Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации сложных систем. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный университет промышленных
технологий и дизайна»
И. Н. Смирнов
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Утверждено Редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
Санкт-Петербург
2017
2
УДК 519.8(075.8)
ББК 22.1я73
С50
Рецензенты:
профессор Санкт-Петербургского государственного электротехнического
университета «ЛЭТИ», доктор технических наук
Е. М. Антонюк;
заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики
Санкт-Петербургского государственного университета промышленных
технологий и дизайна, доктор технических наук, профессор
Е. В. Полякова
Смирнов, И. Н.
С50 Методы оптимизации сложных систем: учеб. пособие / И. Н. Смирнов. −
СПб.: ФГБОУВО «СПбГУПТД», 2017. − 86с.
ISBN 978-5-7937-1470-9
Учебное пособие содержит краткое изложение разделов теории,
охватывающих вопросы разработки моделей и методы получения оптимальных решений. Это линейное и нелинейное программирование,
оптимальное управление на базе принципа максимума, динамическое
программирование. Одна из глав посвящена классическому вариацион-
ному исчислению как фундаменту ряда современных методов оптими-
зации. В качестве основной сферы приложений предполагается разработ-
ка автоматизированных систем управления.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению
15.04.04 – Автоматизация технологических процессов и производств.
УДК 519.8(075.8)
ББК 22.1я73
ISBN 978-5-7937-1470-9 © ФГБОУВО «СПбГУПТД», 2017
© И. Н. Смирнов, 2017
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………………….…..
4
Глава 1. Линейное программирование (ЛП)…………………………………….
7
§ 1.1. Примеры постановок задач ЛП……………………………………….
7
§ 1.2. Эквивалентные формы задач ЛП……………………………………..
10
§ 1.3. Геометрический смысл задач ЛП (допустимая область)……………
14
§ 1.4. Геометрический смысл задач ЛП (оптимальные решения)…….……
17
§ 1.5. Понятие о симплекс-методе…………………………………….……..
19
§ 1.6. Двойственность в ЛП……………………………………………..……
21
§ 1.7. Задачи целочисленного ЛП…………………………………….………
22
Глава 2. Нелинейное программирование (НЛП)……………………….……….
24
§ 2.1. Постановка и особенности задач НЛП………………………….……
24
§ 2.2. Одномерная оптимизация……………………………………………..
27
§ 2.3. Выпуклое программирование…………………………………………
33
§ 2.4. Градиентные методы…………………………………………….…….
34
§ 2.5. О роли единиц измерения в градиентных методах…………………..
37
§ 2.6. Метод штрафных функций…………………………………………….
40
Глава 3. Методы вариационного исчисления…………………………………..
43
§ 3.1. Постановка задач вариационного исчисления……………….……….
43
§ 3.2. Классические примеры вариационных задач………………….……..
44
§ 3.3. Решение простейшей вариационной задачи………………………….
47
§ 3.4. Частные случаи функционалов………………………………………..
49
§ 3.5. Решение задачи о брахистохроне……………………………….…….
51
§ 3.6. Решение задачи о равновесии тяжелой нити…………………………
53
Глава 4. Оптимальное управление (принцип максимума)……………………..
57
§ 4.1. Постановка задач оптимального управления…………………………
57
§ 4.2. Принцип максимума в задаче об оптимальном быстродействии…..
59
§ 4.3. Оптимальный регулятор уровня…………………………..………….
61
Глава 5. Динамическое программирование (ДП)………………………………
67
§ 5.1. Постановка и примеры задач ДП………………………………………………..……
67
§ 5.2. Траектории в пространстве состояний. Принцип оптимальности.........
70
§ 5.3. Алгоритм ДП……………………………………………………………
73
§ 5.4. Оптимальный график установки оборудования……………………..
77
Заключение……………………………………………………………………….
82
Библиографический список………………………………………………………
83
Приложение А. Элементы аналитической геометрии в n-мерном
евклидовом пространстве………………………………………………………..
84
Приложение Б. Сведения о гиперболических функциях………………………
86
4
В мире не происходит ничего,
1
в чем не был бы виден смысл какого-либо
максимума или минимума.
