Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации сложных систем. Учебное пособие
.pdf
11
называют канонической задачей на максимум (минимум)1. В ней все ограниче-
mn
11 12 1
21 22 2
12
...
...
......
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
A
1
2
...
n
x
x
x
X
1
2
...
n
c
c
c
C
1
2
...
m
b
b
b
B
T
max(min);
;
0.
CX
AX = B
X
1 1 2 2
... max;
nn
с x c x c x
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ;
... ;
......
... ;
nn
nn
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
1
2
ния, кроме условий неотрицательности имеют вид равенств.
Запишем, как это часто делают, каноническую задачу в матричной форме.
Введем матрицу A размера
и вектор-столбцы2
,
,
Тогда вместо (1.15) − (1.17) получим
.
(1.18)
Форма
Общепринятого соглашения о названиях форм задачи ЛП нет. Будем далее придер-
живаться терминологии, принятой в [10].
экономии места используется запись вектора-строки как результата транспонирования
столбца. Тогда в обозначении применяется символ транспонирования «Т» в качестве верхнего индекса.
Всюду в этом пособии под векторами понимаются вектор-столбцы. Иногда в целях
(1.19)
(1.20)
12
0
i
x
( 1, 2,..., )in
1 2 3
12
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 min;
2 3 1;
3 4 2 6;
2 2;
0; 0; 0.
x x x
xx
x x x
x x x
x x x
1 2 3
3 2 max;x x x
12
2 3 1;xx
1 2 4
2 3 1;x x x
(1.21)
называется естественной (а также стандартной или симметричной). В ней все
ограничения (кроме условий неотрицательности) имеют вид неравенств одного
знака «
нятся на «
». Название сохранится, если вместо max будет min, а знаки «» сме-
». Задачу в естественной форме также можно записать с
применением матриц.
Важно, что любая задача ЛП может быть приведена как к канонической,
так и к естественной форме. Пусть, например, нужно привести к канонической
форме на максимум задачу, содержащую среди ограничений неравенства.
Условия неотрицательности пока будем считать наложенными на все перемен-
ные. Выполним следующие действия.
1. Если исходная задача содержит требование минимума целевой функ-
ции, то заменим его требованием максимума, умножив целевую функцию на
(−1).
2. Если среди ограничений исходной задачи есть неравенства типа «», то
умножим каждое из них на (−1) и поменяем знак. Все неравенства станут одного знака «
».
3. В каждом неравенстве введем в качестве слагаемого левой части до-
полнительную неотрицательную переменную и заменим его равенством.
В результате все ограничения примут вид равенств, а условия неотрица-
тельности будут наложены на все переменные.
▲ Пример 1.4
Исходная задача имеет вид
После замены знаков получим
После введения дополнительных переменных найдем
13
1 2 3 5
45
2 2;
0; 0.
x x x x
xx
1 2 3
1 2 4
1 2 3
1 2 3 5
1 2 3 4 5
3 2 max;
2 3 1;
3 4 2 6;
2 2;
0; 0; 0; 0; 0.
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x
45
,xx
k
x
0
k
x, 0
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
3
x
Окончательная запись примет вид
Отсутствующие ранее переменные
став новой целевой функции они не входят и на результатах решения не
отражаются.▼
Допустим, среди переменных исходной задачи есть такие, на которые не
наложены условия неотрицательности. Скажем, одна из них − это
две новые переменные
Теперь на переменные
может иметь любой знак или обращаться в нуль. При наличии других перемен-
ных, первоначально не связанных условием неотрицательности, введем замену
по формулам, аналогичным (1.22), а затем выполним подстановку (1.22) и ей
подобные во все условия задачи. В полученной форме на все переменные будут
наложены условия неотрицательности. При желании можно изменить нумерацию переменных, чтобы не вводить в их обозначения штрихи.
Пусть теперь требуется привести произвольно записанную задачу ЛП к
естественной форме на максимум. Выполним следующие преобразования.
1. При наличии требования минимума заменим его требованием максимума целевой функции уже известным приемом умножения ее на (−1).
2. Если среди условий есть равенства, то каждое из них заменим парой
неравенств противоположного знака.
3. Все неравенства знака «», кроме условий неотрицательности, заменим неравенствами «», используя умножение на (−1).
4. Потребуем соблюдения условий неотрицательности для всех перемен-
ных, при необходимости введя дополнительные и выполнив замены в
соответствии с формулой (1.22).
