Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы принятия оптимальных решений в экономике. Практикум
.pdf
51
t
1 2 3 4 5
F(t)
36
42
53
68
72
t
Ptg
2)(
0
)1(600)( ttr
)10)(()(
10
ktхtx
k
)(10tх
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
)(10tх
2 3 4 6 7 8 10
12
14
16
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b(t)
300
280
260
250
230
200
200
200
200
200
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a(n)
50
100
150
200
250
300
400
500
600
700
8.5. Стоимость нового станка на начало рассматриваемого периода равна
50 д.е. Эксплуатационные расходы в момент времени t описываются функцией
F(t). Необходимо определить последовательность замен станка, чтобы суммарные расходы на его покупку и эксплуатацию были минимальны. Коэффициент
дисконтирования принять равным 18 %.
8.6. Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после этого продает-
ся. Стоимость нового оборудования Р
рудование можно продать за
=4000 д.е. После t лет эксплуатации обо-
0
д.е. Затраты на содержание в течение
года зависят от возраста t оборудования и равны
д.е. Определить
оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.
8.7. Транспортному агентству необходима в течение десятилетнего пери-
ода грузовая автомашина. Новую автомашину можно взять в аренду на любой
срок. По окончанию этого срока можно взять в аренду другую автомашину (новую) и т.д. Арендная плата d(t) за t-й год эксплуатации взимается в размере (16-
t) д.е. Годовые затраты после t лет эксплуатации машины в течение к-го года
составляют
, для k=1,…,9. Величины
заданы в таблице
Определить оптимальные моменты замены автомашины.
8.8. Ходовую часть морского танкера по мере износа необходимо либо
заменить, либо ремонтировать. Танкер будет эксплуатироваться ещё 10 лет. На
этот период требуется разработать график замены ходовой части. Можно считать, что продолжительность ремонта и замены мала и что они производятся в
начале года. Затраты b(t) на ремонт механизмов в t-м году отражены в таблице
Затраты на замену ходовой части равны 1000 д.е. Годовые затраты a(n) на
эксплуатацию ходовой части танкера зависят от времени n, прошедшего после
замены или ремонта и заданы в таблице
52
t 1 2 3 4 5 6 7 с(t)
100
105
110
115
120
125
130
n 1 2 3 4 5 6 7 в(n)
50
25
10 5 2 1 0
n 1 2 3 4 5 6 7 a(n)
30
40
50
50
60
70
100
8.9. Решить задачу 8.8, если нельзя проводить подряд более трех ремон-
тов ходовой части.
8.10. Заводу требуется дорогостоящий станок, который будет эксплуатироваться в течение семи лет. Стоимость нового станка с(t) в t-м году отражены
в таблице
Остаточная стоимость станка в(n) после n лет эксплуатации задана в таб-
лице
Затраты a(n) на эксплуатацию станка в течение года после n лет эксплуа-
тации заданы в таблице
Определить оптимальные моменты замены станка.
53
i
gi
gij
1 2 3 4 5 6 7 1 12
32
20
30
22
32
22
30 2 19
30
29
20
31
31
28
34 3 13
29
32
33
28
30
30
25 4 13
33
34
21
22
24
27
29 5 11
28
25
22
20
34
26
23 6 18
28
21
26
32
26
21
25 7 17
33
26
28
21
23
24
32
i
gi
gij
1 2 3 4 5 6 7 1 19
30
26
27
22
25
26
28 2 10
30
21
23
34
33
30
21 3 13
24
30
31
30
30
32
30 4 12
22
31
30
25
31
21
23 5 13
25
25
32
28
32
23
31 6 15
33
23
24
27
22
25
26 7 10
22
20
30
24
26
21
20
i
gi
gij
1 2 3 4 5 6 7 1 18
34
23
30
24
21
31
27 2 19
27
28
34
30
25
20
30 3 18
31
31
22
22
33
31
28 4 12
30
24
21
29
24
33
22 5 14
28
34
22
22
24
22
28 6 10
24
22
29
31
31
21
21 7 14
21
31
32
25
29
26
31
9. Задачи размещения
9.1. Имеется семь пунктов возможного размещения производства некото-
рой продукции и семь потребителей этой продукции. Каждому потребителю
продукция может поставляться только от одного производителя. Затраты на открытие производства в i-м пункте характеризуют величины g
служивание j-го потребителя i-м производителем – g
. Требуется определить, в
ij
каких пунктах открывать производство и осуществить привязку потребителей к
открытым пунктам производства, чтобы общие суммарные затраты были минимальны.
