Методы принятия оптимальных решений в экономике. Практикум

21

Код работы

1-2

1-3

1-4

2-3

2-4

3-4

3-5

4-5

Длительность

2 6 3 2 2 0 5

3

Ежедневно потребляемый объём ресурса

6 5 14 4 8 0 9

15

Номер дуги

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

Дуга

1-3

1-6

4-5

7-1

5-6

2-4

3-6

4-3

1-4

2-7

Длина дуги

2 8 3 1 4 5 2 5 5

4

Ежедневно потребляемый объём ресурса

5 6 3 5 2 8 9 9 2

3

Номер дуги

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

Дуга

3-4

4-1

3-2

4-5

4-6

6-5

6-7

5-7

2-6

1-7

Длина дуги

4 1 4 2 1 5 5 1 2

5

Ежедневно потребляемый объём ресурса

6 9 4 8 8 4 4 4 2

7

Номер дуги

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

Дуга

1-4

3-6

5-1

7-3

3-4

6-2

4-2

7-5

1-3

1-6

Длина дуги

2 5 1 1 5 2 1 2 3

5

Ежедневно потребляемый объём ресурса

2 8 8 6 4 3 6 2 2

4

ровать расписание работ, чтобы при данном ежедневном наличии ресурса выполнить проект за минимальное время. Нумерация событий правильная.

3.3.6. Для реализации комплекса работ ежедневно выделяется складируе- мый ресурс в размере 15 единиц в течение первых 10 дней выполнения проекта (включительно) и 5 единиц – в последующие дни. Построить график Гантта для позднего расписания работ и графики нарастающих функций выделяемого и потребляемого объёма ресурса до корректировки сетевой модели. Найти минимальное время завершения проекта и позднее расписание работ с учетом ресурсных ограничений.

3.3.7. Выполнить требования задачи 3.3.6, при условии, что ежедневный объём выделяемого ресурса составляет 15 единиц в течение первых 9 дней выполнения проекта (включительно) и 5 единиц – в последующие дни.

3.3.8. Выполнить требования задачи 3.3.6, при условии, что ежедневный объём выделяемого ресурса составляет 10 единиц в течение первых 9 дней выполнения проекта (включительно) и 3 единицы – в последующие дни.

22

Номер дуги

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

Дуга

2-3

5-4

3-6

1-3

5-1

2-1

4-2

2-7

7-6

1-7

Длина дуги

4 3 1 3 1 4 1 1 1

2

Ежедневно потребляемый объём ресурса

2 9 7 1 4 7 3 6 4

6

Работа

A B C D E F G H Q

V

Опирается на работу

E, H,B

G - C,F,A

-

E,H,B

V G V

-

Нормальный режим

5 5 20 5 18 5 5 5 25

5

Срочный режим

3 3 12 3 9 3 3 3 12

3

Стоимость в нормальном режиме

9,9

10,8

46,8

27,6

85,5

29,4

9,3

10,2

128,4

33

Плата за ускорение

6,6

7,2

31,2

18,4

85,5

19,6

6,2

6,8

139,1

22

Работа

A B C D E F G H Q V Опирается на работу

E

G,Q

-

C,H V E

-

G,Q V -

Нормальный режим

24

36

48

12

24

27

24

16

12

Срочный режим

18

27

36 9 18

18

18 9 9

Стоимость в нормальном режиме

41,4

259,2

104,4

91,8

45

50,4

199,8

205,2

105,3

108

Плата за ускорение

13,8

86,4

34,8

30,6

15

16,8

99,9

68,4

81,9

36

Работа

A B C D E F G H Q V Опирается на работу

E,H ,B

G,Q

-

C,F,A

-

E,H,B

-

G,Q V -

Нормальный режим

4 4 16 4 12 4 11 4 8

4

Срочный режим

3 3 12 3 9 3 6 3 3 3 Стоимость в нормальном режиме

12,9

13,8

58,8

18,6

40,5

20,4

42,6

22,2

23,1

24

Плата за ускорение

4,3

4,6

19,6

6,2

13,5

6,8

35,5

7,4

38,5

8

3.3.9. Выполнить требования задачи 3.3.6, при условии, что ежедневный объём выделяемого ресурса составляет 9 единиц в течение первых 9 дней выполнения проекта (включительно) и 3 единицы – в последующие дни.