Л. Эйлер
ВВЕДЕНИЕ
Оптимизация – это выбор решений, наилучших с точки зрения опреде-
ленных критериев, с учетом имеющихся ограничений. Понятие сложных
систем, упомянутое в названии пособия, часто встречается в литературе, но не
имеет общепринятого определения. Исходя из целей дальнейшего изложения,
будем считать систему сложной, если ее исследование и оптимизация требуют
применения специально разработанных методов.
Задачи и методы оптимизации можно подразделить на несколько групп,
отличающихся прикладной направленностью и математическим аппаратом. Ча-
сто их обозначают термином «исследование операций», подразумевая под этим
«применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности». Эта
цитата взята из книги [4], которая может служить прекрасным введением в
предмет.
Разные авторы включают в тематику исследования операций различные
проблемы. Среди них чаще всего встречаются математическое программирование (линейное и нелинейное), динамическое программирование1, модели и
методы оптимального управления, теории статистических решений. Несколько
обособленно располагаются методы теории расписаний, теории массового обслуживания, сетевого планирования, управления запасами, теории игр, хотя к
сфере оптимизации они определенно относятся. Ряд проблем объединяют понятием «принятие решений».
Наиболее важные области приложений методов оптимизации – это ин-
женерные задачи и проблемы экономического характера. Значительная часть
методов была порождена военными потребностями.
С практической точки зрения оптимизация − это всегда достижение по возмож-
ности лучших результатов: технических характеристик приборов и оборудования,
свойств продукции, показателей функционирования производства и т. п.
Однако кроме получения наилучших результатов у теории оптимизации
есть еще один важный аспект. Это анализ физических явлений и их математи-
ческое оформление, исходя из вариационных принципов, согласно которым
реализуется такое поведение физической системы, при котором достигается
экстремум некоторого показателя, например потенциальной энергии.
Задачи оптимизации известны с древнейших времен, и их история про-
слеживается параллельно с историей математики. В качестве наиболее
заметных вех в начале развития современной теории оптимизации можно
Слово «программирование», встречающееся в названиях, не означает разработку
программ для вычислительных машин. Оно отражает одно из значений английского pro-
gramming − составление программы действий, планирование.
5
назвать создание раздела математического анализа об экстремумах функций
1
одной и многих переменных и разработку Л. Эйлером и Ж. Лагранжем вариационного исчисления.
Для конца 19-го и начала 20-го веков характерен интерес к задачам, имеющим непосредственное практическое значение [5]. Известны исследования
профессора Кембриджского университета Ч. Бэббиджа (C. Babbage) в органи-
зации промышленности и торговли. Значительное место занимают работы
американского инженера Ф. Тейлора (F. Taylor) по научной организации труда.
Важные разработки в области теории и практики телефонной связи принадле-
жат датскому математику и инженеру А. Эрлангу (A. Erlang).
В области анализа военных операций1 широко известны работы английского математика Ф. Ланчестера (F. Lanchester), впоследствии продолженные и
другими исследователями в годы второй мировой войны и после нее.
В 20-х годах американский исследователь Г. Левинсон (H. Levinson) выполнил ряд работ в области оптимизации торговли.
В 1939 г. советский математик Л. Канторович, решая задачи промышлен-
ности, создал новый математический аппарат линейного программирования,
развитый затем в конце 40-х годов в США школой Д. Данцига (G. Dantzig).
Вторая половина 20-го века отмечена развитием методов нелинейного
математического программирования и других средств, допускающих эффек-
тивное применение вычислительной техники.
Возникло новое направление − теория оптимального управления. Одним
из ее крупнейших достижений стало создание в конце 50-х годов советским
ученым Л. С. Понтрягиным и его учениками метода, в основу которого была
положена новая теорема − «принцип максимума».
К этому же времени относятся многочисленные труды американского математика Р. Беллмана (R. Bellman) по применению метода динамического
программирования на основе простого, но эффективного «принципа оптимальности».
В последние годы в сферу исследования операций стали включать задачи
принятия решений в условиях неопределенности, на базе экспертных оценок и
нечеткой логики.
