Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика решение задач статики твердого тела. Учебное пособие
.pdf
5
++++
++++
20 10 20 12 12 74
0,
∑∑∑
1 11
; ;.
n nn
i ii
C CC
xyz
L LL
Ll
Pz
∑
ii
Pz Pz Pz Pz Pz
=
1 11 22 33 4 4 5 5
i
z
= = =
C
5
P
∑
i
=
1
i
0000384 384
= = ≈
++++
PPPPP
++++
1234 5
5,2 .
см
Ответ: = см0, 3 ,
x = см
C
y = см5, 2 .
C
z
C
4.2. Расчет координат центра тяжести
тела, представляющего собой совокупность
однородных, тонких стержней с постоянными
площадями поперечных сечений
Погонный вес, т.е. вес единицы длины однородного твердого
тела, обладающего значительной длиной при малых постоянных
поперечных размерах, остается неизменным. В связи с этим,
такое тело удобно представить как совокупность однородных,
тонких стержней прямолинейной или криволинейной формы, и
осуществлять расчеты координат центра тяжести тела следующим образом:
lx ly lz
i i i i ii
= = =
= = =
В приведенных выше формулах:
, y1, z1), (x2, y2, z2), ... , (xn, yn, zn) – значения координат
(x
1
центров тяжести стержней; n – общее число стержней;
, l2, ... , ln – длины соответствующих стержней;
l
1
n
=
– суммарная длина тела, центр тяжести которого
i
∑
=
1
i
определяется.
При решении задач, связанных с определением центра тяже-
сти тела, составленного из однородных, тонких стержней постоянного поперечного сечения, следует иметь в виду следующее:
71
– центр тяжести однородного тонкого прямолинейного стерж-
α
π
α=
2
x
R
C
= = = = = = =+=
1 234 5 67
3
0; ; ; ;
2 22
aa
x xxx xaxxa a
2
yyyy yy ya
ня находится посередине его длины;
– для дуги окружности радиусом R, соответствующей цен-
sin
тральному углу 2α,
ности (т.е. при
= =
x OC
C
) = =
x OC
C
R
(рис. 4.3). Для полуокруж-
α
2
R
;
π
– при рассмотрении плоской системы стержней или плоского
контура рекомендуется за координатную плоскость принимать
плоскость xy; тогда z
= 0.
C
y
0
x
C
Рис. 4.3. Центр тяжести дуги окружности
Пример 4.3. Определить положение центра тяжести плоской
фермы, состоящей из шарнирно соединенных однородных, тонких стержней постоянного поперечного сечения (рис. 4.4, а). Известна величина а = 2 м.
Решение
1. Находим длины каждого из стержней в составе фермы:
===== == +=
12457 36
; 2.lllllall aa a
22
2. Для каждого стержня определяем положение центра тяже-
сти C
, C2, C3, ... , С7:
1
= = = = = = =
1356 27 4
72
a
; 0; .
Результаты размещаем в табл. 4.3.
y
C
а а
б
5 22
22
22
а
а
x
= x3 = x4
2
а
y
C
4
C
C
3
1
C
C
2
xС
x
= x7
6
а
C
C
6
5
C
7
а
x
6
= y
5
= y
3
= y
1
y
Рис. 4.4. Расчетная схема по определению положения центра
тяжести плоской фермы: а – исходная; б – эквивалентная
Расчет координат центра тяжести плоской фермы
Номер
стержня
фермы
Координаты центра тяже-
сти i-го стержня фермы
x
i
y
i
Длина i-го
стержня
фермы l
i
li x
i
1 0 0,5а а 0 0,5а
0,5 2a
1,5 2a
2
2
2
2
2
2
2 0,5а 0 а 0,5а
3 0,5а 0,5а
2a
4 0,5а а а 0,5а
5 а 0,5а а а
6 1,5а 0,5а
2a
7 1,5а 0 а 1,5а
∑ – –
+
аa +
3,5 2 2аa
Таблица 4.3
li y
i
2
0
2
0,5 2a
2
а
2
0,5а
2
0,5 2a
0
22
+
аa
73
3. Для рассматриваемой фермы рассчитываем координаты
=
=
++++++
= = =
++++++
∑
∑
7
1 11 22 33 44 55 66 77
1234 567
1
ii
i
C
i
i
lx
lx lx lx lx lx lx lx
x
lllllll
l
≈
≈
центра тяжести:
22
+ + ⋅+⋅ +
3,5 2 2 3,5 2 2 3,5 2 2 2 2 7 4 2
а a аa
= = = = ≈
+ + ++
5 2 2 5 22 5 22 5 22
аa
7
ly
∑
ii
ly ly ly ly ly ly ly
=
1 11 22 33 44 55 66 77
i
y
= = =
C
7
l
∑
i
=
1
i
22
+ + ⋅+
2 22 22222
а a аa
= = = ≈
+ ++
5 2 2 5 22 5 22
аa
++++++
lllllll
++++++
1234 567
0,87 .
