Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации сложных систем. Учебное пособие
.pdf
51
dF
Fy
dx y
22
2
F F F F F
y y y y y y y
y y y y y y
22
2
FFF
y y y y y
y y y y
22
2
F F F
y y y
y y y y
dF
Fy
dx y
F
Fy
y
1
C
()yx
2
1 y
F
y
,x
2
1
2
1
2
21
y
y
yC
y
yy
22
1
2
11yy
C
yy
2
1
11C y y
2
1
1
1y
Cy
=
=
.
Вследствие (3.24)
= 0
и
=
. (3.25)
Получился первый интеграл уравнения Эйлера-Лагранжа – дифференциальное
уравнение первого порядка относительно
. Приемы его решения будут
продемонстрированы на последующих задачах. Постоянные снова найдутся из
условий закрепления.
§ 3.5. Решение задачи о брахистохроне
Постановка задачи о брахистохроне рассмотрена в § 3.2. Там же приведен
вид функционала (3.7) и условия закрепления (3.8). Из (3.7) следует, что
В числе аргументов этой функции нет
уравнением (3.25). Получим
Дальнейшие преобразования дают
,
.
а значит, можно воспользоваться
.
,
. (3.26)
52
Решение полученного дифференциального уравнения найдем с помощью замены
1
22
1
sinCy
y
0 / 2
2
1
2sin cos
dy d
C
cos
sin
dy
y
dx
2
22
11
sin 2sin 1 cos2
cos
dx dy d d
CC
2
2
1
1 sin2
2
xC
C
2
1
1
1 cos2
2yC
2
C
2
1
1
2RC
2t
( sin ),
(1 cos ).
x R t t
y R t
1
2
1
Cy
По смыслу задачи
– монотонно возрастающая функция, поэтому значения
можно ограничить диапазоном
. (3.27)
. Из последнего равенства следует
. (3.28)
После подстановок (3.27) и (3.28) в (3.26) получим
,
В результате интегрирования последнего выражения найдем
,
а вследствие (3.27)
.
.
Первое из условий закрепления (3.8) означает: x = 0 при y = 0, откуда с учетом
(3.27) следует
= 0. Сохраняя для x только положительную ветвь решения и
вводя обозначения
и
,
получим
Это уравнение циклоиды в параметрической форме (t – параметр). Постоянная
R определится из второго условия закрепления (3.8): y = h при x = b.
Уместно вспомнить геометрическое истолкование циклоиды: это траек-
тория, которую описывает точка, зафиксированная на окружности радиуса R
при ее качении без скольжения по прямой линии. На рис. 3.3 штрихами показана окружность и точка на ней (обозначена кружком).
Окружность катится снизу по оси x в направлении широкой стрелки. При t = 0
Замена возможна, если 0
диться.
1. После получения решения в этом можно убе-
53
I y x J y x K y x
12
( , , , )y x C C
12
,CC
12
( , , , )K y x C C C
иI y x J y x
С
12
,CC
1
0
h
y
b x
R
Рис. 3.3. К задаче о брахистохроне
точка находится в начале координат. Циклоида изображена утолщенной лини-
ей. С учетом приведенной трактовки определение R означает подбор
окружности такого радиуса, при котором траектория проходит через точку с
координатами b, h.
§ 3.6. Задача о равновесии тяжелой нити
Задача о кривой, описывающей форму, которую принимает тяжелая нить в
положении равновесия, была поставлена в § 3.2. Она относится к категории изопе-
риметрических задач. Изопериметрической первоначально называли задачу
отыскания геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре. В настоящее время изопериметрическими в расширенном смысле называются
задачи на экстремум основного функционала при наличии условий, предусматривающих постоянство некоторого количества дополнительных функционалов. В
частности, к ним относится задача, определяемая условиями (3.3)–(3.5). Она и будет
далее рассмотрена более подробно с демонстрацией решения для нити.
Следуя методу неопределенных множителей Лагранжа, составим вспомогательный функционал вида
где
– пока неизвестная постоянная.
Допустим, найдено решение
для этого функционала. Оно содержит помимо констант
ную
. Определим теперь из условия
Функционалы
константу
, поэтому найденное решение доставляет экстремум обоим функ-
ционалам. Константы
Изложенная схема с доказательной точки зрения обоснована не вполне безупречно.
