Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы принятия оптимальных решений в экономике. Практикум
.pdf
Федеральное агентство связи
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
(СибГУТИ)
Ю.В. Шевцова
Методы принятия оптимальных
решений в экономике.
Практикум
Учебное пособие
Новосибирск
2018
2
УДК: 33:519.81
Шевцова Ю. В. Методы принятия оптимальных решений в экономике.
Практикум. / Сибирский государственный университет телекоммуникаций и
информатики; каф. математического моделирования бизнес-процессов. – Новосибирск, 2018. – 70 с.
Учебное пособие включает задачи и упражнения по основным разделам
курса «Математические модели и методы исследования операций в экономике»: построение математических моделей, динамическое программирование,
сетевое планирование и управление, линейное программирование, нелинейное
программирование, теория матричных игр, экстремальные задачи на графах,
управление запасами, задачи замены оборудования, задачи размещения, теория
расписаний, теория массового обслуживания. Пособие предназначено для студентов технических и экономических направлений подготовки, изучающих вопросы формализации, моделирования и оптимизации процессов принятия решений в социальных и экономических системах.
Рецензенты: ктн Т.Л. Самков, ктн Г.Ы. Токтошов
© Шевцова Ю. В., 2018
© Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2018
3
1.
Построение математических моделей…………………………………
4
2.
Динамическое программирование……………………………………….
6
2.1. Распределительная задача………………………………………...….
6
2.2. Задача о ранце……………………………………………...................
9
2.3. Задача о ближайшем соседе……………………………………….....
13
3.
Сетевое планирование и управление…………………………………….
14
3.1. Построение сетевых моделей…………………………………...…
14
3.2. Анализ сетевых моделей…………………………………………......
15
3.3. Оптимизация сетевых моделей……………………………………....
18
4.
Линейное программирование………………………………………...…..
23
4.1. Построение двойственных задач..…………………………………...
23
4.2. Графический метод……………………………...………………........
24
4.3. Симплекс-метод………………………………………………............
25
4.4. Транспортная задача……………………………………...………......
33
4.5. Задача о назначениях…………………………………...………….....
35
4.6. Анализ чувствительности оптимального решения…………………
37
5.
Задачи принятия решений в условиях неопределенности и теории
матричных игр……………………………………………………………..
38
5.1. Принятие решений в условиях неопределенности…………….…
38
5.2. Матричные игры…………………………………………….............
40
6.
Экстремальные задачи на графах……………………………...………....
41
6.1. Метод ветвей и границ для задачи коммивояжера…………………
41
6.2. Задача о кратчайшей связывающей сети………………………...….
42
6.3. Задача о кратчайшем пути……………………………..………….....
43
7.
Управление запасами…………………………..………………………….
44
7.1. Управление запасами с детерминированным спросом…………….
44
7.2. Управление запасами с вероятностным спросом…………………..
48
7.3. Управление многономенклатурными запасами…………………….
49
8.
Задачи замены оборудования………………………………………......
50
9.
Задачи размещения…………………………………………….
53
10.
Задачи теории расписаний…………………………………....
55
11.
Задачи теории массового обслуживания……………………
57
12.
Деревья решений……………………………………………….
59
13.
Нелинейное программирование……………………………...
63
14.
Ответы к некоторым упражнениям…………………………
65
Список литературы………………………………………………...
69
ОГЛАВЛЕНИЕ
4
1. Построение математических моделей
1.1. Завод выпускает изделия типа i = 1,…, n. Для этого используются ре-
сурсы типа j = 1,…, m. Производственная мощность завода – M. На изготовление одного изделия i-го типа завод использует aij единиц ресурса j-го типа, общий объем которого равен Aj. Затраты на приобретение единицы ресурса j равны dj, цена одного изделия i-го типа – ci. Найти объем выпускаемых заводом
изделий, при котором прибыль завода будет максимальна.
1.2. Имеется n исполнителей и n работ. Каждый исполнитель может вы-
полнить ровно одну работу, и каждая работа выполняется одним исполнителем.
cij – затраты, связанные с назначением исполнителя i на работу j. Требуется
найти назначение всех исполнителей по работам, имеющее минимальные суммарные затраты.