3.3.10. Дана очередность выполнения работ некоторого проекта, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость работ при нормальном и ускоренном режиме их выполнения. Найти критическое время выполнения проекта, критические пути. Определить стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении критического срока на 4 дня.

а)

б)

в)

23

а) х

1-х2



-2

х1-2х

2



-13

3х1-х

2



6

х

1,х2



0

х

1+х2



max

в) х

1

-4х2-40

3х1-х

2



0 х1+х2-40 х

1,х2



0

х

1+х2



max

б) -2х

1+х2-х3



1

х

1

+2х

2-х3



3

х

1,х2,х3



0

10х2-3х

3



min

г) 3х1+х

2

-4х3-х

4



-3

2х

1

+4х2 +х

3-х4



3

х

1,х2,х3,х4



0

-4х1 -18х2-30х3-5х

4



max

д) 2х1+7х

3



4

5х1-4х

2+х3

=6

х

1,х3



0

3х

1

+2х

2

-6х

3



max

е) х1+х

4



8

х

2

+9х

3



3

х

1

+7х

2

=5

х

1



0

8х

1

+3х

2



min

ж) u2+6u

1



3 u3+11u4=2 u

3



0

5u2+u

3



max

з) х1+19х

3



18

х

1

+2х2+27х

3



5

х

1

+5х

2

=19

х

1,х2



0

102х

2

+3х

3



max

а) x*=(2,2) х

1+х2



4

-х

1

+2х

2



2 х

1

+2х

2



10

х

1,х2



0

2х1-х

2



min

в) x*=(3,2,0) х1-х2-3x

3



1

х1-2х2+x

3



-1

х

1,х2,x3



0

2х1-13х2-6x

3



max

б) x*=(4,2) х1-2х

2



0

х

1

+2х

2



2

2х

1+х2



10

х

1,х2



0

4х1-2х

2



max

г) x*=(

2

3

;

2

7

;

2

7

)

3х1-2х

2+х3



5

х

1+х2

+2х

3



10

-2х

1

+3х

2-х3



2

х

1,х2,х3



0

х

1

+3х2+2х

3



min

д) x*=(0,

6

13

) 10х

1

+8х

2



25

5х

1

+6х

2



13

х

1

+4х

2



10

х

1,х2



0

-10х1 -66х

2



min

и) х1+х

2

=8

4х2-15х

1



3

6х

1+х3



4

х

2

+8х

3



6

х

1,х2



0

10х

1

+18х

2

-13х

3



max

л) х1+3х

2



18

2х

1+х2



16

х

2



5

3х

1



21

х

1

, х

2



0

2х

1

+3х

2



max

к) 3х2+х

4



3

8х

1

+2х

2



4

х

3

+4х

2



6

х

1,х4



0

45х

1



min

4.1.1. Составить задачи двойственные данным

б)

к) л)

4.1.2. Составить задачи двойственные данным и найти их решение, ис-

пользуя теоремы двойственности

4. Линейное программирование

4.1. Построение двойственных задач

24

Наименование показателя

Первый вид транспорта

Второй вид транспорта

1 Число возможных рейсов

7

10

2 Количество перевозимого груза за один рейс, кг

- груз А

- груз Б

- груз В

9 0

50

3 100 100

3 Затраты на один рейс, д.е.