Однако ее корректность может быть доказана на достаточном уровне строгости [13].
, (3.29)
уравнения Эйлера-Лагранжа
еще и постоян-
.
в силу (3.29) будут отличаться только на
снова найдутся из условий закрепления1.
54
Используя обозначения подынтегральных функций в (3.1) и (3.5) и урав-
I y x
( , , , )
b
a
H x y y dx
( , , , )H x y y
( , , )F x y y
( , , )G x y y
H d H
y dx y
1
H
H y C
y
2
( ) 1H y y
2
2
1
2
( ) 1 ( )
1
y
y y y C
y
2
1
1,y C y
2
1
1
y
y
C
1
1
chyt
C
1
shdy C tdt
shyt
shdyt
dx
1
sh
dy
dx C dt
t
1
нение (3.29), получим
=
,
где
=
+
. (3.30)
Уравнение Эйлера-Лагранжа должно быть записано теперь в виде
= 0,
и затем выполнены действия по изложенной выше схеме. Рассмотрим их применительно к задаче о равновесии нити.
Как видно из (3.9), (3,10) и формулы (3.30), в составе аргументов H нет x,
поэтому можно воспользоваться первым интегралом уравнения ЭйлераЛагранжа (3.25), разумеется, с заменой F на H:
. (3.31)
Представив H в более подробной записи, получим
,
а после подстановки в (3.31)
или
(3.32)
а затем
.
Решение этого дифференциального уравнения найдем, применив подстановку
,
. (3.33)
Далее получим
,
,
.
Необходимые сведения об использованных ниже гиперболических функциях приве-
дены в приложении Б.
55
В последнем равенстве знак «
1
C
2
C
12
1
,
ch .
x C t C
y C t
y
2
1
1
ch
xC
yC
C
2
1
1
2
1
1
ch 0,
ch 0.
C
C
C
bC
C
C
2
1
1
ch
C
C
C
22
1
11
ch ch 0
b C C
C
CC
1
0C
0y
2
2
b
C
11
00
/2
ch
bb
y x b
L dx dx
CC
shx
1 0 1
11
/2
sh 2 sh
2
b
x b b
L C C
CC
» опущен, поскольку константа
все равно
пока не определена. Выполняя в этом равенстве интегрирование (появится еще
одна константа
) и записывая результат вместе с первым из равенств (3.33),
найдем
(3.34)
Получилось уравнение искомой функции в параметрическом виде. Можно за-
писать его и в форме явной зависимости
от x (без параметра t):
. (3.35)
Осталось определить константы (необязательно в той последовательности, которая предполагалась раньше).
Из (3.34) и условий закрепления (3.11) следует
Первое из этих равенств позволяет выразить
(3.36)
через две другие постоянные
. (3.37)
После этого из второго равенства вытекает
Выражение в скобках должно обращаться в 0, поскольку
чится не имеющее смысла решение
). Отсюда
. (3.38)
.
(иначе полу-
Обратимся теперь к условию (3.10). С учетом (3.32) оно запишется в виде
а после интегрирования с учетом нечетности получающейся функции
,
.
56
Это трансцендентное уравнение относительно
1
C
1
2
b
zC
shLzz
b
L
z
b
1
C
1
C
2bz
()yx
z– 0
z
+
z
shz
L
z
b
. В том, что его решение суще-
ствует, можно убедиться графическими построениями. Введем вспомогательную
переменную
и запишем последний результат в виде
. (3.39)
Рис. 3.4. К уравнению (3.39)
На рис. 3.4 показаны графики левой и правой частей уравнения (3.39).
Угол наклона прямой
чения графиков z+ > 0 и z– < 0. Им соответствуют два значения
больше 45° (L > b), и потому есть две точки пересе-
, из которых
следует оставить только
отвечающее нужному расположению кривой
=
, (3.40)
в первом квадранте (рис. 3.2, б).
Итак, искомая кривая дается уравнением (3.35) и выражениями (3.37),
(3.38) и (3.40) для констант.
В заключение отметим, что материал главы, завершаемой приведенным
здесь примером, прямо не связан с проблемами управления, поскольку ограничен классическими подходами. В современной теории вариационного
исчисления вопросы управления занимают видное место и обнаруживают тес-
ную связь с задачами, излагаемыми в следующей главе.
