Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика решение задач статики твердого тела. Учебное пособие
.pdf
Решение
= + -⋅ - =
= + ⋅-⋅ ⋅- - ⋅ =
∑
∑
12
12
0 : 2 0,
0: 2 2 0.
iy A
i
iA A
i
F R P q aP
M m P a q aa M P a
=- +⋅ + =-+⋅⋅+ =-+ + =
2 2 222 4 2 8 4 10 .
1. Согласно принципу освобождаемости от связей, мысленно
отбросим жесткую заделку в точке А, заменив ее реакцией R
моментом в жесткой заделке m
тривается плоская система параллельных сил, то R
правлена перпендикулярно оси балки, при этом R
2. Конкретное направление R
(рис. 1.3, б). Поскольку рассма-
A
= RAy и на-
A
= 0.
Az
заранее не известно, но извест-
A
и
A
на линия ее действия. Поэтому выбираем конкретное направление R
направление m
на известной линии действия произвольно. Поскольку
A
заранее не известно, то задаем его произвольно,
A
например, против хода часовой стрелки. Если в ходе дальнейших расчетов какая-либо из неизвестных величин получится отрицательной, то ее фактическое направление противоположно
первоначально выбранному.
3. Равномерно распределенную нагрузку заменяем одной сосредоточенной силой, приложенной посередине участка, на котором действует указанная нагрузка. Модуль этой силы равен
произведению интенсивности равномерно распределенной нагрузки на длину соответствующего участка (см. рис. 1.3, б).
4. Необходимыми и достаточными условиями равновесия системы сил являются равенства нулю главного вектора и главного
момента этой системы сил относительно произвольно выбранной
точки. Примем за такую точку точку А и запишем необходимые
и достаточные условия равновесия в проекциях на оси координат. Для плоской системы параллельных сил составляем два
уравнения равновесия, что соответствует количеству неизвестных (R
, mA). Следовательно, задача является статически опре-
A
деленной.
5. Система уравнений равновесия (см. рис. 1.3, б):
Из первого уравнения системы получаем
R P qaP
12
A
кН
11
Из второго уравнения системы получаем
=- ⋅+⋅ ⋅+ + ⋅ =
12
22
A
=-⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅=-+ ++ = - = ⋅
22 2222 1 422 4 16 1 16 33 4 29 .
= - ++- ++⋅ ++⋅- =
∑ 12
= - ⋅++-⋅++⋅⋅⋅++⋅-=
= = ⋅
кН кН м
10 ; 29 .
AA
Rm
M
б
R
R
m P a q aa M P a
кН м
Проверка. Уравнение равновесия относительно точки B (см.
рис. 1.3, б):
M m R aab Pab q aab PbM
iB A A
i
( )()2()
29 10 (2 2 1) 2 (2 1) 2 2 2 (2 1) 4 1 1
= - -+ +-= - =
29 50 6 24 4 1 57 57 0.
Ответ:
Пример 1.4. Для консольной балки (рис. 1.4, а) определить
реакцию и момент в жесткой заделке. Вес балки не учитывать.
Исходные данные: P
= 2 кН, P2 = 4 кН, M = 1 кН·м,
1
q = 2 кН/м, а = 2 м, b = 1 м.
q
P
2
a
a
A
P
1
b
a
q·a
3
2
a
a
2
=
A
Ay
A
z
P
1
m
A
b
y
M
P
2
B
Рис. 1.4. Расчетная схема консольной балки: a – исходная;
б – эквивалентная
Решение
1. Согласно принципу освобождаемости от связей, мысленно
отбросим жесткую заделку в точке А, заменив ее реакцией R
12
A
и
моментом в жесткой заделке mA (рис. 1.4, б). Поскольку рассма-
∑
12
aa
= - +⋅=-+⋅=-=
4222 826 .