▲ Пример 1.5
Воспользуемся условиями примера 1.4, считая только, что на
стали «ценой» преобразований. В со-
и заменим
=
и
наложены требования неотрицательнности, а
. (1.22)
их разностью
. Введем
условие
неотрицательности не наложено. В результате первых двух действий получим
14
1 2 3
3 2 max;x x x
1 2 3
3 4 2 6 ;x x x
1 2 3
3 4 2 6.x x x
12
2 3 1;xx
1 2 3
3 4 2 6.x x x
3 3 3
.x x x
33
xx
34
,xx
1 2 3 4
3 2 max;x x x x
12
2 3 1;xx
1 2 3 4
3 4 2 2 6;x x x x
1 2 3 4
3 4 2 2 6;x x x x
1 2 3 4
2 2;x x x x
1 2 3 4
0; 0; 0; 0.x x x x
12
,xx
1 1 2 2
max;с x c x
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
;
;
...
;
m m m
a x a x b
a x a x b
a x a x b
12
0; 0.xx
После третьего действия найдем
Согласно четвертому действию примем
После объединения всех условий, выполнения замен и переименований
,
окончательно получим
▼
Таким образом, при решении задач ЛП допустимо, руководствуясь целе-
сообразностью, пользоваться той или иной формой их записи, для чего может
потребоваться формальное увеличение числа переменных.
§ 1.3. Геометрический смысл задач ЛП (допустимая область)
Геометрическая интерпретация задач ЛП возможна при числе переменных
не более трех и вряд ли может помочь практическому решению задач большей
размерности. Однако для пояснения сути дела она, несомненно, полезна.
Рассмотрим далее две переменные
и постановку задачи в есте-
ственной форме на максимум (для обсуждения геометрического смысла она
удобнее канонической формы).
(1.23)
(1.24)
(1.25)
15
Остановимся пока только на исследовании ограничений (1.24) при любом их
12
,xx
12
39xx
x
1
x
2
0
−3
9
Допустимая область
количестве и условий неотрицательности (1.25). Введем плоскую систему координат
. Условия (1.25) выделят на ней первый квадрант, что на рис. 1.2
показано точками на соответствующих сторонах координатных осей. Любое из
ограничений (1.24) выделяет в системе координат полуплоскость, границей которой является прямая линия, по одну из сторон которой и на ней самой
располагаются допустимые значения переменных. Область допустимых значе-
ний будем и впредь обозначать точками вдоль границы. На рис. 1.2 показан
пример области, отвечающей ограничению
.
Рис. 1.2. Пример допустимой области
При произвольном числе ограничений m в системе координат выделяется
такое же число полуплоскостей, пересечение которых вместе с первым квадрантом образует окончательную (объединенную) допустимую область. При этом
возможны следующие существенно различные случаи (обозначения координатных осей далее опущены).
1. Допустимая область пуста (рис. 1.3, а).
2. Допустимая область не пуста и ограниченна, т. е. найдется окружность
достаточно большого радиуса, внутри которой область поместится целиком
(рис.1.3, б).
3. Допустимая область не пуста и неограниченна (как на рис. 1.2).
16
1
а б
Рис. 1. 3. Типы допустимых областей
Если допустимая область не пуста, то она представляет собой выпуклый
многоугольник1, возможно неограниченный. Многоугольник может выродиться
в луч, отрезок или точку (рис. 1.4, а − в).
а б в
Рис. 1.4. Вырожденные допустимые области
Однако областей, состоящих из конечного числа точек (более одной), быть не
может.
Соображения о свойствах допустимых областей (выпуклость, ограниченность и т. д.) без особого труда обобщаются на общий случай любого числа
переменных с применением понятия многомерного пространства. Вместо многоугольников следует рассматриваться n-мерные многогранники.
Понятие выпуклого множества, а также обобщения ряда понятий планиметрии и сте-
реометрии на пространства многих измерений приведены в приложении А.
17
§ 1.4. Геометрический смысл задач ЛП (оптимальное решение)
1 1 2 2 1
с x c x d
21
dd
32
dd
43
dd
1 1 2 2 4
с x c x d
54
dd
0 d
1 d2 d3 x1
x
2
d
5
d
4
Примем во внимание теперь и требование (1.23). Пусть пока допустимая
область − ограниченный многоугольник, как на рис. 1.5 (точки будем теперь
наносить только на границах объединенной допустимой области).
Присвоим целевой функции некоторое значение d1 такое, что прямая линия, отображающая уравнение
,
имеет точки в допустимой области. Эти точки составляют допустимые решения.
Присвоим теперь целевой функции значение
; пусть соответствующая
прямая располагается так, как показано на рис. 1.5. Снова получились допусти-
мые решения, но с бóльшим значением целевой функции.
По мере увеличения значений целевой функции прямые перемещаются парал-
лельно самим себе в сторону, определяемую знаками коэффициентов в ее
выражении. На рис. 1.5 (и на некоторых последующих) предполагаемое направление перемещения показано стрелкой.
Рис. 1.5. Допустимая область и линии равных значений функции цели
существует такое значение
имеет единственную общую точку с допустимой областью (обведена кружком).