57
ГЛАВА 4. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ (ПРИНЦИП МАКСИМУМА)
12
( ), ( ),..., ( )
n
x t x t x t
X
1
T
12
( ) ( ), ( ),..., ( )
n
t x t x t x tX
12
( ), ( ),..., ( )
r
u t u t u t
T
12
( ) ( ), ( ),..., ( )
r
t u t u t u tU
M
()tU
()tU
.M
1
1 1 2 1 2
( , ,..., ; , ,..., )
nr
dx
f x x x u u u
dt
2
2 1 2 1 2
( , ,..., ; , ,..., )
nr
dx
f x x x u u u
dt
1 2 1 2
( , ,..., ; , ,..., )
n
n n r
dx
f x x x u u u
dt
1
§ 4.1. Постановка задач оптимального управления
В этой главе будут кратко изложены некоторые результаты, основанные на
теореме, известной под названием «принцип максимума Понтрягина» и упоминавшейся во введении. Круг вопросов при этом ограничен задачами управления,
хотя методам, основанным на теореме, доступны и другие проблемы.
Рассматриваемая далее задача оптимального управления в достаточно
общем виде формулируется так.
Имеется объект управления (рис. 4.1, а), характеризуемый в каждый момент времени t переменными состояния
могут рассматриваться как координаты некоторого вектора
. Эти переменные
:
. (4.1)
Их называют также фазовыми координатами объекта. Смысл координат зави-
сит от физической сути объекта. Например, это могут быть пространственные
координаты и скорости, температуры, концентрации веществ, экономические
показатели и т. д.
К объекту приложено r внешних воздействий, называемых также управ-
ляющими (или просто управлениями)
, которые тоже могут
быть объединены векторной записью
. (4.2)
Считается, что выбор управлений возможен, но подчинен некоторой системе ограничений, которую можно определить как область
(4.3)
допустимых значений
Совокупность фазовых координат и управлений как функций времени
для краткости называют процессом.
Поведение объекта (процесс) описывается системой n обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка относительно фазовых координат, в которых каждая производная выражена через координаты и управления:
. . . . . . .
Относительно обозначений векторов смотри сноску на с. 11.
,
, (4.4)
.
58
Эта система может быть записана и в векторной форме
,,
d
dt
XF(X U)
T
12
, ,...,
n
f f fF
0
t
0
X
T
0 10 20 0
( ) ( ), ( ),..., ( )
n
t x t x t x tX
0
Ω
0
X
0
Ω
к
t
к
X
T
12
( ) ( ), ( ),..., ( )
к к к nк
t x t x t x tX
к
Ω
к
X
к
Ω
0
X
к
X
0
( , )
к
t
t
J dtXU
1
u1
u2
u
r
x1
x
2
x
n
Объект
( , )
d
dt
XF X U
x1
0
x
2 к
x
3
где
.
а б
Рис. 4.1. Объект управления (а) и траектория в пространстве
трех фазовых координат (б)
В начальный момент времени
(4.5)
фазовые координаты имеют значения
(
), принадлежащие заданной области
(как на
рис. 4.1, б, где изображены три фазовые координаты)
. (4.6)
В частности, эта область может состоять из одной точки: значения координат
заданы точно.
Существует некоторый конечный момент времени
должны принять значения
заданной области
, которая также может состоять из одной точки,
(
. (4.7)
Требуется найти такие управления, при которых переход из
, когда координаты
), принадлежащие
в
обеспечивает минимум или максимум функционала
. (4.8)
Нетрудно обнаружить черты сходства задач вариационного исчисления и
оптимального управления (требование экстремума функционала, наличие огра-
ничений и др.)1. В то же время решение задач оптимального управления на
основе принципа максимума не предъявляет столь жестких требований к функ-
Доказано, что все основные необходимые условия классического вариационного ис-
числения могут быть получены из принципа максимума.
59
циям, фигурирующим в задаче, как это имеет место в классическом вариацион-
0
X
к
X
1
0
0
к
t
к
t
J dt t t
ном исчислении. В частности, допускаются кусочно-непрерывные управления
(состоящие из конечного числа непрерывных частей). Это позволяет суще-
ственно расширить круг решаемых прикладных задач и составляет важное
положительное свойство принципа максимума.
