Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика решение задач статики твердого тела. Учебное пособие
.pdf
Решение
2
1
V Rh
=-=-
42
hh
2;
3
V Rh
Rh
22
Rh
22
Rh
22
1. Мысленно разбиваем рассматриваемое однородное твердое
тело на 2 части, представляющие собой цилиндр и конус, для которых легко определяются объемы и координаты центров тяжести (рис. 4.12, б).
2. Выбираем начало координат в точке O – в центре нижнего
основания цилиндра, а ось z направим вдоль его вертикальной
оси симметрии. Поскольку ось z направлена вдоль оси симметрии рассматриваемого твердого тела, то искомый центр тяжести лежит на этой оси. Направим оси x, y по двум любым взаимно перпендикулярным радиусам круга, лежащего в основании
цилиндра. Тогда x
= yC = 0 и требуется определить zC.
C
3. Находим объемы и аппликаты центров тяжести составных
частей твердого тела (см. рис. 4.12, б). При этом учитываем, что
расстояние от центра тяжести конуса до его основания равно одной четверти высоты конуса:
– аппликата центра тяжести (точка C
h
z
=1;
= π
) и объем цилиндра:
1
2
.
– аппликата центра тяжести (точка C2) и объем конуса:
2
z
2
1
;
= π
2
2
4. Результаты размещаем в табл. 4.9.
Таблица 4.9
Расчеты аппликаты центра тяжести симметричного
однородного твердого тела
Номер
составной
части твер-
дого тела
Аппликата центра
тяжести i-й состав-
ной части твердого
тела z
1
2
∑ –
-
Объем i-й со-
ставной части
твердого тела
, см
i
h
2
h
2
Vi, см
2
π
2
π
3
5
π
3
2
2
Произведение объема i-й
составной части твердо-
3
го тела на аппликату ее
центра тяжести Vizi, cм
1
π
2
1
-π
3
1
π
6
4
Rh
Rh
Rh
91
5. Находим аппликату центра тяжести рассматриваемого од-
3
zh
10
zh
10
б
z
y
x
нородного твердого тела:
2
Vz
∑
ii
=
1
i
= = = =
C
V VV
+
Vz Vz
11 2 2
+
12
1
6
5
π
Rh
π
Rh
22
2
1
10
.
Ответ: xC = yC = 0, =
1
C
.
Пример 4.12. Определить координаты центра тяжести несим-
метричного однородного объемного твердого тела (рис. 4.13, а).
Линейные размеры приводятся в сантиметрах.
5
40
20
40
20
35
35
10
35
а
10
10
35
20
5
20
Рис. 4.13. Несимметричное однородное объемное твердое
тело: а – исходная схема; б – разбиение рассматриваемого
тела на три однородных тела
Решение
1. Мысленно разбиваем рассматриваемое тело на 3 ча-
сти, представляющие собой однородные тела, для которых
92
легко определяются объемы и координаты центров тяжести
z
20
C
x
C
z
в
z
y
x
C
(рис. 4.13, б).
2. Находим объемы и координаты центров тяжести соответствующих твердых тел (рис. 4.14).
40
1
y
x
35
а
10
2
25
б
35
10
10 / 3
35 / 3
35
5
20
3
15
y
40
Рис. 4.14. Определение координат центров тяжести одно-
родных твердых тел, на которые разбито исходное тело: а,
б – прямоугольный параллелепипед; в – прямая призма, осно-
вания которой – прямоугольные треугольники
Для прямоугольного параллелепипеда (тела № 1, рис. 4.14, а):
координаты центра тяжести (центр тяжести – точка пересе-
93
чения диагоналей): x1 = 40 · 0,5 = 20 см, y1 = 35 · 0,5 = 17,5 см,
=
++
= = = =
++
∑
3
1 11 2 2 33
123
см
675000
20, 8 ;
32500
ii
i
C
Vx
Vx Vx Vx
x
V VVV
=
++
= = = =
++
∑
3
1 11 2 2 3 3
123
см
259350
8,0 .
32500
ii
i
C
Vz
Vz Vz Vz
z
V VVV
= 20 · 0,5 = 10 см; объем: V1 = 35 · 40 · 20 = 28 000 см3.
z
1
Для прямоугольного параллелепипеда (тела № 2, рис. 4.14, б):
координаты центра тяжести: x
+ 25 · 0,5 = 22,5 см, z
3
= – 2500 см
.
= 15 + 5 · 0,5 = 17,5 см; объем: V2 = – 25 · 20 · 5 =
2
= 20 · 0,5 = 10 см, y2 = 10 +
2
Поскольку тело № 2 вырезается из рассматриваемого твердого тела, то в соответствии с методом отрицательных объемов, его
объем принимается отрицательным.
