Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика решение задач статики твердого тела. Учебное пособие
.pdf
3. Равномерно распределенную нагрузку заменяем одной со-
=- α+ ⋅ α=- °+ ⋅ ⋅ ° °=
Ax
= ≈=≈
средоточенной силой, приложенной посередине участка, на котором действует указанная нагрузка. Модуль этой силы равен
произведению интенсивности равномерно распределенной нагрузки на длину соответствующего участка (см. рис. 1.16, б).
4. Необходимыми и достаточными условиями равновесия системы сил являются равенства нулю главного вектора и главного
момента этой системы сил относительно произвольно выбранной
точки. Примем за такую точку точку А и запишем необходимые
и достаточные условия равновесия в проекциях на оси координат. Для произвольной плоской системы сил составляем три
уравнения равновесия, что соответствует количеству неизвестных (R
, RAy, RB). Следовательно, задача является статически
Ax
определенной.
5. Система уравнений равновесия (см. рис. 1.16, б):
∑
i
∑
i
∑
i
0: sin sin 0,
F P q BK R
= - α+ ⋅ α- =
ix Ax
= - α+ - ⋅ α+ =
0 : cos cos 0,
F P R q BK R
iy B Ay
= ⋅ + - ⋅ +⋅ ⋅ =
0: 0.
M P AD M R AB q BK
iA B
BK
2
Из первого уравнения системы получаем
R P q BK
sin sin 10 sin 45 2 4 cos45 sin45
=- °+⋅ °=- ⋅ +⋅≈- +=- кН10sin 45 4 sin90 10 0,5 2 4 1 7,07 4 3,07 .
Из третьего уравнения системы получаем
P AD M q BK
⋅ + +⋅ ⋅
R
= = =
B
40 2 6 8 56,57 14 70,57
AB
++ +
BK
10222 6 2(22) 0,5
2
⋅⋅ + +⋅ ⋅
4 44
4
кН
17, 64 .
2
31
Из второго уравнения системы получаем
= α- + ⋅ α=cos cos
Ay B
R P R q BK
= °-+⋅⋅°°=⋅-+⋅ =
=⋅++⋅⋅ +⋅-⋅-⋅=
∑
2 2 22
iK Ay Ax B
i
BK AB BD AB
M P DK M q BK R R R
= ⋅ ++⋅ ⋅+- ⋅-- ⋅- ⋅=
1 4 44
2 2 22
= ++- + - ≈ ++- +
= += + ≈
22 2 2
кН
3,07 6,57 7,25 .
A Ax Ay
R RR
≈≈
AB
10cos45 17,64 2 4 cos45 cos45 10 0,5 2 17,64 8 (0,5 2)
2
=-+⋅⋅≈-+=-кН5 2 17,64 8 0,25 2 7,07 17,64 4 6,57 .
Проверка. Уравнение равновесия записываем относительно
точки K (см. рис. 1.16, б). Тогда в него войдут все три неизвестные величины:
10 2 2 6 2 (2 2) ( 6,57) ( 3,07) 17,64
2
20 2 6 8 13,14 6,14 35,28 28,28 6 8 13,14
+- = - =
6,14 35,28 48,42 48,42 0.
Поскольку составляющие реакции RA получились отрицательными, после проверки меняем их первоначально выбранные
направления на противоположные (см. рис. 1.16, б).
По найденным составляющим определяем реакцию шарнирно-неподвижной опоры R
:
A
Ответ:
RR
кН кН7,25 ; 17, 64 .
Пример 1.17. Для абсолютно жесткой рамы, показанной на
рис. 1.17, определить реакции опор в точках A, B. Вес рамы не
учитывается.
Исходные данные: P = 7 кН, M = 5 кН·м, q = 1 кН/м, а = 4 м,
o
b = 6 м, α = 30
32
, β = 60o.
P
M
b
q
а
B
A
a
Рис. 1.17. Исходная расчетная схема абсолютно жесткой
рамы
Пример 1.18. Для заданной расчетной схемы конструкции
определить реакцию и момент в жесткой заделке (рис. 1.18). Вес
конструкции не учитывать.