1, 6 2 ;
м
м
Ответ:
x
C
м1,6 2 ,
y
C
м0, 87 .
Пример 4.4. Определить положение центра тяжести плоской
фермы, состоящей из шарнирно соединенных однородных, тонких стержней постоянного поперечного сечения (рис. 4.5). Известна величина а.
2а
74
Рис. 4.5. Исходная расчетная схема по определению положе-
ния центра тяжести плоской фермы
а
30° 30
а
°
2а
2а
Пример 4.5. Определить положение центра тяжести плоской
= =
= =
∑∑
11
;.
nn
ii ii
ii
CC
Ax Ay
xy
AA
фермы, состоящей из шарнирно соединенных однородных, тонких стержней постоянного поперечного сечения (рис. 4.6). Известна величина а.
4
6
5
1
3
2
2а
Рис. 4.6. Исходная расчетная схема по определению положе-
ния центра тяжести плоской фермы
7
2а
а
4.3. Расчет координат центра тяжести
однородной, плоской, тонкой пластины
(площади плоской фигуры)
Однородную, плоскую, тонкую пластину, имеющую площадь A, рассматриваем состоящей из n частей, представляющих
собой площади А
координаты центра тяжести рассматриваемой пластины находятся следующим образом:
c координатами центров тяжести (xi, yi). Тогда
i
Площадь вырезаемой части пластины подставляется в эти
формулы отрицательной (метод отрицательных площадей).
Если плоская фигура обладает осью симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси. Поэтому, если совместить одну из координатных осей с осью симметрии, то останется найти лишь одну из
координат центра тяжести, поскольку другая будет равна нулю.
Если плоская фигура обладает двумя осями симметрии, то
центр тяжести будет определяться точкой их пересечения.
Следует помнить, как определяются площади и координаты
центров тяжести плоских фигур простейшей геометрической
формы (табл. 4.4).
75
Таблица 4.4
y
x
y
C
B
= ⋅=
=⋅α
2
= ++ =
()
3
C OBA
BA
xx
= ++ =
()
C OBA
11
33
yh
y
x
y
C
a
0
2
33
CC
ab
xy
x
0
R
C
AR
α
°
180
α
Площади и координаты центров тяжести некоторых плоских фигур
Плоская фигура Площадь Координаты центра тяжести
Треугольник
С
O
x
C
1
A OA h
1
OA
h
A
OA OB
где h
щенная на сторону OA;
OA
2
sin ,
– высота, опу-
OA
α – угол между сторона-
Центр тяжести – точка
пересечения медиан. Медиана – отрезок, соединяющий вершину с серединой
противолежащей стороны
треугольника:
1
x xxx
ми OA и OB
= +1( );
3
1
y yyy
3
= =
B OA
Прямоугольный
треугольник
Круговой сектор
y
α
α
x
C
76
=1,
A ab
где a, b – катеты
пересечения перпендикуляров, восстановленных к
катетам из точек, расположенных на расстоянии
Центр тяжести – точка
С
одной трети длины катетов,
считая от вершины прямого угла:
x
C
b
2
R
πα
180
,
°
A
=
= =;
2 sin
R
=
x
C
3
πα
,
где α – половина
b
центрального угла
(в градусах);
= α
2
,
где α – половина центрального угла, рад
где α – половина центрального угла, град;
2 sin
R
=
x
C
,
α
3
где α – половина центрального угла, рад;
Rb
=2,
x
C
3
A
где b – длина хорды,
A – площадь сектора
x
0
R
C
x
R
C
= -α
-α
Окончание табл. 4.4
Плоская фигура Площадь Координаты центра тяжести
Полукруг
y
x
C
2
R
π
A
=
2
R
=
x
C
π43
Круговой сегмент
y
α
0
α
x
C
b
1
AR
2 180
где α – половина центрального угла, град;
1
= α- α
AR
2
где α – половина центрального угла, рад
πα
2
2 sin 2 ,
°
2
(2 sin2 ),
=
x
C
3 2 sin2
где α – половина центрального угла, град;
4 sin
=
x
C
3(2 sin 2 )
где α – половина центрального угла, рад;
3
b
=
x
C
12
A
где b – длина хорды,
A – площадь сегмента
3
4 sin
R
πα
°
180
3
α
R
α- α
,
α
,
,
Пример 4.6. Определить координаты центра тяжести сим-
метричного сечения (рис. 4.7), составленного из полосы разме-
ром 120×10 мм, двутавра № 12 (приложение 1) и швеллера № 14
(приложение 2).