Центр тяжести однородной призмы, основания которой – прямоугольные треугольники (тело № 3, рис. 4.14, в), определяем
следующим образом:
– вначале находим центры тяжести прямоугольных треугольников, являющихся основаниями призмы (центр тяжести прямоугольного треугольника находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных к катетам из точек, расположенных
на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины
прямого угла);
– затем соединяем центры тяжести оснований призмы отрезком и находим его середину.
Координаты центра тяжести призмы: x
= 35 + 35 / 3 = 46,7 см, z3 = 10 / 3 = 3,3 см; объем V3 = 0,5 · 35 ·
y
3
· 10 · 40 = 7000 см
3
.
= 40 · 0,5 = 20 см,
3
3. Полученные результаты заносим в табл. 4.10.
4. Координаты центра тяжести рассматриваемого несимме-
тричного однородного твердого тела:
3
Vy
∑
ii
=
1 11 22 33
i
y
= = = =
C
V VVV
94
Vy Vy Vy
++
++
123
760650
32500
см
23,4 ;
Таблица 4.10
=
20, 8 ;
= см23,4 ;
C
y
=
8,0 .
объема i-й со-
Произведение
объема i-й со-
Произведение
объема i-й со-
Произведение
4
, cм
i
z
i
сти, V
центра тяже-
твердого тела
ставной части
на аппликату ее
4
, cм
i
y
i
сти, V
центра тяже-
твердого тела
ставной части
на ординату ее
4
, cм
i
x
i
сти, V
центра тяже-
твердого тела
ставной части
на абсциссу ее
3
, см
i
см
Объем i-й
тела, V
сти твердого
составной ча-
, см
i
C
z
, см z
i
см
Расчеты координат центра тяжести несимметричного однородного твердого тела
Координаты центра тяжести
i-й составной части твердого тела
Номер
, см y
i
x
1 20 17,5 10 28000 560000 490000 280000
2 10 22,5 17,5 – 2500 – 25000 – 56250 – 43750
3 20 46,7 3,3 7000 140000 326900 23100
состав-
тела
твердого
ной части
∑ – – – 32500 675000 760650 259350
C
x
Ответ:
95
4.5. Расчет координат центра тяжести
γ⋅γ⋅
VV
γ⋅ γ⋅
VV
γ⋅ γ⋅
= =
γ
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
(,,) d (,,) d
.
( , , )d
VV
C
V
xyzz V xyzz V
z
P
xyz V
неоднородного объемного твердого тела
Твердые тела могут быть неоднородными. Удельный вес частиц неоднородного твердого тела не является постоянным. Примеры подобных тел – это детали из слоистых пластиков, композитных материалов. Некоторые конструкции подшипников
содержат одновременно металл и керамику. Современные технологии позволяют изготавливать блоки, однородные по химическому составу, но переменной структуры – более плотные вблизи поверхности и пористые, вспененные внутри. Таким образом,
может возникнуть задача определения центра тяжести неоднородного твердого тела.
Пусть P – вес неоднородного твердого тела, V – его объем,
γ – удельный вес тела в данной точке, меняющийся от точки к
точке, т.е. γ = γ(x, y, z) ≠ const, где (x, y, z) – текущие координаты точки. Координаты центра тяжести неоднородного твердого
тела:
(,,) d (,,) d
xyzx V xyzx V
∫∫∫ ∫∫∫
= =
x
C
P
∫∫∫
V
γ
( , , )d
xyz V
;
∫∫∫ ∫∫∫
y
= =
C
Пример 4.13. Определить центр тяжести полушара радиусом R (рис. 4.15), изготовленного из неоднородного материала,
удельный вес которого изменяется по оси z согласно формуле:
2
γ = a + bz
96
(a, b – постоянные коэффициенты).
(,,) d (,,) d
xyzy V xyzy V
P
∫∫∫
V
γ
( , , )d
xyz V
;
z
y
x
z
dz
r
== -=-
2 2 22
11
V
∫∫
00
RR
O
1
R
A
O
Рис. 4.15. Определение центра тяжести неоднородного
полушара
Решение
1. Удельный вес рассматриваемого тела изменяется только
вдоль оси z, следовательно, центр тяжести размещается на этой
оси. Тогда в указанной на рис. 4.15 системе координат: x
= 0.
y
С
= 0,
С
2. В качестве элемента объема полушара dV выберем тонкий
диск, имеющий толщину dz и радиус r, нижнее основание которого расположено на произвольном расстоянии
скости
ка OO
xOy . Радиус r определим из прямоугольного треугольни-
A:
1
=1z OO от пло-
.r O A OA OO R z
Тогда dV = πr2 · dz = π(R2 – z2)dz. Так как по условию
2
γ = a + bz
, то аппликата центра тяжести:
γ⋅
() d
zz V
∫∫∫
V
= =
z
C
2 22 3 22
+ ⋅π - + -
( ) ( )d ( )( )d
a bz z R z z az bz R z z
= = =
RR
∫∫
00
2 2 2 2 22 2 4
+ π- + --
( ) ( )d ( )d
a bz R z z aR bR z az bz z
∫∫∫
γ
( )d
zV
97
+ --
+ --
= = =
+ --
+ --
∫
∫
2 4 46
2 23 3 5
22
0
3 35
22
2 22 2 4
0
( )d
2 4 46
( )d
335
R
R
R RRR
aR z bR z az bz z
aR bR a b
RRR
aR bR z az bz z
22 2
335
RR RR
=
=
y
x
= =3; 3.