Исходные данные: P = 20 кН, M = 5 кН·м, q = 3 кН/м, а = 2 м,
o
b = 5 м, α = 30
Рис. 1.18. Исходная расчетная схема конструкции с жесткой
.
P
P
M
C
заделкой
A
q
b
a
2a
33
2. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ
Составная конструкция представляет собой систему твердых
тел, касающихся друг друга своими поверхностями или соединенных друг с другом какими-либо связями (шарнирами, стержнями, гибкими нитями).
Различают внешние и внутренние силы, оказывающие воздействие на такую систему.
Внутренние силы представляют собой силы, с которыми
тела, входящие в состав системы, взаимодействуют между собой. Внешние силы – силы, с которыми тела, не входящие в данную систему, действуют на тела рассматриваемой системы.
Внутренними являются связи, с помощью которых соединены тела, входящие в состав рассматриваемой составной конструкции. Внешними являются cвязи, с помощью которых рассматриваемая конструкция скреплена с телами, не входящими
в ее состав.
При определении реакций опор составной конструкции придерживаются следующей последовательности действий.
1. К конструкции прикладывают все активные силы и момен-
ты.
2. Согласно принципу освобождаемости от связей, мысленно
отбрасывают внешние связи, заменяя их соответствующими реакциями и моментами.
3. Установив, что число неизвестных реакций внешних связей превышает число уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой системы сил, составную конструкцию разделяют на отдельные твердые тела (или группы тел),
заменяя внутренние связи соответствующими реакциями и моментами.
На основании аксиомы о равенстве действия и противодействия для твердых тел, полученных после разделения конструкции, реакции и моменты внутренних связей попарно равны по
модулю и противоположны по направлению.
4. Каждое из твердых тел, входящих в состав конструкции,
рассматривают как свободное, находящееся под действием активных сил и моментов, а также соответствующих реакций и моментов внешних и внутренних связей.
34
5. Сопоставив общее число неизвестных величин с числом
всех уравнений равновесия, которые могут быть составлены после разделения конструкции, устанавливают, является ли задача статически определенной.
Если на конструкцию, состоящую из N твердых тел, действует произвольная плоская система сил, то можно составить 3N
уравнений равновесия. Поэтому если число неизвестных 3N, то
задача является статически определенной.
6. Для каждого твердого тела составляют уравнения равнове-
сия.
В тех случаях, когда при вычислении момента силы возникают
затруднения при определении плеча силы, следует разложить силу
на две взаимно перпендикулярные составляющие, а затем воспользоваться теоремой Вариньона (о моменте равнодействующей).
7. Решив полученную систему уравнений, определяют неиз-
вестные величины.
8. Составив уравнение равновесия для всей составной кон-
струкции, выполняют проверку расчетов.
2.1. Равновесие системы двух твердых тел под
действием произвольной плоской системы сил
Пример 2.1. Определить реакции опор и момент жесткой заделки составной конструкции (системы двух абсолютно твердых тел, соединенных шарниром в точке С), показанной на
рис. 2.1, а. Вес конструкции не учитывать.
Исходные данные: P = 5 кН, M = 4 кН·м, q = 2 кН/м, а = 1 м,
α = 60
тел, соединенных шарниром С, который является внутренней
связью. Внешние связи – жесткая заделка в точке A и цилиндрическая шарнирно-подвижная опора в точке B, присоединяющие
рассматриваемую конструкцию к другим телам.
отбрасываем внешние связи, заменяя жесткую заделку двумя
взаимно перпендикулярными составляющими реакции жесткой
заделки R
подвижную опору – реакцией R
o
.
Решение
1. Конструкция представляет собой систему двух твердых
2. Согласно принципу освобождаемости от связей, мысленно
, RAy и моментом в жесткой заделке mA, а шарнирно-
Ax
(рис. 2.1, б).