1.3. Дано множество I пунктов возможного размещения производства не-
которой продукции и множество J потребителей этой продукции. Каждому потребителю продукция может поставляться только от одного производителя. Затраты на открытие производства в i-м пункте характеризуют величины g
траты на обслуживание j-го потребителя i-м производителем – g
ij
определить, в каких пунктах открывать производство, и осуществить привязку
потребителей к открытым пунктам производства, чтобы суммарные общие затраты были минимальны.
1.4. Имеется 10 деревянных брусков длиной 2,7 м и 20 брусков длиной
3,5 м каждый. Из этих брусков путем их распила делаются заготовки для оконных рам формы, указанной на рис. 1.1. На одну раму уходит три метровые и две
полутораметровые заготовки. Требуется определить, как распилить имеющиеся
бруски, чтобы из них получилось максимальное количество рам.
0
, а за-
i
. Требуется
Рисунок 1.1
1.5. Спелеолог в пещере нашел сундук с драгоценными изделиями. Каж-
дое изделие i, находящееся в сундуке, имеет ценность ci и вес аi. Суммарный
вес груза, который спелеолог может вынести из пещеры, ограничен величиной
А. Требуется определить, какие изделия и в каком количестве взять, чтобы у
5
спелеолога хватило сил вынести их из пещеры, и ценность взятых изделий была
максимальна.
1.6. Имеется i = 1, …, n видов продуктов питания. ci – стоимость единицы
i-го продукта. Из этих продуктов необходимо составить пищевой рацион, ко-
торый должен содержать:
белков не менее b1 единиц;
углеводов не менее b2 единиц;
жиров не менее b3 единиц.
Единица продукта i содержит ai1 единиц белков, ai2 единиц углеводов и
ai3 единиц жиров. Требуется так составить пищевой рацион, чтобы обеспечить
заданные условия по белкам, углеводам и жирам при минимальной стоимости
рациона.
1.7. Дано множество I исполнителей и множество J работ, а также tij –
время выполнения и cij – стоимость выполнения j-й работы i-м исполнителем.
Требуется назначить на каждую работу по одному исполнителю, чтобы время
выполнения всех работ было минимально, а стоимость не превышала заданную
величину S. При этом каждый исполнитель может выполнить не более одной
работы.
1.8. Имеется множество I поставщиков и множество J потребителей. Про-
изводственная мощность i-го поставщика равна Аi, величина спроса j-го потребителя – Вj. Удельные транспортные затраты на перевозку единицы товара от iго поставщика к j-му потребителю составляют cij. Найти такой план перевозок,
при котором полностью используются производственные возможности поставщиков, полностью удовлетворяются потребности потребителей, а затраты на
транспортировку минимизируются.
1.9 В банк за кредитом обратилось m клиентов, каждый из которых про-
сит сумму ai, i = 1, …, m. От сделки с i-м клиентом банк ожидает получить доход ci. Банк имеет сумму A, которую он может потратить на кредиты, и должен
обслуживать не менее n и не более N клиентов. Требуется определить, каким
клиентам следует выдать кредит, чтобы максимизировать ожидаемый доход.
1.10 На железнодорожной станции имеются вагоны трех типов (платформы, полувагоны, крытые вагоны) в количествах – b1, b2, b3, соответственно. Со
станции должны быть отправлены грузы четырёх видов в количествах – а1, а2,
а
, а
, соответственно, причем грузы первых двух видов не могут быть погру-
3
4
жены на платформы, а грузы третьего и четвёртого видов – в крытые вагоны. g
– нормы загрузки, а с
– затраты на загрузку одного вагона i-го типа грузом j-го
ij
ij
вида. Распределить вагоны под грузы, чтобы минимизировать затраты на загрузку вагонов.
6
i
c
x
2
2
xai
Объем
инвестиций
Прирост выпуска по заводам
1 2 3 4 20
9
15
10
13
40
35
33
31
26
60
39
37
40
41
80
64
62
59
63
100
75
71
73
70
x
f1(x)
f2(x)
f3(x)
100
40
50
30
200
50
80
50
300
110
90
90
400
120
150
110
500
180
190
170
600
220
210
180
2. Динамическое программирование
2.1. Распределительная задача
2.1.1. Предприятие имеет ресурс в размере А единиц, который оно может
вложить n видов производства. Функции fi(x) отражают затраты при вложении x
единиц ресурса в i-й вид производства. Требуется определить план распределения имеющегося ресурса по видам производства, минимизирующий суммарные
затраты, если fi(x)=
, где ci > 0.