а)
, а затраты на об-
i
б)
в)
54
i
gi
gij
1 2 3 1 12
20
29
22
2
19
18
28
30 3 13
31
19
11
i
gi
gij
1 2 3 4 5 6 7 1 11
25
32
32
22
21
21
20 2 13
30
23
28
23
25
32
24 3 17
29
30
33
24
27
24
31 4 11
28
30
26
28
28
33
30 5 19
27
26
21
20
28
30
21 6 16
32
30
33
24
30
31
27 7 10
22
23
34
25
21
34
24
i
gi
gij
1 2 3 4 5 6 7 1 12
21
26
27
26
30
32
28 2 18
25
28
33
29
23
30
28 3 18
25
25
29
31
26
23
30 4 14
31
33
22
31
24
24
30 5 17
34
22
20
23
33
24
32 6 15
34
24
25
32
20
23
20 7 12
26
20
22
30
24
25
28
i
gi
gij
1 2 3 4 5 6 7 1 15
22
24
21
30
24
31
29
2
11
33
20
23
33
30
20
22
3
12
26
26
22
20
27
31
28 4 18
32
20
27
21
25
29
23 5 11
27
26
20
34
22
20
20 6 10
32
34
21
23
31
34
27 7 17
28
32
33
27
29
34
31
г)
д)
е)
ж) также составить математическую модель задачи, представить её в таб-
личном виде и вывести двойственную постановку
55
i 1 2 3 4 5 6 7 8
ai 6 3 7 2 8 4 4 5 bi 4 5 3 5 7 5 7 3 di 3 8 2 6 5 4 6
2
i 1 2 3 4 5 6 7 8
ai 4 5 3 5 7 5 7 3 bi 6 3 7 2 8 4 4 5 di 3 8 2 6 5 4 6
2
i
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i
20
30
10
15
40 7 12 5 14
10
ai
5
1
15
1
2
1
15
1
20
1
8
1
6
1
3
7
1
2
1
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ai
10
1
12
1
9
1
20
1
15
1
10
1
5
1
1
3
1
3
1
i 1 2 3 4 5 6 7 8
ai 8 4 7 5 4 7 8 3 bi 2 3 3 2 5 1 5
4
сi 6
10 8 6 8 5 9 5
10. Задачи теории расписаний
10.1. Восемь изделий должны быть обработаны на двух станках. Для
каждого i-го изделия известна длительность обработки на первом аi и втором bi
станках. Также известно, что i-е изделие можно начинать обрабатывать на втором станке не ранее, чем через di единиц времени после обработки его на первом станке. Порядок обработки на обоих станках одинаков. Найти порядок обработки изделий, минимизирующий суммарное время обработки.
а)
б)
10.2. Ремонтному мастеру поступил заказ на исправление 10 приборов.
Известны длительность наладки i-го прибора –
держку ввода в строй i-го прибора – а
. Определить порядок наладки приборов,
i
и удельные штрафы за за-
при котором суммарные потери за задержку минимальны.
а)
б) решить задачу 10.2 а) если штрафы за задержку следующие
10.3. На трех машинах должны быть обработаны 8 деталей. аi, bi, сi – длительности обработки i-й детали на I, II, и III машинах, соответственно. Найти
порядок обработки изделий, минимизирующий суммарное время обработки.