B
35
q
C
P
3a
б
3a
2a
3a
2P
2a
A
B
2a
M
P
a
y
q
C
R
2P
2a
B
B
M
2a
2a
R
Ay
A
R
Ax
x
R
Ay
R
Ax
m
A
3a
Рис. 2.1. Расчетная схема системы двух тел, соединенных
шарниром в точке С: а – исходная; б – эквивалентная
3. Для произвольной плоской системы сил, приложенных к
конструкции, можно составить только три уравнения равновесия.
Число же неизвестных величин равно четырем: R
, RAy, mA, RB.
Ax
Поэтому разделяем составную конструкцию на два твердых тела,
заменив внутреннюю связь (шарнир C) реакцией R
ния действия R
возьмем две ее составляющие R
заранее неизвестна, поэтому вместо реакции RС
C
, RСy, направления которых на
Сx
(рис. 2.2). Ли-
C
известных линиях действия выбираем произвольно.
На основании аксиомы о равенстве действия и противодействия
для твердых тел, полученных после разделения конструкции, составляющие реакции внутренней связи (R
, RCy) попарно равны
Cx
по модулю и противоположны по направлению (см. рис. 2.2).
Если в ходе дальнейших расчетов какая-либо неизвестная величина получится отрицательной, то ее фактическое направление противоположно первоначально выбранному.
36
R
а
1,5a
б
∑
0: 2 (cos)2 (sin)4 0.
=- α=-⋅ °=-⋅ =-
y
3a
R
R
Ax
A
m
A
1,5a
R
Cy
aq 3
Ay
R
Ax
R
Ay
R
Cx
C
Cx
x
3a
Рис. 2.2. Расчетная схема каждого из тел: а – тела АС;
б – тела ВС
y
R
R
Cx
Cx
C
R
Cy
2P
R
B
2a
B
M
x
P
2a
2a
4. Для каждого из твердых тел составляем по три уравнения
равновесия: для тела AC (см. рис. 2.2, а) – первое, второе и третье, а для тела BС (см. рис. 2.2, б) – четвертое, пятое и шестое
уравнение системы. Получаем систему, состоящую из шести
уравнений с шестью неизвестными:
= -=
0 : 0,
F RR
ix Ax Cx
i
= -⋅ + =
0 : 3 0,
F R q aR
∑
iy Ay Cy
i
= -⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
0 : 3 1, 5 3 3 0,
M m q a aR aR a
∑
iA A Cy Cx
i
= + α=
0 : co s 0,
F RP
∑
ix Cx
i
= - + + - α=
0 : 2 s in 0,
F R PR P
∑
iy Cy B
i
= ⋅ + + α⋅ - α⋅ =
M R aM P a P a
∑
iC B
i
Из четвертого уравнения системы получаем
RP
Cx
кНcos 5 cos60 5 0,5 2,5 .
37
Из первого уравнения системы получаем
Ax Cx
- - α⋅ + α⋅
MP aP a
⋅⋅
--+
≈==
21 2
= + - α=⋅+ - °=⋅+ -⋅ ≈
≈+-= -=кН10 4,16 4,33 14,16 4,33 9,83 .
=⋅-=⋅⋅-=-=-кН3 2 3 1 9,83 6 9,83 3,83 .
Ay Cy
R q aR
=⋅⋅ - ⋅- ⋅=3 1, 5 3 3
A Cy Cx
m q a aR aR a
=⋅⋅⋅ ⋅- ⋅⋅-- ⋅⋅=- + =- ⋅
2311,51 9,8331 ( 2,5)31 9 29,49 7,5 12,99 .
+ α⋅ - α⋅ =- -- ⋅ ⋅ +- ⋅ ⋅ +
∑
= = - кН2,5 .
RR
Из шестого уравнения системы получаем
= =
R
B
- - °⋅ ⋅ + °⋅ ⋅ - - ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
4 (5 cos 60 ) 2 1 (5 s in 60 ) 4 1 4 5 0,5 2 1 5 0,5 3 4 1
= = ≈
(cos)2 (sin)4
2
a
21 21
4 5 17,32 8,32
кН
4,16 .
