Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика решение задач статики твердого тела. Учебное пособие
.pdf
Записывая эти векторные равенства в проекциях на соответ-
MM
MM
MM
MM
MM
ствующие оси координат, получаем для произвольной пространственной системы сил систему уравнений равновесия:
При наличии системы параллельных сил, в случае, если одна
из координатных осей проведена параллельно этим силам, из
представленной выше системы уравнений исключаются два
уравнения проекций сил на оси, перпендикулярные силам, и
одно уравнение моментов относительно оси, параллельной силам. Так, если силы параллельны оси z, то система уравнений
равновесия приобретает следующий вид:
=
0,
F
O
=
0.
M
O
n
FF
= =
Ox ix
∑
=
1
i
n
FF
= =
∑
Oy iy
=
1
i
n
FF
= =
∑
Oz iz
=
1
i
n
= =
∑
Ox ix
=
1
i
n
= =
∑
Oy iy
=
1
i
n
= =
∑
Oz iz
=
1
i
n
= =
FF
Oz iz
∑
=
1
i
n
= =
∑
Ox ix
=
1
i
n
= =
∑
Oy iy
=
1
i
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0.
51
Для пространственной системы сходящихся сил система
FF
FF
FF
z
P
уравнений равновесия приобретает следующий вид:
n
= =
Ox ix
∑
=
1
i
n
= =
∑
Oy iy
=
1
i
n
= =
∑
Oz iz
=
1
i
0,
0,
0.
Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную
оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.
Момент силы относительно оси считается положительным, если
глядя с положительного конца оси поворот тела, который стремится совершить эта проекция, виден происходящим против
хода часовой стрелки.
Рассмотрим теперь более подробно, как вычисляется момент
силы F, например, относительно оси z (рис. 3.1).
1. Проводим плоскость P, перпендикулярную оси z.
2. Спроецируем силу F на плоскость P. Получаем вектор F
проекцию вектора F на плоскость P.
3. Находим модуль F
силы на плоскость является вектором).
52
F
·
O
h
F
P
P
Рис. 3.1. Вычисление момента силы относительно оси z
проекции силы на плоскость (проекция
P
–
P
4. Опускаем из точки O пересечения оси с плоскостью P пер-
пендикуляр на линию действия F
и находим его длину hP (пле-
P
чо).
5. Вычисляем момент силы F относительно оси z по формуле:
(F) = FPhP (перед произведением поставлен знак «плюс», по-
M
z
скольку на рис. 3.1 рассматривается случай, когда момент M
(F)
z
считается положительным).
Случаи, когда момент силы относительно оси равен нулю:
– сила параллельна оси (так как проекция силы на плоскость,
перпендикулярную оси, равна нулю);
– линия действия силы пересекает ось (так как соответствую-
щее плечо равно нулю);
– линия действия силы совпадает с данной осью (так как про-
екция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю и
соответствующее плечо равно нулю).
Поэтому для получения более простых уравнений равновесия оси координат следует проводить так, чтобы они оказались
параллельными или перпендикулярными возможно большему
числу неизвестных сил, а также, чтобы линии действия неизвестных сил пересекали эти оси.
В тех случаях, когда при вычислении момента возникают
затруднения при определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие, а
затем воспользоваться теоремой Вариньона (о моменте равнодействующей).
3.2. Определение реакций опор твердого
тела под действием произвольной
пространственной системы сил
Пример 3.1. На горизонтальном вале, установленном на под-
шипниках A, B, закреплены перпендикулярно оси вала шкив
радиусом r и барабан радиусом R (рис. 3.2, а). Вал приводится в
равномерное вращение с помощью ремня, накинутого на шкив.
При этом поднимается груз, привязанный к тросу, который наматывается на барабан. Пренебрегая весом вала, барабана, шкива, определить реакции подшипников и усилия натяжения T
1
и
53
T2 ведущей и ведомой ветвей ремня. T1 = 2T2; усилия T1, T2 ле-
y
r
R
y
r
R
R
R
R
B
R
B
R
R
жат в плоскости, перпендикулярной к оси вала. Трос и ремень
невесомы и нерастяжимы. Силами и моментами трения пренебречь.
T
2
T
1
A
α
Q
z
a
x
B
a
Q
α
z
z
B
Bx
x
x
b
T
2
a
T
1
Az
α
Ax
A
Az
a
О
b
a
б
Рис. 3.2. Расчетная схема вала:
а – исходная; б – эквивалентная
54
Исходные данные: r = 0,15 м; R = 0,2 м; Q = 1 кН – вес поднима-
= α- ++ ++ +=
--+ =
22
2 0,QR Tr Tr
емого груза; a = 0,4 м, b = 0,6 м – размеры вдоль оси вала; α = 30° –
угол наклона троса в плоскости, перпендикулярной оси вала.