=- ⋅+⋅ + + + + + =
12
aa
тривается плоская система параллельных сил, то R
правлена перпендикулярно оси балки, при этом R
2. Конкретное направление R
заранее не известно, но извест-
A
= RAy и на-
A
= 0.
Az
на линия ее действия. Поэтому выбираем конкретное направление R
направление m
на известной линии действия произвольно. Поскольку
A
заранее не известно, то задаем его произвольно,
A
например, по ходу часовой стрелки. Если в ходе дальнейших
расчетов какая-либо из неизвестных величин получится отрицательной, то ее фактическое направление противоположно первоначально выбранному.
3. Равномерно распределенную нагрузку заменяем одной сосредоточенной силой, приложенной посередине участка, на котором действует указанная нагрузка. Модуль этой силы равен
произведению интенсивности равномерно распределенной нагрузки на длину соответствующего участка (см. рис. 1.4, б).
4. Необходимыми и достаточными условиями равновесия системы сил являются равенства нулю главного вектора и главного
момента этой системы сил относительно произвольно выбранной
точки. Примем за такую точку точку А и запишем необходимые и
достаточные условия равновесия в проекциях на оси координат.
Для плоской системы параллельных сил составляем два уравнения равновесия, что соответствует количеству неизвестных (R
). Следовательно, задача является статически определенной.
m
A
A
5. Система уравнений равновесия (см. рис. 1.4, б):
,
= - + -⋅+ =
0 : 0,
F P P qa R
iy A
i
= - - ⋅+⋅ + + + + + =
M m P b qa b M P a b
∑
iA A
i
21
0: 0.
Из первого уравнения системы получаем
R P P qa
A
21
Из второго уравнения системы получаем
m P b qa b M P a b
A
3
2 22
кН
3
2 22
13
=-⋅+⋅⋅ + ++⋅ ⋅+ + =-+⋅⋅++⋅=
2 32
=-+ ++ = - = ⋅
=-⋅⋅+ ++ ++-=
∑
1
33 3
2 22 22
iB A A
i
aa
M M qa a P a R b a m
=-⋅⋅⋅+⋅ +⋅ +⋅ ++⋅ - =
=-⋅⋅+⋅+⋅-=-++-=-=1 2 2 3 2 4 6 5 27 1 12 8 30 27 39 39 0.
= = ⋅
M
21 22 1 1 4 2 1 2 222 1 45
2 22
кН м2 8 1 20 29 2 27 .
Проверка. Уравнение равновесия относительно точки B (см.
рис. 1.4, б):
1 2 2 2 2 2 6 1 2 27
3 23 23
2 22 22
Ответ:
Rm
кН кН м6 ; 27 .
AA
Пример 1.5. Для консольной балки (рис. 1.5) определить ре-
акцию и момент в жесткой заделке. Вес балки не учитывать.
Исходные данные: P
= 3 кН, P2 = 5 кН, M = 2 кН·м,
1
q = 1 кН/м, а = 2 м, b = 1 м.
q
P
1
a
Рис. 1.5. Исходная расчетная схема консольной балки
a
P
b
A
2
Пример 1.6. Для консольной балки (рис. 1.6) определить ре-
акцию и момент в жесткой заделке. Вес балки не учитывать.
Исходные данные: P
= 5 кН, P2 = 6 кН, M = 3 кН·м,
1
q = 2 кН/м, а = 2 м, b = 1 м.
q
P
A
P
a M b
1
a
2
Рис. 1.6. Исходная расчетная схема консольной балки
14
Пример 1.7. Определить реакции опор двухопорной балки,
B
M
2M
B
q
M
показанной на рис. 1.7. Вес балки не учитывать.
Исходные данные: P = 6 кН, M = 5 кН·м, q = 2 кН/м, a = 2 м,
b = 7 м.
A
P
a b
Рис. 1.7. Исходная расчетная схема двухопорной балки
q
Пример 1.8. Определить реакции опор двухопорной балки,
показанной на рис. 1.8. Вес балки не учитывать.