2,0

1,5

г) х1+х

2



4

2х1-х

2



2

-х1-2х

2



-10

х

1,х2



0

2х1-х

2



min

е) х1+4х

2



32

3х1+2х

2



36

х

1



8

х

1,х2



0

х1+2х

2



max

д) -2х

1+х2



2

х1-2х

2



-8

х

1+х2



5

х

1,х2



0

х1-х

2



max

з) x*=(0,5,

2

25

,0)

4х

1

+2х2+2х3+х

4



35

х

1+х2

+2х3+3х

4



30

3х

1+х2

+2х3+х

4



40

х

1,х2,х3,х4



0

14х

1

+10х2+14х3+14х

4



max

и) x*=(0,1,1,0)

-2х

1+х2+х3



2

х1-х2-х

4



-1

х

1,х2,х3,х4



0

-6х

1

+10х2+9х3+8х

4



min

е) x*=(0,0,

4

1

,

4

1

)

2х

2

+3х3+х

4



1

х

1

+3х2+х

3-х4



0

х

1,х2,х3,х4



0

4х

1

+15х2+12х3+2х

4



min

ж) x*=(45,0) 2х

1

+3х

2



90

х

1

+4х

2



48

х

1,х2



0

12х1+16х

2



max

а) х1+х

2



2

-х

1

+2х

2



4

х

1

+2х

2



8

х

1,х2



0

2х1-6х

2



max

в) х

1

-4х2-40

3х1-х

2



0

х

1+х2

-40

х

1,х2



0

х

1+х2



max

б) 3х1+х

2



9

х

1

+2х

2



8

х

1

+6х

2



12

х1,х

2



0

4х

1

+6х

2



4.2. Графический метод

4.2.1. Необходимо перевезти груз А, Б, В в объёме 30 кг, 300 кг и 500 кг,

соответственно. Для этого можно использовать два вида транспорта, характеристики которых приведены ниже. Определить геометрически количество рейсов каждого вида транспорта, чтобы стоимость перевозки всех грузов была минимальна.

4.2.2. Решить задачи геометрически

25

Вид ресурса

Запас ресурса

Число единиц ресурса, затрачиваемое на

изготовление единицы продукции

Р1

Р2

С1

18 1 3

С2

16 2 1

С3

5 - 1

С4

21 3 -

и) 4х1+5х

2



100

х

1+х2



20

х

1,х2



0

10х1 +12х

2



min

ж) х1+х

2



8

2х1-х

2



1

х1-2х

2



2

х

1,х2



0

3х

1

+3х

2



max

з) х1+х

2



4

2х1-х

2



1

х1-2х

2



1

х

1,х2



0

2х1-3х

2



min

б) 2х1+х2+х

3-х4

+2х

5

≤2

-2х1-2х2-х3-х

4



-13

х

1,х2,х3,х4,х5



0

5х

1

+8х2+2х

3

-2х

4

+3х

5



max

а) х

1

-2х2-х

5



-10

-х1-2х3-х

4

+2х

5



8

х

1,х2,х3,х4,х5



0

-10х2 -10х3-2х

4

+5х

5



min

в) -2х1-2х2-х3≤-12

-х

1+х2

-2х3≤-12

х

1,х2,х3



0

-8х1-7х2-7х

3



max

г) 2х

1

-2х2-2х3-2х4≤-6

-2х1-2х2-х3≤-4 х

1,х2,х3,х4



0

4х1-13х2-11х3-6х

4



max

д) -2х

1

+2х2+2х

3

+2х

4



12

х

1+х2

-2х4≤-3

х

1,х2,х3,х4



0

5х1-8х2-16х3-14х

4



max

е) 2х1+2х2+х

3

≤18 х1-х3≤-1 х

1,х2,х3



0

11х1+3х

2

+5х

3



max

з) -х

1+х2

+2х

3

≤2 2х3≤4 х

1,х2,х3



0

-5х1+2х

2

+16х

3



max

и) -х

2+х3

-2х4≤-15

2х1-2х

2

+2х

3

-2х

4



-20

х

1,х2,х3,х4



0

-16х

1

+5х

2

-8х

3



max

4.2.3. Решив графически двойственную задачу, найти решение следую-

щей

4.3. Симплекс-метод

4.3.1. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используются че-

тыре вида сырья С1, С2, С3, С4. Найти такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальна. Составить математическую модель задачи.

26

Питательное

вещество

Необходимый

минимум

питательных веществ, кг

Число единиц питательного вещества в 1 кг

корма

А

В

С1

9 3 1

С2

8 1 2

С3

12

1

6

Вид сырья

Запас сырья

Нормы расхода сырья на одно изделие

А

В

С1

300

12

4

С2

120 4 4

С3

252 3 12

Прибыль от реализации одного изделия, д. е.