В предлагаемом пособии освещены вопросы, представляющиеся наибо-
лее важными с учетом ресурсов, диктуемых учебными планами. Это
математическое программирование, классическое вариационное исчисление,
оптимальное управление на основе принципа максимума, динамическое про-
граммирование. Изложение предполагает стандартный уровень математической
подготовки в рамках бакалавриата по специальности «Автоматизация техноло-
гических процессов и производств» и ориентировано на прикладные задачи,
присущие инженерной практике.
В конце пособия имеются два небольших приложения. Одно из них со-
держит сведения из аналитической геометрии в n-мерном евклидовом
пространстве E
, которые могут оказаться полезными при чтении первых двух
n
Это направление и породило название «исследование операций».
6
глав. Во втором приведены краткие сведения о гиперболических функциях,
встречающихся в одном из параграфов главы 3.
В пределах каждой главы сохраняется сквозная нумерация формул, ри-
сунков, таблиц и смысл большинства обозначений. Небольшие примеры,
встречающиеся по мере изложения, выделены знаком ▲ в начале и ▼в конце.
7
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЛП)
( 1,2,..., )
j
b j m
j
ji
a
j
( 1,2,... )i i n
i
c
12
, ,...
n
x x x
1
min
n
ii
icx
§ 1.1. Примеры постановок задач ЛП
Линейное программирование составляет важный частный случай задач
оптимизации, входящих в раздел математического программирования. Основная задача этого раздела – поиск наибольших или наименьших значений
некоторой функции многих переменных при возможном наличии ограничений.
Общая постановка задач математического программирования подробнее
еще будет рассмотрена в следующей главе. Подлежит обсуждению и вопрос о
причинах, вызывающих потребность в разработке новых по сравнению с клас-
сическим анализом методов.
Целесообразность же предварительного рассмотрения задач ЛП обуслов-
лена их широким распространением и полнотой имеющегося теоретического
обоснования. К тому же изучение задач ЛП началось раньше, чем появились
более общие формулировки математического программирования. Обратимся
сначала к некоторым практическим примерам.
▲ Пример 1.1. Задача о смеси
Имеется в виду получение смеси компонентов, обеспечивающей наилучший в некотором смысле результат (свойство, стоимость и т. п.) при
ограниченных возможностях их выбора. Для определенности предположим, что
речь идет о создании корма для животных из имеющихся продуктов.
Пусть
n – количество видов продуктов (овощи, отходы хлебопекарного и мясомолочного производства и т. п.);
m – количество контролируемых питательных веществ в суточном рационе (белки, углеводы, витамины и т. д.);
− минимальная суточная потребность в веществе с номе-
ром
вида
, исчисляемая в некоторых единицах, например, килограммах;
− количество единиц вещества
, содержащихся в единице продукта
;
− стоимость единицы продукта вида i.
Требуется найти потребляемое за сутки количество продукта каждого ви-
да
, такое, чтобы стоимость их смеси оказалась минимальной, а
потребность во всех питательных веществах была бы удовлетворена.
Условие минимума стоимости запишем в виде
. (1.1)
Стрелка указывает, что стоимость, представленная суммой в левой части, долж-
на достигать минимума.
Условия удовлетворения потребности во всех веществах отразим m неравенствами
8
1
( 1, 2,..., ).
n
ji i j
i
a x b j m
0( 1, 2,..., ).
i
x i n
m
j
b
j
( 1,2,..., )jm
ji
a
i
( 1,2,..., )in
i
c
i
i
x
0
i
A
.
ii
BA
1
max;
n
ii
icx
1
( 1, 2,..., );
n
ji i j
i
a x b j m
( 1, 2,..., );
ii
x A i n
( 1, 2,..., ).
ii
x B i n
(1.2)
Необходимо выдвинуть еще n требований – условий неотрицательности
искомых переменных (количеств продуктов)
(1.3)
Если этого не сделать в явном виде, то при формальном решении (а на него и
следует рассчитывать) часть переменных может оказаться отрицательными, что
не будет соответствовать физическому смыслу. Условия неотрицательности со-
путствуют большинству постановок задач ЛП. ▼
Отметим некоторые особенности постановки, обнаруживаемые в этом
примере и присущие всем задачам ЛП. Главная, обусловившая название всему
кругу задач, – это линейность относительно переменных всех выражений, входящих в состав условий. Каждое из них – это сумма произведений переменных
на постоянные коэффициенты или более простой частный случай такой формы.