Исходные данные: P = 5 кН, M = 7 кН·м, q = 4 кН/м, a = 3,5 м,
b = 5 м.
a
A
b
P
Рис. 1.8. Исходная расчетная схема двухопорной балки
1.2. Расчет реакций стержней в случае
плоской системы сходящихся сил
Пример 1.9. К валику шарнира C кронштейна AСB с помо-
щью невесомого и нерастяжимого троса подвешен груз весом G
(рис. 1.9, а). Найти реакции абсолютно жестких, невесомых
стержней: горизонтального AC и наклонного BC. Крепления в
точках A, B, С – шарнирные.
Исходные данные: G = 150 Н, BC = 4 м, AC = 2 м.
15
С
A
a
б
y
в
C
22
A
R
1
y
T
R
2
x
T
x
G
B
Рис. 1.9. Расчетные схемы для определения реакций стерж-
ней и реакции троса: а – исходная; б – для определения реак-
ции троса; в – для определения реакций стержней
G
B
Решение
1. Груз находится в равновесии под действием силы тяже-
сти G и реакции троса T, которые направлены вдоль одной линии действия в противоположные стороны. Учитывая условие
равновесия груза (рис. 1.9, б), находим: T = G = 150 Н.
2. Применим метод вырезания узлов, составив уравнения
равновесия сил, действующих на шарнир C (рис. 1.9, в). Мысленно отбрасываем стержни АC, ВС, заменяя их действие реакциями стержней R
, R2. Направляем реакции вдоль отброшен-
1
ных стержней, от узла (от шарнира C), условно предположив,
что оба стержня растянуты. Если в ходе дальнейших расчетов
какая-либо реакция получится отрицательной, то соответствующий стержень в действительности не растянут, а сжат.
3. Для плоской системы сходящихся сил записываем два
уравнения равновесия (см. рис. 1.9, в):
= -- =
0 : 0,
F RR
∑
ix
i
= -- =
0: 0.
F TR
∑
iy
i
AC
12
BC
BC AC
2
-
BC
16
Из второго уравнения системы получаем
⋅⋅
=- =- =-=-
--
2
2 2 22
150 4 600
173,21 H.
23
42
T BC
R
BC AC
4
BC
= = -
C
a
б
C
Из первого уравнения получаем
=- ⋅ =-- ⋅ =
RR
12
AC
( 173,21) 86,61 H.
2
Поcкольку реакция R2 получилась отрицательной, то стержень BС в действительности не растянут, а сжат. При решении
задач на расчет систем сходящихся сил обычно первоначально
выбранные направления реакций на схеме не меняют, записывая соответствующую реакцию в ответе со знаком «минус».
Ответ:
86,61H; 173,21 H.RR
12
Пример 1.10. Абсолютно жесткие, невесомые стержни DB и
DС скреплены шарниром D и подсоединены к потолку шарни-
рами В и С. Углы между стержнями и поверхностью потолка составляют α, β (рис. 1.10, а). Груз весом G на невесомом, нерастяжимом тросе подвешен к валику шарнира D. Найти реакции
стержней DB и DC.
Исходные данные: α = 60°, β = 45°, G = 200 Н.
B
D
y
T
x
B
y
R
2
R
1
x
D
T
G
Рис. 1.10. Расчетные схемы для определения реакций стержней и реакции троса: а – исходная; б – для определения реак-
ции троса; в – для определения реакций стержней
G
в
17
Решение
= - β+ α=
= β- α- =
∑
∑
12
12
0 : cos cos 0,
0: sin sin 0;
ix
i
iy
i
F RR
FRR T
⋅+⋅- =
+-=
⋅
= = ≈
2
1
146,41
103,53 H.