Решение
1. При равномерном вращении вала действующие на него
силы удовлетворяют условиям равновесия. Согласно принципу
освобождаемости от связей, мысленно отбрасываем подшипники, заменяя их действие реакциями R
, RB. Поскольку линии
A
их действия заранее неизвестны и никаких сил вдоль оси вала
(оси y) не действует, вместо реакций R
ющие R
, RAz, RBx, RBz, направления которых на известных ли-
Ax
, RB возьмем их составля-
A
ниях действия выбираем произвольно (рис. 3.2, б). Если в ходе
дальнейших расчетов какая-либо из составляющих получится
отрицательной, то ее фактическое направление противоположно
первоначально выбранному.
Мысленно разрежем трос и заменим его действие на барабан
силой натяжения Q, равной по модулю весу груза (трение троса о
блок и трение в оси блока не учитываем).
2. Для рассматриваемой пространственной системы сил составляем пять уравнений равновесия. При составлении уравнений моментов следует мысленно посмотреть на вал со стороны
конца каждой из координатных осей:
F R Q R TT
= - α+ - - =
∑
ix Bx Ax
i
= + α+ =
F RQ R
∑
iz Bz Az
i
M Q aR ab
∑
Aix Az
i
M QR T r T r
∑
Aiy
i
M Q aR ab T ab T ab
∑
Aiz Ax
i
Поскольку по условию T1 = 2T2, то из четвертого уравнения
системы
0 : cos 0,
12
0 : sin 0,
= α+ +=
0 : ( sin ) ( ) 0,
= --+=
0 : 0,
0 : ( cos ) ( ) (2 ) (2 ) 0.
21
21
55
⋅
== ≈ ==⋅=
α+ + +
⋅ °⋅+ + ⋅+ + ⋅
= ≈=
5, 94 .
α ⋅ °⋅
=-=- =-
++
кН
( sin ) (1 sin30 ) 0,4
0,20 .
0,4 0, 6
Az
Qa
R
ab
=- α- =- ⋅ °- - =- + =-
= α- + + =
12
=⋅ °-++= -++=-кН1 cos30 5,94 2,66 1,33 0,87 5,94 2,66 1,33 1,08 .
=-+=--⋅+-⋅=-=
∑
=--+=-⋅- ⋅ + ⋅ =
∑ 21
1 0,2 1,3 3 0,1 5 2,66 0,15
Оiy
i
M QR T r T r
=--+=-+=0, 2 0, 2 0 0, 40 0, 40 0, 4 0 0;
= - + + +=
∑
12
( )( )
Оiz Bx Ax
i
M RaR b T T ab
=- ⋅- ⋅+ + + =
=--+= -=0, 4 3 3, 56 3, 9 9 3, 99 3, 99 0.
T TT
2 12
0,15
r
кН кН
1,33 ; 2 2 1,33 2,66 .
1 0,2
QR
Из пятого уравнения системы получаем
( cos ) ( )(2 )
Q a T T ab
= =
R
Ax
21
+
ab
(1 cos 30 ) 0, 4 (1,33 2,66)(2 0,4 0, 6) 0,35 3,9 9 1, 4
+
0,4 0, 6 1
Из третьего уравнения системы получаем
Из второго уравнения системы получаем
кН
RQ R
Bz Az
кНsin 1 sin 30 ( 0, 20) 0,50 0,20 0, 30 .
Из первого уравнения системы получаем
R Q R TT
cos
Bx Ax
Проверка. Уравнения равновесия записываем, мысленно осу-
ществив перенос начала координат в точку О (см. рис. 3.2, б).
Тогда в них войдут все пять неизвестных величин:
M RaRb
Оix Bz Az
i
( 0, 30) 0, 4 ( 0, 20) 0, 6 0,12 0,12 0;
1,08 0, 4 5, 94 0,6 (2,6 6 1,33)(0, 4 0,6)
56
Поскольку величины RBx, RBz, RAz получились отрицательными,
= += + ≈
22 2 2
кН
5, 94 0, 2 0 5, 94 ;
A Ax Az
R RR
= += + ≈
22 2 2
кН1,08 0,30 1,12 .
B Bx Bz
R RR
≈≈
AB
RR
после проверки меняем первоначально выбранные направления составляющих R
, RBz, RAz на противоположные (см. рис. 3.2, б).
Bx
По найденным составляющим определяем реакции подшип-
ников вала:
Ответ:
кН кН5, 9 4 ; 1, 1 2 .