Впереди еще появятся поводы вернуться к этой теме, а пока рассмотрим
некоторые примеры постановок задач управления, ограничиваясь словесными
формулировками.
▲П р и м е р 4.1. Рассматривается управляемая ракета, состояние которой
задается координатами и скоростями в трехмерном пространстве, а также значением массы, изменяющейся в связи с расходом топлива. Управление
осуществляется выбором направления и абсолютной величины тяги двигателя.
Требуется так управлять ракетой, чтобы в назначенный момент времени она
достигла заданной точки, израсходовав минимум топлива (т.е. имея максималь-
но возможную массу).▼
▲П р и м е р 4.2. Рассматривается структура рыбьего стада в промышленном водоеме. Все стадо делится на две группы особей – достигшие и не
достигшие товарного веса. Фазовыми координатами здесь являются численности групп. Управление заключается в том, что в первой группе может
происходить в определенных объемах "изъятие" – отлов, а во второй «пополне-
ние» путем выпуска малька. Целью управления является максимизация на
определенном отрезке времени дохода от отлова за вычетом издержек на пополнение и текущие расходы.▼
▲П р и м е р 4.3. Состояние отрасли описывается величиной основных
производственных фондов, количество которых растет за счет капитальных
вложений и уменьшается за счет физического и морального износа. Капитальные вложения в отрасль играют роль управлений. Критерий оптимальности
процессов управления учитывает доходы от производства, с одной стороны, и
затраты на капиталовложения – с другой.▼
Решение задачи оптимального управления в общем виде далее не рас-
сматривается. Приводятся только некоторые результаты, касающиеся одного
важного частного случая – задачи об оптимальном быстродействии.
ления, при котором переход объекта из точки
минимальное время. Именно с нее начинались исследования, завершившиеся
созданием принципа максимума в общей формулировке.
§ 4.2. Принцип максимума в задаче об оптимальном
быстродействии
Задачей об оптимальном быстродействии называют выбор такого управ-
в точку
происходит за
Чтобы выделить этот частный случай, достаточно положить в (4.8)
. Тогда функционал примет вид
.
60
В правой части получается как раз время перехода. Теперь нужно потребовать
min.J
12
( ), ( ),..., ( ),
n
t t t
T
12
( ) ( ), ( ),..., ( )
n
t t t t
Ψ
( , , )H XUΨ
1
( , )
n
ii
if
XU
( , , )
( 1, 2,..., )
i
i
dH
in
dt x
XUΨ
**
( ), ( )ttXU
0 к
t t t
()tU
* * *
( , , ) max ( , , ),HH
XUΨ X U Ψ
UM
к
t
* * *
( , , ) 0H XUΨ
(4.9)
Остальные условия сохраним в том виде, в котором они приведены в предыду-
щем параграфе, уточнив только, что начальные и конечные фазовые координаты
заданы точно, т. е. области (4.6) и (4.7) состоят каждая из одной точки.
Приведем теперь без доказательства формулировку теоремы «принцип
максимума» для рассматриваемого частного случая [2].
Теорема 4.1. (принцип максимума)
Пусть объект, характеризуемый фазовыми координатами (4.1) и нахо-
дящийся под воздействием управлений (4.2), принадлежащих области (4,3),
подчинен системе уравнений (4.4) или в векторной форме (4.5).
Введем n вспомогательных функций
объединенных в
вектор
. (4.10)
Составим функцию
=
(4.11)
и систему дифференциальных уравнений
. (4.12)
Тогда, если процесс
– оптимальный по быстродействию
(обеспечивает требование (4.9)), то существует нетривиальное решение си-
стемы (4.12), такое, что для любого момента
непрерывности управлений
, выполняется условие максимума
а в конечный момент времени
выполняется условие
. (4.14)
, являющегося точкой
(4.13)
Сопроводим эту теорему несколькими замечаниями.
1. В формулировке теоремы упоминается нетривиальное решение.
Вспомним, что так называют решение, отличное от тождественного нуля.
Условие (4.13) подразумевает, что максимум достигается за счет выбора управлений из допустимой области. Кстати, именно это условие дало название всей
теореме.
2. Доказательство теоремы требует соблюдения некоторых дополнитель-
ных требований, накладываемых на процесс. Ввиду небольшой практической
значимости они здесь опущены.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]