-

30

40

Прибыль, получаемая от реализации единицы продукции Р1 и Р2 равна,

соответственно, 2 д.е и 3 д.е.

4.3.2. Имеются два вида корма А и В, содержащие питательные вещества

С1, С2, С3. Составить из этих кормов рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела. Составить математическую модель задачи.

Стоимость 1 кг корма А и В соответственно равна 4 и 6 д.е.

4.3.3. Для изготовления двух видов изделий А и В используются три вида сырья С1, С2, С3. Найти такой план выпуска изделий, при котором прибыль от их реализации будет максимальна, при условии, что изделий В необходимо выпустить не менее, чем изделий А. Составить математическую модель задачи.

4.3.4. Для изготовления брусьев длиной 1,2 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступает 195 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий получение максимального числа комплектов. Составить математическую модель задачи.

4.3.5. Рацион для питания животных состоит из двух видов кормов. Один килограмм корма первого вида стоит 80 д.е. и содержит 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма второго вида стоит 10 д.е. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов. Определить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед. Составить математическую модель задачи.

4.3.6. Трем бригадам предстоит выполнить работы на трех участках производства. Найти такой вариант распределения бригад по участкам, при котором затраты на оплату труда будут минимальны, а каждая работа будет выполнена в течение 18 часов. Составить математическую модель задачи.

27

Участок

Выработка бригады за 1 час

работы, ед.

Стоимость одного часа работы

бригады, д.е.

Объем

работы,

ед.

1 2 3 1 2

3 I 10

15

18

400

470

600

190

II

12

16

20

480

500

620

240

III

14

10

20

360

280

500

160

Земля

Площадь, га

Культуры

Урожайность, ц/га

Затраты, д.е./га

Лучшая

100

пшеница рожь овес

30 25 28

10

8 7

Обычная

200

пшеница рожь овес

20 20 26

10

8 7

Худшая

неограничена

пшеница рожь овес

15 15 25

10

8 7

Вид ресурса

Объём

ресурса

Нормы расхода ресурса на единицу товара

Т1

Т2

Т3

С1

450

1,5

2,0

3,0

С2

600

3,0

2,0

1,5

Доход от реализации единицы товара, д.е.

-

50

65

70

4.3.7. Решить задачу 4.2.1 симплекс–методом.

4.3.8. В фермерском хозяйстве имеется несколько земельных участков,

качественно отличающихся друг от друга. Хозяйство возделывает несколько видов культур. Необходимо определить, какую площадь каждого участка следует отвести под каждую культуру, чтобы получить запланированные объёмы продукции при минимальных затратах. Составить математическую модель задачи.

План по пшенице – 5000 ц., ржи – 3500 ц., овсу – 5000 ц.

4.3.9. Магазин реализует три вида товара Т1, Т2 и Т3. Для этого исполь- зуется два вида ограниченных ресурса С1 и С2. Найти план продаж, максимизирующий доход магазина, при условии, что общий товарооборот должен быть не ниже 240 ед. Составить математическую модель задачи.

4.3.10. Для изготовления двух видов продукции П1 и П2 используется три производственные операции А, В, С. Доход от продажи одной тонны продукции П1 составляет 150 д.е., а одной тонны П2 – 75 д.е. Необходимо максимизировать общий доход от продажи продукции за месяц при ограничениях, заданных ниже. Составить математическую модель задачи.

28

Производственная

операция

Общий ФРВ,

чел–ч/мес

Необходимый ФРВ, чел–ч/т.

П1

П2

А

1000

10

4

В

360 3 2

С

600 2 5

Вид

продукции

Нормы расхода сырья на единицу продукции

Прибыль от

реализации

единицы продукции, д.е.