CC
xazc
ab ab
24 46
= = =
ab a b
33
+ --
11
aR bR
+
3
4 12
R R a bR
+ --
1 4(1 0 2 )
22
a bR
+
3 15
2
5(3 )
aR bR
+
+
3
.
3
.
2
+
Ответ:
0;
x
C
0;
y +=
C
z
C
5(3 )
aR bR
4(1 0 2 )
a bR
Пример 4.14. Определить положение центра тяжести прямой
призмы, основания которой – прямоугольные треугольники, а
ребра соответственно равны a, b, c (рис. 4.16). Призма изготовлена из пористого материала, плотность которого изменяется
вдоль оси y согласно формуле ρ = ρ
z
b
Рис. 4.16. Определение центра тяжести неоднородной прямой
призмы
(b – y).
0
dy y
c
a
Решение
1. Поскольку материал, из которого выполнена призма, является неоднородным только по длине, т.е. по координате y, то абсциссу и аппликату центра тяжести находим, определив центры
тяжести прямоугольных треугольников, являющихся основаниями призмы (см. табл. 4.8):
98
2. Далее выделим элемент объема призмы dV длиной dy, со
∫∫
∫∫
00
00
bb
bb
3
3
3
сторонами a, с прямоугольных треугольников, являющихся основаниями призмы (см. рис. 4.16). Тогда dV = 0,5aс·dy. Так как
по условию ρ = ρ
(b – y), то γ = ρg = ρ0(b – y)g. Следовательно, ор-
0
дината центра тяжести:
γ⋅
() d
yy V
∫∫∫
V
= =
y
C
ρ- ⋅ ⋅ ρ - ⋅
( ) 0,5 d 0,5 ( ) d
b y gy ac y gac b y y y
00
= = = = =
ρ- ⋅ ⋅ ρ -
( ) 0,5 d 0, 5 ( )d
b y g ac y gac b y y
00
∫∫∫
V
γ
( )d
yV
33 3
bb b
-
23 6
22
bb
2
-
b
22
b
.
3
Ответ: = ;
a
x
C
b
= ;
y = .
C
z
C
c
99
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Аркуша, А. И. Руководство к решению задач по теоретической механике [Текст] : учеб. пособие / А. И. Аркуша. – 8-е изд.,
испр. – М. : Высш. шк., 2009. – 335 с.
Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах [Текст] : учеб. пособие / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе,
А. С. Кельзон. – 12-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2013. – Т. 1. Статика и кинематика. – 672 с.
Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики [Текст] : учебник / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – 11-е изд.,
стер. – СПб. : Лань, 2009. – 736 с.
Васько, Н. Г. Теоретическая механика [Текст] : учебник
/ Н. Г. Васько, В. А. Волосухин, А. Н. Кабельников, О. А. Бурцева. – Ростов н/Д : Феникс, 2012. – 302 с.
Лойцянский, Л. Г. Курс теоретической механики [Текст] :
учебник / Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье. – 9-е изд., испр. и
доп. – М. : Дрофа, 2006. – Т. 1. Статика и кинематика. – 352 с.
Мещерский, И. В. Задачи по теоретической механике [Текст] :
учеб. пособие / И. В. Мещерский. – 51-е изд., стер. – СПб. : Лань,
2012. – 448 с.
Никитин, Н. Н. Курс теоретической механики [Текст] : учебник / Н. Н. Никитин. – 8-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2011. –
719 с.
Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике [Текст] : учеб. пособие / А. А. Яблонский, С. С. Норейко,
С. А. Вольфсон [и др.] ; под ред. А. А. Яблонского. – 18-е изд.,
стер. – М. : КноРус, 2011. – 392 c.
Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики [Текст] :
учебник / С. М. Тарг. – 20-е изд., стер. – М. : Высш. шк., 2010. –
416 с.
Шинкин, В. Н. Теоретическая механика : Статика металлоконструкций [Текст] : учеб. пособие / В. Н. Шинкин, Ю. А. Поляков. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2009. – 138 с.
Яблонский, А. А. Курс теоретической механики [Текст] : учебник / А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. – 16-е изд., стер. –
М. : КноРус, 2011. – 603 c.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]