Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации сложных систем. Учебное пособие
.pdf
81
Траектория, начинающаяся в узле (0, 0), является оптимальной для задачи
( )!
!!
MN
MN
MN
M
в целом. Отрезки линий на ее участках еще утолщены и помечены стрелками.
Соответствующие ей затраты равны 80.
Для оценки объемов вычислений формулы предыдущего параграфа не
пригодны из-за изменившегося способа построения траекторий, из-за вновь
введенных обозначений, а главное – из-за появления существенных ограничений на допустимые траектории. Проведем оценку заново, используя при этом
не только число вариантов, но и количество операций их сравнения.
Несложные рассуждения показывают, что полное число вариантов графи-
ка установки станков (траекторий, ведущих из узла (0, 0) в узел (6, 4)) равно
. Число сравнений на единицу меньше.
Согласно методу ДП каждая УОТ требует сравнения двух вариантов, если
она не начинается в одном из узлов верхней или правой границы сетки, когда
сравнения вообще не нужны. Получается
операций сравнения (по числу
остальных узлов сетки). Для рассмотренного примера эти числа равны соответственно 209 и 24. С увеличением
и N разница между такими числами
стремительно растет.
Нетрудно видеть, что при небольших количествах станков решение мож-
но получить даже вручную. При больших M и N потребуется помощь ЭВМ, но
в силу алгоритмической простоты метода составление программы не предста-
вит трудностей.
На этом примере удобно проиллюстрировать полезный побочный эффект
вычислительной схемы метода ДП, в общем виде отмеченный в замечании 3 в
конце § 5.3. Если по какой-либо причине оптимальный график не удается выдержать, то промежуточные результаты дают возможность указать продолже-
ние графика с момента нарушения, влекущее минимальные потери. Например,
если в рассмотренном примере на втором шаге вместо станка типа 1 введен
станок типа 2 (переход в узел (0, 2)), то наилучшее продолжение дает траектория, проходящая через узлы (1, 2), (2, 2), (3, 2) и далее по оптимальной
траектории. Сумма затрат составит 81 вместо 80.
82
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разнообразие методов оптимизации и объем связанных с ними приложе-
ний столь велики, что не оставляют возможности сколько-нибудь полного их
охвата в небольшом учебном пособии. Отбор предложенного выше материала
обусловлен учебными планами и программами магистратуры по направлению
15.04.04 «Автоматизация технологических процессов и производств» и ориентирован на то, чтобы отразить проблемы, наиболее полно исследованные и
традиционно включаемые в сферу преподавания. Разумеется, их изложение
могло бы быть значительно расширено при отсутствии ограничений, порожда-
емых учебным процессом.
За рамками пособия остался ряд вопросов, лишь кратко упомянутых во
введении, но могущих представлять значительный интерес с практической точ-
ки зрения. Достаточно широкую область применения результатов исследования
этих вопросов составляют автоматизированные системы управления (АСУ)
технологическими процессами и производствам. Проблемы оптимизации лежат в основе их математического и программного обеспечения.
Важный в практическом плане круг проблем изучается теорией расписа-
ний. В данном пособии рассмотрен единственный пример такого рода – график
установки оборудования. Оптимальное решение оказалось доступно с помощью метода динамического программирования. В то же время большинство
задач теории расписаний представляет серьезные трудности для решения. В состав теории сейчас принято включать ранее самостоятельно возникшие задачи
сетевого планирования, использующие сетевые графики как средства информации об управляемом объекте, а также некоторые задачи теории массового
обслуживания. Современное состояние теории расписаний хорошо отражено в
источнике [9].
Значительные результаты в последние десятилетия достигнуты в области
оптимизации и принятия решений в условиях неопределенности. К ним относятся, в частности, задачи принятия решений в условиях риска, в игровых
ситуациях. К ним же причисляют задачи с неопределенностью цели поиска, когда возникают варианты выбора критерия оптимизации. Их называют
многокритериальными.
Основательный обзор методов оптимизации и принятия решений дан в
работе [7]. Многие вопросы приведены в подробном изложении с историческими справками и обширными списками литературы. Книга [12] может служить
для изучения вопросов принятия решений в их современном виде.
83
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Беллман, Р. Прикладные задачи динамического программирования /
Р. Беллман, С. Дрейфус. – М.: Наука, 1965. – 460 с.
2. Болтянский, В. Г. Математические методы оптимального управления /
В. Г. Болтянский. – М.: Наука, 1969. – 408 с.
3. Васильев, Ф. П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. – М.: Фактори-
ал пресс, 2002. – 824 с.
4. Вентцель, Е. С. Исследование операций / Е. С. Вентцель. – М.: Наука,
1988. – 208 с.
5. Воронов А. А. Исследование операций и управление/А. А. Воронов. –
М.: Наука, 1970. –128 с.
6. Математические методы исследования операций / Ю. М. Ермольев,
И. И. Ляшко, В. С. Михалевич, В. И. Тюптя. – Киев: Вища школа, 1979. – 312 с.
7. Исследование операций / под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. – М.:
Мир, 1981. Т.1. – 712 с.
8. Карманов, В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. –
М.: Наука, 1980. – 256 с.
9. Лазарев, А. А. Теория расписаний. Задачи и алгоритмы / А. А. Лазарев,
Е. Р. Гафаров. – М.: МГУ, 2011. – 221 с.