22
R
R
≈≈
12
RR
1. Груз находится в равновесии под действием силы тяжести
G и реакции троса T, которые направлены вдоль одной линии
действия в противоположные стороны. Учитывая условие равновесия груза (рис. 1.10, б), находим: T = G = 200 Н.
2. Применим метод вырезания узлов, составив уравнения
равновесия сил, действующих на шарнир D (рис. 1.10, в). Мысленно отбрасываем стержни DC, DВ, заменяя их действие реакциями стержней R
, R2. Направляем реакции вдоль отброшен-
1
ных стержней, от узла (от шарнира D), условно предположив,
что оба стержня растянуты. Если в ходе дальнейших расчетов
какая-либо реакция получится отрицательной, то соответствующий стержень в действительности не растянут, а сжат.
3. Для плоской системы сходящихся сил записываем два
уравнения равновесия (см. рис. 1.10, в):
Складывая первое уравнение системы со вторым, получаем
Из первого уравнения системы получаем
Ответ:
18
103,53 H; 146,41 H.
- ⋅ + ⋅=
RR
21
RR
12
22
23
12
22
R
2
(1 3 ) 200 0;
2
2 200
= ≈
R
2
13
+
146,41 H.
0,
200 0.
Пример 1.11. К валику шарнира C кронштейна ACB с помо-
С
A
G
C
G
щью невесомого и нерастяжимого троса подвешен груз весом G
(рис. 1.11). Найти реакции абсолютно жестких, невесомых стержней: горизонтального ВC и наклонного АC. Крепления в точках A,
B, С – шарнирные. Трение троса о блок не учитывается.
Исходные данные: G = 250 Н, BC = 1 м, AC = 2 м.
°
45
B
Рис. 1.11. Исходная расчетная схема для определения
реакций стержней и троса
Пример 1.12. Абсолютно жесткие, невесомые стержни DB и
DС скреплены шарниром D и подсоединены к потолку шарни-
рами В и С. Углы между стержнями и поверхностью потолка
составляют α, β (рис. 1.12). Груз весом G на невесомом, нерастяжимом тросе подвешен к валику шарнира D. Найти реакции
стержней DB, DC и троса. Трение троса о блок не учитывается.
Исходные данные: α = 60°, β = 45°, G = 350 Н.
B
Рис. 1.12. Исходная расчетная схема для определения
реакций стержней и троса
°
45
D
19
1.3. Определение реакций опор твердого
тела под действием произвольной плоской
системы сил
При решении задач, в которых рассматривается равновесие
твердого тела под действием произвольной плоской системы сил,
следует придерживаться следующей последовательности действий.
1. Изобразить все активные силы и моменты, действующие на
рассматриваемое твердое тело.
2. Применив принцип освобождаемости от связей, мысленно
отбросить связи, заменив их действие соответствующими реакциями и моментами.
3. Рассмотреть равновесие данного несвободного твердого тела
как свободного, находящегося под одновременным действием активных сил и моментов, а также реакций и моментов связей:
– убедиться в том, что данная задача является статически
определенной, т.е. в том, что число алгебраических неизвестных
равно трем (поскольку для произвольной плоской системы сил
можно составить лишь три уравнения равновесия);
– выбрать систему декартовых осей координат;
– составить систему уравнений равновесия.
В тех случаях, когда при вычислении момента силы возникают затруднения при определении плеча силы, рекомендуется
разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие, а затем воспользоваться теоремой Вариньона (о моменте
равнодействующей).
Точку, относительно которой составляется уравнение моментов, целесообразно выбрать в точке пересечения линий действия
двух неизвестных сил. Это дает возможность определить третью
неизвестную величину непосредственно из составленного уравнения.
4. Найти неизвестные величины, решив систему уравнений.
5. Выполнить проверку расчетов, составив соответствующее
уравнение равновесия. Уравнение моментов при проверке целесообразно составлять таким образом, чтобы в него вошли все три
неизвестные величины. В противном случае, придется добавить
еще одно уравнение проверки.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]