2.1.2. Пять заводов должны в совокупности произвести 100 т продукции.
При этом i-й завод для производства x т продукции использует fi(x) единиц сырья. Используя аналитический подход, найти план выпуска продукции заводами, требующий минимального количества сырья, если fi(x)=
а
=1, а4=5, а5=6.
3
, а1=2, а2=3,
2.1.3. Известен возможный прирост выпуска продукции четырех заводов
при осуществлении дополнительных инвестиций на их модернизацию и реконструкцию. Составить план распределения инвестиций в размере 100 д.е., максимизирующий общий прирост выпуска продукции.
2.1.4. Решить задачу 2.1.3 при условии, что 1-й и 2-й заводы могут осво-
ить не более 20 д.е. каждый.
2.1.5. Для увеличения объема выпуска продукции предприятиям выделе-
ны инвестиции в размере S д.е. Использование i-м предприятием x д.е. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением нелинейной функции fi(x). Найти распределение инвестиций между
предприятиями, обеспечивающее максимальный общий прирост выпуска продукции, если S = 600 д.е., значение fi(x) задано в таблице
7
Величина
вложенных средств
Прирост выпуска по предприятиям
1 2 3 4 50
17
25
20
30
100
38
40
35
45
150
50
48
52
50
200
55
56
60
55
250
60
62
68
68
х 1 2 3 4 5 g1(x)
60
64
68
78
90
g2(x)
40
42
50
58
66
g3(x)
38
41
48
60
66
Город
Доход от продажи х автомобилей
10
20
30
40
50
60 А 25
30
36
42
50
61 Б 23
32
38
40
53
57 В 18
33
35
45
57
64
)(m
i
3
2
10
)(mam
i
i
2.1.6. Распределить имеющиеся ресурсы в размере 250 д.е. между четырьмя предприятиями с целью получения максимального прироста выпуска
продукции, если увеличение выпуска в зависимости от объёма предоставленных средств характеризуется таблицей
2.1.7. Распределить пять однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи
x партий товара на i-м рынке – gi(x) представлен в следующей таблице
2.1.8. Решить задачу 2.1.7 при условии, что на 1-м рынке можно продать
не более трех партий товара, а на 2-м и 3-м не более двух.
2.1.9. Определить максимальный доход от продажи 100 автомобилей на
рынках трёх городов, если в соответствии с рыночным соглашением объем
продаж на каждом рынке не должен превышать 60 автомобилей.
2.1.10. Фирма продает 10000 машин на трех рынках.
– доход от про-
дажи m машин на i-м рынке. Полагается, что машины могут отправляться партиями только в целое число тысяч штук. Определить, сколько машин фирма
должна продавать на каждом рынке, чтобы получить максимальный доход при
условии, что на первый рынок должно быть отправлено не менее одной тысячи
машин, на третий – не менее 2 тысяч, а
необходимо развезти по 5 складам. Емкость i-го склада – vi контейнеров, затраты на транспортировку одного контейнера на этот склад – gi, стоимость хранения x контейнеров на нём – ci(x). Требуется развезти все прибывшие контейне-
, а1=3, а2=5, а3=2.
2.1.11. На железнодорожную станцию прибыло 8 контейнеров, которые
8
i
1 2 3 4 5
gi
0,5
1,0
1,2
1,5
2,0
vi 2 3 3 5
5 x
c1(x)
c2(x)
c3(x)
c4(x)
c5(x)
1
2,0
1,5
1,0
0,5
0,3 2 4,0
2,0
2,0
1,0
0,5 3 -
3,0
3,0
1,5
1,0 4 - - -
2,0
1,5 5 - - -
2,5
2,0
)(xf
i
х 1 2 3 4 5 6
f1(x)
150
300
400
500
500
500
f2(x)
130
250
360
500
600
800
f3(x)
100
200
300
600
700
700
f4(x)
80
180
250
400
800
800
f5(x)
50
100
200
400
500
600
х 1 2 3 4 5 6
f1(x)
50
100
200
400
500
600
f2(x)
130
250
360
500
600
800
f3(x)
100
200
300
600
700
700
f4(x)
180
180
250
400
800
800
f5(x)
150
300
400
500
500
500
x
f1(x)
f2(x)
f3(x)
10 7 8
9
20
15
14
14
40
35
30
32
50
47
47
41
100
70
58
69
ры по складам, чтобы суммарные затраты на их транспортировку и хранение
были минимальны.