10. Ляшенко, И. Н. Линейное и нелинейное программирование / И. Н. Ля-
шенко, Е. А. Карагодова, Н. В. Черникова, Н. З. Шор. – Киев: Вища школа,
1975. – 372 с.
11. Первозванский, А. А. Поиск / А. А. Первозванский. – М.: Наука, 1970. –
264 с.
12. Черноруцкий, И. Г. Методы оптимизации и принятия решений / И. Г. Чер-
норуцкий. – СПб.: Лань, 2004. – 381 с.
13. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное ис-
числение / Л. Э. Эльсгольц. – М.: Наука, 1969. – 424 с.
84
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Элементы аналитической геометрии в n-мерном
12
, ,...,
n
x x x
n
E
X
T
12
, ,...,
n
x x xX
12
... 0
n
x x x
0X
12
,xx
1 2 3
,,x x x
n
E
XY
X
T
12
, ,...,
n
y y yY
XY
1 1 2 2
...
nn
x y x y x y
X X X
0X
/XX
0X
0Y
0
cos
XY
XY
n
E
Y
Z
(1 ) Z X Y
01
0
1
01
1 1 2 2
...
nn
x x x
n
E
1 1 2 2
...
nn
x x x
евклидовом пространстве
Всякий упорядоченный набор действительных чисел
опреде-
ляет в евклидовом пространстве
некоторую точку. Одновременно он
определяет координаты вектора X с началом в начале координат и с концом в
этой точке. Вектор
Вектор называют нулевым и пишут X= 0, если
случае
.
может быть записан в виде столбца или строки
. (А.1)
. В противном
В двух- и трехмерном пространстве вектор принято изображать направ-
ленным отрезком прямой (направление отображается стрелкой в конце отрезка),
проекции которого на оси координат равны
(или
). Начало отрез-
ка может быть помещено в любую точку пространства.
В
определено скалярное произведение
двух векторов
и
как действительное число, определяемое по формуле
=
. (А.2)
Под модулем (евклидовой нормой, длиной) вектора понимают неотрица-
тельное действительное число
. (А.3)
Вектор с модулем 1 называется единичным вектором. Для каждого вектора
отношение
Величина угла между векторами
ствительное число
Отрезком в
есть единичный вектор.
, для которого выполняется равенство
. (А.4)
с концами в точках X и
и
определяется как дей-
называют множество точек
которые могут быть представлены линейной комбинацией вида
Концам отрезка соответствует
и
, где
; при
. (А.5)
получаются внутрен-
ние точки отрезка.
Множество точек, координаты которых удовлетворяют линейному урав-
нению
, (А.6)
,
называется гиперплоскостью в
Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
.
(или
), (А.7)
85
называется полупространством пространства
n
E
12
, ,...,
n
n
E
01
X
W
n
E
XW
YW
(1 ) X Y W
01
X
Y
W
W
2
x
2y2
y
2
x
1
x
1
y
1
x
1
y
W
W
. В (А.6), (А.7)
суть
действительные числа, не все равные нулю;
также действительное число.
Пересечение конечного числа гиперплоскостей и полупространств, если
оно не пусто, называется многогранником в
. Многогранник может вы-
рождаться в точку, отрезок, прямую, гиперплоскость.
Вершиной многогранника называется такая его точка, которая не является
внутренней точкой никакого отрезка, целиком принадлежащего этому многограннику. Напротив, точка Z, представимая в виде (А.5), где
, а точки
и Yпринадлежат многограннику, его вершиной быть не может.
Не пустое множество точек
что
и
, следует
словами, из принадлежности выпуклому множеству двух точек
в
называется выпуклым, если из того,
при любом
и
. Иными
следует
принадлежность ему всех точек соединяющего их отрезка.
Рис. А.1. Выпуклое (
) и не выпуклое (
) множества
Двумерной иллюстрацией к этому определению может служить рис. А.1,
на котором изображены два множества – выпуклое и не являющееся таковым.
Обозначения для второго множества снабжены штрихами.
86
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Сведения о гиперболических функциях
2
tt
ee
2
tt
ee
22
ch sh 1; (sh ) ch ; (ch ) sh .t t t t t t
1
1
0
1 2 t
–2 –1
cht
sht
45°
Гиперболические синус sht и косинус cht как функции действительного
аргумента t определяются формулами1
sht =
, cht =
.
Существуют формулы связи для функций и их производных
Примерные графики sht и cht показаны на рис. Б.1.
Рис. Б.1. Графики гиперболических функций
ся, поскольку в основном тесте не встречаются.
Еще две функции – гиперболический тангенс и котангенс – здесь не рассматривают-
87
Учебное издание
Смирнов Игорь Николаевич
Методы оптимизации
cложных систем
Издательский редактор Т. Н. Козлова
Учебное электронное издание сетевого распространения
Системные требования:
электронное устройство с программным обеспечением
для воспроизведения файлов формата PDF
Режим доступа: http://publish.sutd.ru/tp_get_file.php?id=2017699, по паролю.
– Загл. с экрана.
Дата подписания к использованию 12.09.2017 г. Рег. № 699/17.
ФГБОУВО «СПбГУПТД»
Юридический и почтовый адрес:
191186, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, 18.
http://sutd.ru/
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]