Эта угловая точка и является оптимальным решением. Попытки увеличить це-
левую функцию до значения
допустимой области. Возможны и результаты, отличающиеся качественно от
рассмотренного здесь.
Увеличивая присваиваемое значение до
, при котором прямая
привели бы к выходу за пределы
и далее, обнаружим, что
18
▲ Пример 1.6
12
12
12
12
2 max;
1;
2 1;
0; 0.
xx
xx
xx
xx
2 и = 2dd
12
0; 1xx
12
2 minxx
x
2
2
1
1 x
1
−1 0
−1
−2
d=2
d= −2
Решим задачу
На этот раз допустимая область – неограниченный многоугольник (рис. 1. 6).
Однако оптимальное решение существует, и после присвоений целевой функ-
ции значений
что оно достигается в угловой точке
даже без дополнительных построений ясно,
(снова обведена кружком). Це-
левая функция при этом равна 1. ▼
Рис. 1. 6. К примерам 1.6, 1.7
В следующем примере только потребуем вместо максимума минимум.
▲ Пример 1.7
Остальные условия оставим те же, что в предыдущем примере. Попытки
уменьшения целевой функции теперь не приводят к выходу линий ее постоян-
ных значений за границы допустимой области (см. снова рис.1.6). Возможно
неограниченное уменьшение целевой функции, и оптимального решения нет. ▼
.
19
Существуют доказанные обобщения рассмотренных выше результатов на
задачи любой размерности (с любым количество переменных). Приведем их в
следующих формулировках.
1. Задача ЛП имеет оптимальное решение, если допустимая область не
пуста и ограниченна.
2. Задача ЛП на максимум имеет оптимальное решение, если в допусти-
мой области целевая функция ограниченна сверху (найдется такое число,
которого целевая функция не превосходит во всех точках допустимой области).
В отсутствие такого ограничения решения нет.
3. Задача ЛП на минимум имеет оптимальное решение, если в допустимой
области целевая функция ограниченна снизу (найдется такое число, которого
целевая функция не меньше во всех точках допустимой области). В отсутствие
такого ограничения решения нет.
4. Если оптимальное решение существует, то оно достигается, по крайней
мере, в одной из вершин многогранника допустимой области. Таких вершин
может быть не одна, но тогда решений бесконечное множество: они могут
сплошь заполнять ребро, грань и т. д. допустимой области (пример показан на
рис. 1.7, где это множество выделено жирной линией).
5. Множество оптимальных решений выпукло (на рис. 1.7 − это отрезок).
Рис. 1.7. Бесконечное множество Рис. 1.8. Трехмерная картина
решений решения
Рис. 1.8 иллюстрирует попытку получить картину решения для трех пе-
ременных: многогранник допустимой области и плоскость постоянных
значений целевой функции (помечена штрихами).
§ 1.5. Понятие о симплекс-методе
C учетом изложенных выше результатов для задач ЛП с допустимой об-
ластью, имеющей вершины, возможен следующий путь решения: найти все
вершины и сравнить значения целевой функции в них, после чего выбрать
наилучшую из них или несколько наилучших, когда значения целевой функции
в них совпадают (осуществить перебор всех вершин).
В результате отпадает необходимость исследования всей допустимой об-
ласти. Однако и при этом с ростом числа переменных количество вершин
20
обычно растет столь стремительно, что их полный перебор становится практи-
0
X
опт
X
1
X0
x
2
0
x1
x3
X
опт
чески невозможным.
Значительно более эффективным оказывается направленный перебор
вершин, алгоритм которого сводится к следующим действиям.
1. Найти какую-либо вершину и проверить, не является ли она наилуч-
шей. Если да, решение найдено. Если нет, то перейти к следующему действию.
2. Проверить утверждение, что задача не имеет решения (целевая функ-
ция не ограничена сверху при поиске максимума или снизу при поиске
минимума). Если да, то остановить поиск. Если нет, то перейти к следующему
действию.
3. Отыскать новую, лучшую по значению целевой функции вершину и
перейти к действию «1».
Доказано, что процесс поиска через конечное число шагов останавливает-
ся либо на действии «1», либо на «2». Разумеется, каждое действие требует
определенных вычислительных процедур, которые вместе и составляют сим-
плекс-метод1.
В геометрическом истолковании симплекс-метод представляет собой эф-
фективный процесс перехода от вершины к вершине всякий раз по одному из
ребер многогранника допустимой области примерно так, как показано на рис. 1.9
для трехмерного пространства (переход от начальной вершины
к оптималь-
ной
). Конечно, в многомерном случае следует пользоваться соответствую-
щим обобщением понятия ребра.
Рис. 1.9. Поиск по симплекс-методу
Название метода связано с тем, что в его отдельных процедурах используется поня-
тие «симплекса» − простейшей фигуры в многомерном пространстве типа тетраэдра в
трехмерном.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]