2.1.12. Завод должен за пять лет произвести 15 крупных турбин. При этом
в один год он не может произвести больше 6 турбин.
– доход от реализа-
ции х турбин в i-й год. Определить, сколько турбин производить каждый год,
чтобы суммарный доход за пять лет был максимален.
а)
б)
2.1.13. Имеются три предприятия, между которыми необходимо распре-
делить 100 д.е. Значения прироста выпуска продукции на предприятиях в зависимости от объёма выделенных средств fi(x) представлены в таблице. Составить
оптимальный план распределения средств, позволяющий максимизировать общий прирост выпуска продукции.
а)
9
x
f1(x)
f2(x)
f3(x)
20
12
14
15
30
23
21
22
50
39
34
33
80
41
47
58
100
60
58
69
x
f1(x)
f2(x)
f3(x)
20 9 8
12
30
17
18
22
40
28
30
31
50
42
45
44
100
60
58
69
)(xf
i
x
f1(x)
f2(x)
f3(x)
1 3 5 9 2 2 11
14 3 8 9 15
i
1
2 3 ci 2 3
1 x
g1 (x)
g2(x)
g3 (x)
1
15
20
20
2
25
30
21
3
35
35
22
б)
в)
2.2. Задача о ранце
2.2.1. Завод может производить три вида изделий, но не более трех еди-
ниц изделий каждого вида в месяц. На производство единицы изделия первого
вида требуется 2 т сырья, второго вида – 3 т, третьего вида – 4 т. Общий объем
сырья в месяц – 8 т. Зависимость прибыли от реализации изделий i-го вида
от объема их реализации x показана в таблице
Определить, сколько изделий каждого вида необходимо производить в
месяц, чтобы максимизировать общую прибыль от их реализации.
2.2.2. Завод может производить 3 вида продукции в количестве, не превышающем пять единиц продукции каждого вида в год. gi(x) – количество единиц сырья для производства x единиц продукции i-го вида, ci – доход от реализации единицы продукции i-го вида. Общий объем сырья в год – 50 единиц.
Требуется определить, сколько единиц продукции каждого вида производить в
год, чтобы максимизировать суммарный доход.
10
4
44
40
23
5
48
50
28
Вид предмета
Вес
Стоимость
1 4 11 2 3 8 3 2 3
Вид предмета
Вес
Ценность
1 3 2 2 5 6 3 4 4 4 6
8
Вид предмета
Вес
Ценность
1 3 45 2 5
62 3 7
73 4 4
56
2.2.3. На острове находится геофизическое оборудование трех разновид-
ностей, имеющее различную стоимость и вес. Комплект оборудования первого
вида стоит 8 д.е. и весит 2 т, комплект оборудования второго вида – 9 д.е. и 3 т,
комплект оборудования третьего вида – 10 д.е. и 5 т, соответственно. В связи с
половодьем катер грузоподъёмностью 6 т срочно должен вывести на сушу
наиболее ценное в стоимостном выражении оборудование. Какими комплектами оборудования и в каком количестве необходимо загрузить катер?
2.2.4. Решить задачу 2.2.3 при условии, что на острове находится только
два комплекта оборудования первого вида.
2.2.5. Как загрузить самолет ограниченной грузоподъемности W грузом
наибольшей стоимости, если имеется три вида предметов и известна стоимость
и вес предмета каждого вида? W=10 т.
2.2.6. Решить задачу 2.2.5 при условии, что вес предмета первого вида ра-
вен 4,5 т, предмета второго вида – 3,8 т, предмета третьего вида – 2,6 т.
2.2.7. Найти такой набор предметов четырёх видов, который имеет сум-
марную ценность не менее 15 д.е. и помещается в ранец минимального веса.
2.2.8. Решить задачу 2.2.7 при условии, что ценность предмета первого
вида равна 2,2 д.е., предмета второго вида – 5,6 д.е., предмета третьего вида –
4,7 д.е., предмета четвертого вида – 8,3 д.е.
2.2.9. Найти такой набор предметов четырех видов, который имеет ценность не менее 256 д.е. и помещается в рюкзак минимального веса.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]