56
i
i 1 2 3 4 5 6
i
3 7 2 2 3
3
Di 8 6
14
10 5 2
ai
3
1
2
1
2
1
5
1
2
1
i 1 2 3 4 5 6
ai
2
1
1
2
1
1
5
1
3
1
i
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i
2 3 6 4 3 2 4 6 8
4
ai 5 6 8 3 4 10
15 8 4
2
i
i 1 2 3 4 5 6
7
t
i
0 1 0 3 5 0 4
i
6 5 8 6 7 8 10
Di
10 8 15
12
10
12
20
10.4. На некоторой установке должно быть испытано 6 различных приборов. Для каждого i-го прибора известна длительность испытания –
. Di – ди-
рективный срок, начиная с которого в каждую единицу времени до момента
окончания испытания начинают взимать удельный штраф аi за задержку испытания i-го прибора. Найти порядок поступления приборов на испытательную
установку, при котором штраф минимален.
а)
б) решить задачу 10.4 а), если штрафы за задержку следующие
10.5. На контейнерную станцию прибыло 10 контейнеров. Стоимость
хранения i-го контейнера на станции в единицу времени равняется а
. На стан-
i
ции имеется один грузовик, на который помещается только один контейнер.
– время, затрачиваемое грузовиком на доставку i-го контейнера до потреби-
теля. Определить порядок вывоза контейнеров.
10.6. В порт для загрузки прибывает флотилия из 7 судов. Известно время
прибытия i-го судна –
и время, необходимое для его загрузки – t
. По нормам
i
длительности стоянка i-го судна в порту не должна превышать величины Di.
Если длительность стоянки судна больше установленной нормы, то порт выплачивает штраф, пропорциональный величине наибольшей задержки.
57
11. Задачи теории массового обслуживания
11.1. Известно, что заявки на телефонные переговоры поступают с интен-
сивностью, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора
равна 2 мин. В результате статистического анализа установлен простейший характер потока заявок. Определить вероятность отказа в обслуживании заявки,
если имеется только один канал обслуживания.
11.2. В условиях задачи 11.1 определить оптимальное число каналов об-
служивания, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем
из каждых 100 заявок на переговоры не менее 70 заявок.
11.3. Достаточно ли одного окна для разгрузки автомашин с почтой, при-
бывающих с 4 маршрутов (на маршруте 1 машина) для того, чтобы среднее
время ожидания разгрузки не превышало 15 минут. Интенсивность входящего
потока равна 3 машины в час, интенсивность обслуживания – 2 машины в час.
11.4. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность
потока судов равна 0,4 судна в сутки. Среднее время разгрузки одного судна
составляет 2 суток. Определить вероятность того, что приходящее судно покинет порт без разгрузки (причал занят).
11.5. Каждая единица оборудования цеха в среднем требует обслуживания один раз в 30 минут. Средняя продолжительность обслуживания составляет
15 минут. Определить среднее число единиц оборудования, ожидающих обслуживания в очереди, если в цехе – 4 единицы оборудования, которые обслуживают 2 электромеханика.
11.6. Электромеханик обслуживает 5 единиц оборудования. В среднем
через 15 минут каждая единица оборудования требует обслуживания, продолжительность которого в среднем равна 2 минуты. Рассчитать показатели эффективности системы обслуживания.
11.7. Сколько каналов должна иметь телефонная сеть, чтобы вероятность
отказа на ней не превышала 15%, при интенсивности входящего потока – 40 занятий в час и среднем времени занятия канала – 0,1 часа.
11.8. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения
осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в
среднем 0,5 часа. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний – простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра,
не застаёт канал свободным, то она покидает пункт осмотра необслуженной.
Определить вероятности состояний пункта осмотра.
11.9. Решить задачу 11.8 для случая r=4 каналов. Определить среднее
число занятых каналов.
11.10. Возможны два варианта организации обслуживания 6 единиц оборудования: первый – обслуживание осуществляет 1 электромеханик и имеется 2
единицы резервного оборудования; второй – обслуживание осуществляют 2
электромеханика и имеется 1 единица резервного оборудования. Интенсив-
58
RПМЭЧЗкЭ
Э
n
Rk
k
PRkМ
1
)(
П
Э
П
об с
t
об с
t
ность потока требований на обслуживание равна 12 единицам оборудования в
час, среднее время обслуживания – 20 минут.