С1

С2

С3

Р1

1,0

2,0

1,0

10

Р2

3,5

0,5

1,0

20

Общий объем сырья

350,0

240,0

150,0

-

4.3.11. Для производства двух видов продукции Р1 и Р2 используются три вида сырья С1, С2, С3. Найти такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальна и не менее 1400 д.е., а также общий выпуск продукции Р1 и Р2 – не менее 110 ед. Составить математическую модель задачи.

4.3.12. Необходимо распилить 20 брёвен длиной 6 м каждое на бруски по 2 м и 3 м, при этом должно получиться равное количество брусков каждого размера. Составить такой план распила, при котором будет получено максимальное число комплектов, и все брёвна будут распилены. Составить математическую модель задачи.

4.3.13. Имеется 80 м3 еловых и 180 м

3

пихтовых лесоматериалов. Эти материалы можно использовать для изготовления фанеры двух сортов. Для изготовления 10 м

2

фанеры первого сорта требуется а1 м

лесоматериалов, а для изготовления 10 м и в ставляет 60 д.е., а со 100 м план производства, если а

3

м

пихтовых лесоматериалов. Прибыль со 100 м2 фанеры первого сорта со-

2

фанеры второго сорта – 40 д.е. Найти оптимальный

= 1, в1=1,5, а2= 0,5, в2=2. Составить математическую

1

2

фанеры второго сорта – а2 м

3

еловых и в1 м

3

пихтовых

3

еловых

модель задачи.

4.3.14. Решить задачу 4.3.13, если а1= 0,75, в1=1,5, а2= 0,25, в2=1,5.

4.3.15. Решить задачу 4.3.13, если согласно плану поставок необходимо

произвести не более 500 м

2

фанеры первого сорта.

4.3.16. Решить задачу 4.3.13, если согласно плану поставок необходимо

произвести не менее 600 м2 фанеры второго сорта.

4.3.17. На завод поступила партия 70 труб длиной 10 м каждая. Из них необходимо нарезать три типа заготовок длиной 6 м, 4 м и 3 м в соотношении, соответственно, 10:20:30. Найти оптимальный план распила труб, обеспечивающий получение максимального количества комплектов заготовок.

4.3.18. Горнолыжный курорт предоставляется на определенное время для тренировок олимпийской сборной, а в остальное время открыт для любительского катания. Он работает ежедневно с 10 часов до 22 часов. Мощность мест-

29

Ингредиент

Чизбургер

Гамбургер

Запас ресурсов на 1 час

Горчица, мл

0,6

27

Кетчуп, мл 8 5

300

Мясо, г

40

65

2600

Сыр, г

15 0 450

Питательные

вещества

Мин.

суточная

потребность, г

Содержание питательных веществ в 100 г продукта

Хлеб

ржаной

Масло

Творог

жир-

ный

Крупа

греч-

невая

Мясо

Колба-

са вареная

Яблоки

Мор-

ковь

Белки, г

90

6,6

0,6

14

12,6

14,3

12,1

0,4

1,3

Жиры, г

95

1,2

82,5

18

3,3

33,3

13,5

0,4

0,1

Углеводы, г

330

34,2

0,8

2,9

62,1 0 0

9,8

7,2

Ретинол (вит. А)

0,00017

0

0,54

0,1

0,3 0 0 0 0

Каротин (вит. А)

0,0059

0

0,38

0,08

0,01 0 0

0,03

9

В1, мг

0,0013

0,18

0

0,05

0,43

0,4

0,06

0,03

0,06

В2, мг

0,0017

0,08

0,1

0,3

0,2

0,3

0,13

0,02

0,07

РР, мг

0,018

0,67

0,05

0,3

4,19

2,2 0 0,3

1

ной электростанции такова, что она вырабатывает электроэнергию на сумму не более 1000 д.е. в неделю, из которой 100 д.е. необходимо затрачивать на освещение. Остальные средства идут на работу подъемников. Во время тренировок сборной на склоне работает один подъемник, который затрачивает электроэнергию на 5 д.е. в час, для коммерческого катания (в среднем количество катающихся составляет 50 человек) запускается четыре аналогичных подъемника. Среди отдыхающих 100% пользуются подъемником, прибыль от которого составляет 4 д.е. в час с каждого катающегося, 60% берут на прокат снаряжение, что приносит прибыль 3 д.е. в час за комплект, 10% нанимают инструктора, что приносит курорту еще по 5 д.е. дохода в час с каждого обучающегося. Рассчитать, какое количество часов в неделю склон должен быть предоставлен олимпийской сборной и какое – должен быть открытым для любительского катания, если сборная платит за аренду склона 105 д.е. в час (в цену включен подъемник) и ей необходимо для тренировок не менее 20 часов в неделю. Прибыль от работы горнолыжного курорта должна быть максимально возможной.

