, а, если известны радиус R, высота цилиндрической
части h и высота конической части 2h.
R
y
0
x
2h h
a
R
C
1
0
C
2
1
z
y
C
z
2
z
x
2h h
б
Рис. 4.12. Симметричное однородное твердое тело:
а – исходная схема; б – разбиение рассматриваемого тела
на два однородных тела
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]