Определить более выгодный вариант с точки зрения минимизации произ-
водственных затрат (Э), равных
,
где к – коэффициент сменности работы электромехаников; З – затраты на
оплату труда одного электромеханика в единицу времени; Ч – численность
электромехаников;
– потери в связи с неисправностью единицы оборудова-
ния в единицу времени; М – математическое ожидание числа отказавших единиц оборудования, которое не может быть заменено резервным
(
);
– приведенные затраты на единицу резервного оборудо-
вания в единицу времени; R – количество резервного оборудования.
к=1, З=18 д.е./час,
=30 д.е./час,
=28 д.е./час.
11.11. Телефонная сеть имеет 6 линий. В среднем за минуту поступает 5
вызовов. Средняя продолжительность разговора составляет 1 минуту. Определить достаточно ли линий на сети для того, чтобы уровень отказов в соединении не превышал 20%.
11.12. В отделе технического контроля (ОТК) работают 5 контролеров.
Если деталь поступает на контроль, когда все контролеры заняты, она проходит
ОТК не проверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК на контроль
– 30 единиц в течение часа. Среднее время, затрачиваемое на контроль одной
детали, равно 10 минутам. Определить вероятность того, что деталь окажется
не проверенной ОТК. Насколько контролеры загружены работой?
11.13. Определить производственные затраты предприятия, используя
формулу, приведенную в задаче 11.10, для n=6 единиц оборудования; Ч=3 электромеханика; λ=7 единиц оборудования/час;
=15 мин; R=1 единица оборудо-
вания.
11.14. В зале находится 6 вещательных передатчиков, каждый из которых
в среднем через 45 минут требует обслуживания, средняя продолжительность
обслуживания составляет 15 минут. Определить оптимальную численность
электромехаников, обслуживающих передатчики, в интервале r[2,4], если в
качестве критерия оптимальности считать минимум суммарных потерь от простоев передатчиков из-за неисправности и простоев электромехаников, при
стоимости 1 часа простоя электромеханика равной 350 д.е., а 1 часа простоя передатчика – 5000 д.е.
11.15. Решить задачу 11.14 для
= 20 минут.
59
Недельный
спрос, ящиков
11
12
13
Вероятность
0,4
0,4
0,2
12. Деревья решений
12.1. Компания рассматривает вопрос о строительстве завода. Возможны
три варианта действий.
а) Построить большой завод стоимостью M1=650 тысяч долларов. При
этом варианте возможны большой спрос (годовой доход в размере R1=300
тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью р
спрос (ежегодные убытки R2=85 тысяч долларов) с вероятностью p2=0,3.
б) Построить маленький завод стоимостью М2=360 тысяч долларов. При
этом варианте возможны большой спрос (годовой доход в размере T1=120
тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью р
спрос (ежегодные убытки Т2= 60 тысяч долларов) с вероятностью р
в) Отложить строительство завода на один год для сбора дополнительной
информации, которая может быть позитивной или негативной с вероятностью
р
=0,9 и р4=0,1, соответственно. В случае позитивной информации можно
3
построить заводы по указанным выше расценкам, а вероятности большого и
низкого спроса меняются на р
=0,8 и р
5
=0,2 соответственно. Доходы на
6
последующие четыре года остаются прежними. В случае негативной
информации компания заводы строить не будет.
Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны дисконтироваться.
Нарисовать дерево решений и определить наиболее эффективную
последовательность действий, основываясь на ожидаемых доходах. Какова
ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?