4.3.19. В ресторанах «McDonald’s» был проведен конкурс на самую популярную продукцию. Наибольшее признание получили два вида сендвичей: чизбургеры и гамбургеры. Для приготовления сендвичей требуется горчица, кетчуп, мясо, и сыр в пропорциях, которые указаны в таблице

Прибыль от реализации одного чизбургера составляет 20 д.е., а от реали-

зации гамбургера 15 д.е. Какое количество сендвичей каждого вида нужно изготавливать в час, чтобы прибыль ресторана была максимальной? При этом нужно учесть, что для обеспечения ассортимента сендвичей каждого вида необходимо изготавливать не менее 15 шт. в час.

4.3.20. Пусть имеются 8 видов продуктов содержащих 9 питательных ве-

ществ и незаменимых компонент. Известно количество питательного вещества, содержащегося в 100 граммах продукта, ежесуточная минимальная потребность организма в питательных веществах и стоимость 100 грамм продукта.

30

С, мг

0,08 0 0

0,3 0 0,1 0 165

5

Стоимость 100 г продукта

1,7

25 8 1,8

16

12 3 2,5

Вид ресурса

I

II

III

IV V VI

VII

М, кг/ед.

0,2

0,3

0,1

0,2

0,1

0,2

А, кг/ед.

0,4

0,1

0,2

0,4

0,3

0,2

С, кг/ед.

0,3

0,1

0,2

0,1

0,2

0,1

H, час/ед.

0,04

0,03

0,04

0,02

0,01

0,02

0,01

P, час/ед.

0,05

0,035

0,02

0,04

0,02

0,03

0,06

Прибыль, д.е./ед.

580

350

450

300

225

350

50

Машины

Производительность машин

П1

П2

П3

М1

0,78

0,44

0,12

М2

0,42

0,48

0,36

М3

0,25

0,42

0,29

Nj

500

250

260

Требуется рассчитать суточную диету так, чтобы обеспечить необходимое

количество питательных веществ и незаменимых компонент при минимальных затратах на продукты.

4.3.21. Компания производит семь различных изделий. Обозначим их

условно как I, II, III, IV, V, VI и VII. Для их производства используются три основных типа сырья М, А и С. Причем для следующей рабочей недели подготовлено и обработано специальным образом 500 кг сырья М, 750 кг сырья А и 350 кг сырья С. В процессе производства используется основное оборудование двух типов: H и P. С учетом переналадок и сервисного обслуживания H имеет ресурс 12 рабочих часов в день, а P – 15 рабочих часов. В таблице отражены требования на ресурсы со стороны всех семи изделий и приносимая каждым из них прибыль.

Необходимо найти оптимальный план производства на предстоящую не-

делю с целью максимизации прибыли. Следует учесть, что компания уже имеете заказ на изделие IV – 100 штук, а также что, производить больше чем 600 штук изделия II и больше чем 700 штук изделия V в неделю не разумно.

4.3.22. Предприятие имеет n моделей машин М1, М2,…, Мn различных

мощностей. На этих машинах предприятие выпускает m видов продукции П1,

П2,…, П

. Известны производительность каждой i-й машины по выпуску j-го

m

вида продукции bij и стоимость единицы времени, затрачиваемого i-й машиной на выпуск одного изделия j-го вида продукции − cij. При этом продукции j-го вида должно быть выпущено не менее Nj единиц. Все машины работают заданное время Т=1300 временных единиц. Требуется составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство. Количественные данные приведены в следующих таблицах.