⋅
Из пятого уравнения системы получаем
2 sin 2 5 4,1 6 5 s in 60 2 5 4,16 5 0,5 3
R PR P
Cy B
Из второго уравнения системы получаем
Из третьего уравнения системы получаем
кН м
Проверка. Составив уравнение равновесия для всей составной
конструкции, выполняем проверку расчетов (см. рис. 2.1, б):
= - ⋅+ ⋅+⋅⋅ + ⋅++
M m R aR aq a aR aM
iC A Ay Ax B
i
( cos )2 ( sin )4 12,99 ( 3,83)31 ( 2,5)31
P aP a
2 3 1 1,5 1 4,16 2 1 4 5 0,5 2 1 5 0,5 3 4 1
+⋅⋅⋅ ⋅+ ⋅⋅++⋅ ⋅⋅-⋅ ⋅⋅=
12,99 11,49 7,5 9 8,32 4 5 17,32 37,81 37,81 0.
=- + - ++ ++- = - =
3 3 3 1, 5 2
Поскольку составляющие реакций RAx, RAy, RCx и момент в
получились отрицательными, после провер-
A
жесткой заделке m
ки меняем их первоначально выбранные направления на противоположные (см. рис. 2.1, б и 2.2).
38
По найденным составляющим определяем реакцию жесткой
= += + ≈
22 2 2
кН
2,50 3,83 4,57 .
A Ax Ay
R RR
≈ ≈ ⋅≈
AA B
Rm R
заделки R
:
A
По найденным составляющим определяем реакцию внутрен-
ней связи R
:
С
22 2 2
= += + ≈
R RR
С Сx Сy
кН2,50 9,83 10,14 .
Ответ:
кН кН м кН4,57 ; 12,99 ; 4,16 .
Пример 2.2. Определить реакции опор составной конструкции (системы из двух твердых тел, соединенных шарниром в
точке С), показанной на рис. 2.3, а. Вес конструкции не учитывать.
Исходные данные: P = 4 кН, M = 6 кН·м, q = 2 кН/м, а = 1 м,
o
α = 30
.
Решение
1. Конструкция представляет собой систему двух твердых
тел, соединенных шарниром С, который является внутренней
связью. Внешние связи – цилиндрические шарнирно-неподвижные опоры в точках А, B, присоединяющие рассматриваемую
конструкцию к другим телам.
2. Согласно принципу освобождаемости от связей, мысленно
отбрасываем внешние связи, заменяя каждую шарнирно-неподвижную опору двумя взаимно перпендикулярными составляющими реакций: R
, RAy и RBx, RBy (рис. 2.3, б).
Ax
3. Для произвольной плоской системы сил, приложенных
к конструкции, можно составить только три уравнения равновесия. Число же неизвестных величин равно четырем: R
, RBy. Поэтому разделяем составную конструкцию на два
R
Bx
, RAy,
Ax
твердых тела, заменив внутреннюю связь (шарнир C) реакцией
(рис. 2.4). Линия действия RC заранее неизвестна, поэтому
R
C
вместо реакции R
возьмем две ее составляющие RСx, RСy, на-
С
правления которых на известных линиях действия выбираем
произвольно.
39
P
3a
q
P
3a
2a
б
q
a
1,5a
C
0,5
K
2a
M
3a
P
3a
B
A
a
y
3a
C
P
R
R
Ax
Ay
a
0,5
M
R
By
3a
B
R
Bx
x
A
R
Ay
Рис. 2.3. Расчетная схема системы двух тел, соединенных
шарниром в точке С: а – исходная; б – эквивалентная
На основании аксиомы о равенстве действия и противодействия
для твердых тел, полученных после разделения конструкции, составляющие реакции внутренней связи (R
, RCy) попарно равны
Cx
по модулю и противоположны по направлению (см. рис. 2.4).
Если в ходе дальнейших расчетов какая-либо неизвестная величина получится отрицательной, то ее фактическое направление противоположно первоначально выбранному.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]