12.2. Предположим, у вас имеется возможность вложить деньги либо в
7,5%-е облигации, которые продаются по номинальной цене, либо в
специальный фонд, который выплачивает лишь 1% дивидендов. Если
существует вероятность инфляции, то процентная (купонная) ставка возрастает
до 8%, и в этом случае номинальная стоимость облигаций увеличится на 10%, а
цена акций фонда – на 20%. Если прогнозируется спад, то процентная ставка
понизится до 6%. При этих условиях ожидается, что номинальная стоимость
облигаций поднимется на 5%, а цена акций фонда увеличится на 20%. Если
состояние экономики останется неизменным, то цена акций фонда увеличится
на 8%, а номинальная стоимость облигаций не изменится. Экономисты
оценивают в 20% шансы наступления инфляции и в 15% – наступление спада.
Представить задачу в виде дерева решений. Каково будет наилучшее решение,
если ориентироваться на максимизацию ожидаемой доходности вложений?
12.3. Посредническая фирма еженедельно закупает и распространяет
химические реактивы для фотолабораторий. Стоимость закупки ящика равна 50
д.е., доход от продажи ящика – 80 д.е. Статистика исследования спроса
приведена в таблице:
=0,7 и низкий
1
=0,7 и низкий
1
=0,3.
2
60
Если закупленный ящик остался непроданным, фирма несет убыток 50
д.е. Представить задачу в виде дерева решений. Определить размер запаса,
который целесообразно создать фирме с точки зрения максимизации
ожидаемой прибыли. Изменится ли решение, если единица неудовлетворенного
спроса клиента будет оценена (условно) в 45 д.е.?
12.4. У девелоперской фирмы есть возможность купить некоторую
недвижимость за 15 млн. руб. Если фирме дадут соответствующее разрешение
(вероятность чего равна 80%), то она сможет переоборудовать эту
недвижимость под офисы и перепродать за 18 млн. руб. Если разрешение не
будет получено, то можно будет сбыть эту недвижимость за 14 млн. руб. или же
подать апелляцию на решение органа, выдающего разрешения. Апелляция
обойдется в 50 тыс. руб. при вероятности успешного решения 20%.
Представить задачу в виде дерева решений. Стоит ли девелоперу покупать эту
недвижимость, если решение принимается исходя из максимизации ожидаемой
прибыли?
12.5. Пусть менеджер на предприятии должен решить, вкладывать ли
средства в изделие A или в изделие B (он не может сделать и то и другое из-за
финансовых ограничений). Согласно имеющимся оценкам, научноисследовательские работы по изделию A требуют инвестиций в размере 1,5
млн. д.е., но шансы, что исследования будут успешными и удастся
организовать производство изделия, равны всего 70%. С вероятностью 30%
будет получена доход от продаж в 4,5 млн. д.е., с вероятностью 40% доход
составит 9 млн. д.е., а с вероятностью 30% изделие не удастся продать. Научноисследовательские работы по изделию B, с другой стороны, будут стоить также
1,7 млн. д.е., но вероятность их успеха равна 100%. С вероятностью 80% будет
получена прибыль от продаж 5 млн. д.е., а с вероятностью 20% изделие не
удастся продать. Совокупные издержки производства и того и другого изделия
равны 1 млн. д.е. Представить задачу в виде дерева решений. Если политика
компании состоит в максимизации ожидаемой прибыли, то какая стратегия
будет наилучшей?
12.6. Компания решает вопрос о модификации разработанной модели
игровой приставки. Если отказаться от модификаций, то можно ожидать
следующий уровень продаж при различной цене приставки. При начальной
цене 89 д.е. (и средней за время жизни товара цене в 70 д.е.) с вероятностью
75% будет продано 80000 приставок и с вероятностью 25% – только 50000. При
начальной цене 79 д.е. (и средней за время жизни товара цене в 62 д.е.) продажи
с вероятностью 40% могут достигнуть 125000 приставок, и с вероятностью 60%
– только 100000. В любом случае себестоимость приставок будет равна 42 д.е.
Если же модифицировать приставку, то ситуация сложится следующим
образом. При начальной цене 109 д.е. (и средней за время жизни товара цене в
87 д.е.) с вероятностью 80% будет продано 80000 приставок и с вероятностью
20% – только 70000. При более низкой начальной цене 99 д.е. (и средней за
время жизни товара цене в 81 д.е.) будет с равной вероятностью продано либо
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]