Пример 3.2. Тонкая, однородная плита ABDE весом G поддер-
живается в горизонтальном положении шестью невесомыми, шарнирно закрепленными по концам стержнями, расположенными
вдоль диагоналей граней или вдоль ребер прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.3, а). К точке D плиты приложена горизонтальная
сила Q. Определить реакции стержней, если известны размеры a, c.
Исходные данные: G = 18 кН, Q = 20 кН, a = 2 м, c = 4,5 м.
Решение
1. Согласно принципу освобождаемости от связей, мыслен-
но отбрасываем невесомые, шарнирно закрепленные по концам
стержни, заменяя их действие реакциями стержней Т
, Т6 (рис. 3.3, б и 3.4). Поскольку конкретные направления этих
Т
5
, Т2, Т3, Т4,
1
реакций неизвестны, а известны лишь линии их действия, условно считаем стержни растянутыми и направляем реакции от узлов А, В, Е вдоль осей отброшенных стержней. Если в ходе дальнейших расчетов какая-либо реакция получится отрицательной,
то ее фактическое направление противоположно первоначально
выбранному, а соответствующий стержень не растянут, а сжат.
2. Для рассматриваемой пространственной системы сил составляем шесть уравнений равновесия. Поскольку число неизвестных также равно шести, то задача является статически
определенной. Начало координат помещаем в точку Е – точку
пересечения линий действия трех неизвестных реакций: Т
. Это позволяет исключить названные реакции из уравнений
Т
6
, Т2,
1
моментов, тем самым упрощая решение полученной системы
уравнений.
57
B
D
E
6
Q
2a
B
D
E
Q
G
O
A
5
a
4
c c
1
2
3
a
2a
z
O
a
x
T
1
T
6
G
y
A
T
3
T
5
T
T
2
4
β
α
Рис. 3.3. Расчетная схема плиты:
а – исходная; б – эквивалентная
58
T
Q
E(D
)
(B)
z
z
a
a
B(D
)
Q
B
D
E
в
(E)
= - β- β=
= α+ =
= - - - α- β- - β- =
= - - + + β⋅ =
= --=
= - + β⋅ =
∑
∑
∑
∑
∑
∑
64
2
12 6 34 5
354
5
4
0 : cos cos 0,
0 : cos 0,
0: sin sin sin 0,
0 : ( sin ) 2 0,
0 : 0,
2
0 : ( cos ) 2 0.
ix
i
iy
i
zi
i
Eix
i
Eiy
i
Eiz
i
F TT
FT Q
F GT T T T T T
M Ga T T T a
a
M G Ta
M Qa T a
T
sin
6
sin
2
a
T
T
1
cos
2
α
T
a
y
T
T
A
sin
6
sin
2
x
A
O
G
2
T
3
T
5
2
T
cos
6
T
3
T
1
T
2
T
cos
O
6
4
G
T
5
a
a
O
cos
6
T
T
cos
x
Рис. 3.4. Расчетная схема плиты: а – вид с конца оси х;
б – вид с конца оси y; в – вид с конца оси z (сверху)
2
T
sin
4
a
Для составления уравнений равновесия удобно рассматривать
виды со стороны конца каждой из координатных осей (см. рис. 3.4):
T
T
sin
4
a
cos
4
T
y
A
4
б
59
Предварительно вычислим синусы и косинусы углов α и β по
22
c
22
Qa Q
22
22
2
=-=-
64
кН
24, 62 .TT
заданным в условии размерам прямоугольного параллелепипеда:
α= = = ≈
sin 0,7474;
sin 0,9138;
c
22 2 2
+ ⋅+
(2 ) (2 2) 4,5
аc
α= - α= - =
co s 1 sin 1 0,7474 0, 6 644;
β= = = ≈
22 22
++
ca
β= - β= - =
cos 1 sin 1 0,9138 0,4062.
4,5 4,5
4,5 4, 5
4,5 2
6,0208
4,9244
Из шестого уравнения системы получаем
= = = ≈
T
4
β⋅ β⋅ ⋅
(cos ) 2 (cos ) 2 0,4062 2
a
20
24, 62 .
Из пятого уравнения системы получаем
=-=- =-
T
5
кН
0,9 .
1, 8
G
Из четвертого уравнения системы получаем
+ + β⋅
( sin ) 2
GTT
=- =- - - β=
T TT
3 54
54
G
кН
sin
60
1, 8
=- - - - ⋅ ≈- + - =- кН
( 0, 9) 24,62 0, 9138 0,9 0, 9 22,5 0 22, 50 .
Из второго уравнения системы получаем
2
α
cos 0,6644
Q
=- =- ≈-
T
20
кН
30,10 .
Из первого уравнения системы получаем
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]