Решение
1. Поскольку заданное сечение симметричное, выбираем систему координат таким образом, чтобы ось y была совмещена с
осью симметрии сечения. Тогда центр тяжести плоской фигуры
находится на оси y, а следовательно, x
= 0. Ось x проведем через
C
центр тяжести двутавра.
2. Определяем площади составных частей заданного сечения:
– площадь полосы A
= 12 · 1 = 12 см2;
1
77
y
h
= 14 см
3
= 1,67 см
0
C
C
b
= 6,4 см
2
12 см
3
C
C
2
1
= 5,8 см
3
b
= 12 см
2
h
1 см
y
3
y
C
y
1
y
x
Рис. 4.7. Расчетная схема симметричного составного сечения,
составленного из полосы размером 120×10 мм, двутавра № 12
и швеллера № 14
– площадь двутавра № 12 определяем по таблице из приложе-
ния 1: A
= 14,7 см2;
2
– площадь швеллера № 14 определяем по таблице из прило-
жения 2: A
= 15,6 см2.
3
3. Определяем ординаты центров тяжести составных частей
сечения относительно выбранных координатных осей:
– центр тяжести полосы (точка C
) – точка пересечения диа-
1
гоналей соответствующего прямоугольника; поэтому, определив
по таблице из приложения 1, что для двутавра № 12 h
= 12 см,
2
можно записать:
h
2
=-+=-+=-
y
1
0,5 0,5 6,5 ;
22
12
см
– центр тяжести двутавра № 12 (точка C2) совпадает с началом
координат, т.е. y
78
= 0;
2
– пользуясь таблицей из приложения 2 (y0 = 1,67 см), опреде-
22
ляем ординату центра тяжести швеллера № 14 (точка C
h
2
=+= + =
yy
30
12
1,67 7,67 .
см
):
3
Результаты размещаем в табл. 4.5.
Таблица 4.5
Расчеты координат центра тяжести симметричного составного сечения
Номер
элемента
составно-
го сечения
1
2
3
∑
Ордината центра
тяжести i-го эле-
мента составного
сечения yi, см
– 6,5 12 – 78
0 14,7 0
7,67 15,6 119,65
– 42,3 41,65
Площадь i-го
элемента со-
ставного сече-
ния Ai, см
2
инерции i-го элемента со-
ставного сечения относи-
тельно оси x, Sxi = Aiyi, cм
Статический момент
Теперь определяем ординату центра тяжести плоской фигуры
по формуле
3
Ay
∑
S Ay Ay Ay
xi
y
= = = = ≈
C
A AAA
ii
=
1 11 22 3 3
3
A
i
∑
=
1
i
++
++
123
41, 6 5
42,3
см
1, 0 .
3
Ответ: центр тяжести плоской фигуры находится в точке
C (0; 1,0 см).
Пример 4.7. Определить положение центра тяжести несимме-
тричной, однородной, плоской, тонкой пластины, размеры ко-
торой заданы на рис. 4.8, а. Известна величина а = 5 см.
Решение
1. Однородную, плоскую, тонкую пластину мысленно разбиваем на прямоугольный треугольник и прямоугольник, имеющие центры тяжести C
и С2 соответственно. Причем, из прямо-
1
угольника необходимо вырезать полукруг с центром тяжести C
(рис. 4.8, б).
79
3
y
6a
б
y
y
y
y
С
22 2
4a
x
2a
d = 3a
9а
a
y
6a
С
2
4a
2
3
2a
x
2
x
3
x
C
С
С
3
С
1
a
r = 1,5a
x
1
9a
Рис. 4.8. Расчетная схема по определению положения центра
тяжести несимметричной, однородной, плоской, тонкой пла-
стины: а – исходная; б – эквивалентная
1
x
2. Найдем площади составных частей рассматриваемой пла-
стины:
– площадь прямоугольного треугольника
1
= - ⋅= =⋅=
(9 6 ) 4 6 6 5 150 ;
A aaaa
1
2
80
см
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]