Еще одна особенность – отсутствие строгих неравенств в составе ограничений: допускается возможность равенств. Решение задач ЛП всегда
достигается на границе области, определяемой ограничениями. Поэтому, когда
нет возможности выхода на границу, формальное решение может просто не существовать. Свойства решений еще будут обсуждаться в дальнейшем.
▲ Пример 1.2. Задача о выпуске продукции
Допустим, номенклатура выпускаемой продукции включает в себя n
наименований, и имеется
пронумерованных видов ресурсов (сырье, энергия,
рабочая сила и т. п.). Пусть далее
объем имеющегося ресурса с номером
;
ванием
Имеются ограничения на объемы
дукции: не менее
обеспечивающие максимальную прибыль.
Формальная запись всех приведенных условий имеет вид
▼
затраты ресурса j на производство единицы продукции с наимено-
прибыль от производства единицы продукции наименования
;
.
выпуска каждого наименования про-
и не более
Требуется определить объемы,
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
9
▲ Пример 1.3. Транспортная задача
i
A
( 1, 2,..., )in
j
B
( 1,2,..., )jm
11
nm
ij
ij
AB
j
ij
c
ij
x
11
min;
nm
ij ij
ij
cx
1
m
ij i
j
xA
( 1, 2,..., );in
1
n
ij j
i
xB
( 1, 2,..., );jm
0.
ij
x
mn
A
1
A
2
. . .
A
n
B
1
B
2
. . .
B
m
Имеется n пронумерованных пунктов производства и m − потребления
некоторой однородной продукции, связанных транспортной сетью (рис. 1.1).
Рис. 1.1. К транспортной задаче
Объемы производимой продукции обозначены
, а потребляе-
мой −
. Общие объемы производства и потребления
сбалансированы – равны между собой:
. (1.8)
Стоимость транспортировки единицы продукции из пункта i в пункт
ляет
Требуется определить объемы продукции
.
, перевозимой из пункта iв
состав-
пункт j, так, чтобы из всех пунктов производства продукция была вывезена, во
все пункты потребления доставлена в нужных объемах, а общая стоимость пе-
ревозок была минимальной. Эти условия запишутся в виде
(1.9)
(1.10)
Здесь снова требуются условия неотрицательности; всего их
ципиальная особенность приведенной формулировки состоит в использовании
двухиндексных обозначений и двойных сумм. Сути дела это не меняет.▼
(1.11)
(1.12)
штук. Неприн-
10
§ 1.2. Эквивалентные формы задач ЛП
1 1 2 2
... max (min);
nn
с x c x c x
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ;
... ;
......
... .
nn
nn
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
12
, ,...
n
x x x
12
, ,...
n
x x x
12
, ,...
n
x x x
1 1 2 2
... ( );
nn
с x c x c x max min
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ;
... ;
......
... ;
nn
nn
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
0
i
x
( 1, 2,..., );in
В общем виде задача ЛП записывается в следующей форме
(1.13)
(1.14)
В этих соотношениях переменные
подлежат определению.
Остальные обозначения (с, a, и b с индексами) относятся к известным постоянным коэффициентам.
Левая часть в (1.13) называется целевой функцией (или функцией цели);
требуется, чтобы она достигала максимального или минимального значения (в
зависимости от смысла задачи). В системе ограничений (1.14) знак «» может
означать «», «» или «=», что снова определяется постановкой задачи. Все
левые части в (1.13) и (1.14) представляют собой линейные формы относительно
Набор значений
. Для наглядности они записаны в развернутом виде.
, удовлетворяющий ограничениям (1.14), назы-
вается допустимым решением или допустимым планом задачи. Множество
допустимых решений называется допустимым множеством или допустимой
областью задачи.
Допустимое решение, доставляющее максимум или минимум целевой функ-
ции называется оптимальным решением (планом) задачи или просто решением.
Рассмотрим некоторые характерные формы задач ЛП. Форму
(1.15)
(1.16)
(1.17)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]